2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊第4章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式第1課時等比數(shù)列的前n項和公式課件

4.3等比數(shù)列4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式第1課時等比數(shù)列的前n項和公式1．借助教材實例了解等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程．2．借助教材掌握a1，an，q，n，Sn的關(guān)系．3．掌握等比數(shù)列的前n項和公式、性質(zhì)及其應(yīng)用．1．掌握等比數(shù)列的前n項和公式與應(yīng)用．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)2．能運用等比數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)等比數(shù)列的前n項和公式

知識點

1na1想一想：在運用等比數(shù)列前n項和公式求和時，要注意什么？提示：當(dāng)公比未知時，一定要對公比進行分類討論．練一練：已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a1＝1，q＝2，Sn＝31，則n等于(

)A．4 B．5C．6 D．7B等比數(shù)列前n項和公式與其公比q的關(guān)系

知識點

2則數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖象是函數(shù)y＝－Aqx＋A圖象上的一群孤立的點．由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項和Sn是一個關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)與一個常數(shù)的和，且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)．(2)當(dāng)公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝na1，則數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖象是正比例函數(shù)y＝a1x圖象上的一群孤立的點．練一練：等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)在函數(shù)y＝3x＋1＋m的圖象上，則m＝_______.[解析]

∵點(n，Sn)在函數(shù)y＝3x＋1＋m的圖象上，∴Sn＝3n＋1＋m＝3×3n＋m.又Sn＝－Aqn＋A，比較可知m＝－3.－3等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)

知識點

3(1)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm.(3){an}是公比不為－1的等比數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.練一練：已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S5＝10，S10＝40，則S20＝(

)A．130 B．160C．390 D．400[解析]

因為等比數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S5＝10，S10＝40，所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15依然成等比數(shù)列，則S5(S15－S10)＝(S10－S5)2，即10(S15－40)＝(40－10)2，解得S15＝130，則S5(S20－S15)＝(S10－S5)(S15－S10)，即10(S20－130)＝30×90，解得S20＝400，故選D.D

在等比數(shù)列{an}中，公比為q，前n項和為Sn.題型探究題型一與等比數(shù)列前n項和有關(guān)的基本運算典例1[規(guī)律方法]

等比數(shù)列前n項和運算的技巧(1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．(2)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換．提醒：兩式相除是解決等比數(shù)列基本量運算常用的運算技巧．對點訓(xùn)練?B題型二等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用

(1)(2023·云南昆明高三模擬)已知等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，Sn為其前n項和，若S4＝8，S8＝24，則S16＝(

)A．40 B．56C．72 D．120(2)等比數(shù)列{an}共有2n項，所有項數(shù)的和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，求公比q的值．典例2D[解析]

(1)因為S4＝8，S8－S4＝16，S12－S8，S16－S12成等比數(shù)列，所以S12－S8＝32，S16－S12＝64，S16＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＋(S16－S12)＝8＋16＋32＋64＝120.(2)由題意知[規(guī)律方法]

等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1){an}是公比不為－1的等比數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.

(1)已知等比數(shù)列{an}，an>0，S3＝6，a7＋a8＋a9＝24，求S99的值．(2)一個等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)為偶數(shù)，其中奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求該數(shù)列的公比和項數(shù)．對點訓(xùn)練?(2)設(shè)該數(shù)列有2n項，則即22n＝256＝28，∴2n＝8，即該數(shù)列的公比為2，項數(shù)為8.題型三應(yīng)用問題

某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于_____.[解析]

由題可知，每天植樹棵數(shù)構(gòu)成首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以有an＝2n，Sn＝2n＋1－2，令Sn≥100，滿足條件的最小的整數(shù)n＝6.[規(guī)律方法]

解決實際問題，關(guān)鍵是從題中抽象出數(shù)學(xué)模型，必須寫清等比數(shù)列{an}的由來．典例36

(2023·汕尾高二檢測)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬”．馬主曰：“我馬食半?！保裼斨瑔柛鞒鰩缀?/p>