事物位置的辨析

事物位置的辨析

事物復(fù)雜，但有序?？偸歉鶕?jù)適當(dāng)?shù)膶?duì)應(yīng)關(guān)系找到相關(guān)性，確定彼此的位置。如果你能找到量和量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并合理使用它們，你就會(huì)了解問(wèn)題之間的關(guān)系，從而使問(wèn)題的線索迅速清晰，解決方案的思路更加清晰。可以說(shuō)，對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)解決問(wèn)題中的作用不容低估。本文試圖闡明這一事實(shí)，并引起大家的注意。1xy+y233x-3y+12人們常習(xí)慣于將問(wèn)題化整為零,分解成若干小部分,然后各個(gè)擊破,分而治之;但如能擴(kuò)大視野,將待研究的問(wèn)題分成幾部分后,再分別地看成整體,找出它們間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,也許能使問(wèn)題得以較好地解決.例1實(shí)數(shù)x,y滿足x2?2xy+y2?3√x?3√y+12=0x2-2xy+y2-3x-3y+12=0,則xy的最小值是A.12B.4516C.214D.不存在A.12B.4516C.214D.不存在分析將xy與x+y分別看成一個(gè)整體,形成一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得:4xy=(x+y)2?3√(x+y)+124xy=(x+y)2-3(x+y)+12,等式右邊可看成關(guān)于x+y的二次函數(shù),又由已知可得3√(x+y)=(x?y)2+12≥123(x+y)=(x-y)2+12≥12,即x+y≥43√x+y≥43,因而當(dāng)x+y=43√x+y=43時(shí),4xy的最小值為48,即選答案A.點(diǎn)評(píng)本題解答的關(guān)鍵是利用“x+y”與“xy”整體間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值,使思路得以繼續(xù).2根據(jù)化產(chǎn)表t,t的含義型示化.換元是一種常用的解題方法,在新變?cè)那榫诚?往往能使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化并解決,不過(guò)換元后,新變?cè)c原變?cè)m形成了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,但這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的背后,會(huì)隱含著一定的變化.如忽視之,則會(huì)導(dǎo)致解題的錯(cuò)誤.例2設(shè)函數(shù)f(θ)=asin2θ+bcos2θ+2asinθ,其中a,b∈R,且a≠b,a≠0,θ∈[?π2?π2]a≠b,a≠0,θ∈[-π2?π2],則f(θ)=0的θ值有A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無(wú)法確定分析令sinθ=t,則原方程可化為:(a-b)t2+2at+b=0,判別式=4a2-4ab+4b2>0,從而很多同學(xué)將答案誤選為C.上述錯(cuò)誤在于沒(méi)有注意到換元前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系,事實(shí)上,t=sinθ∈[-1,1],且在θ∈[?π2,π2]θ∈[-π2,π2]內(nèi)t與θ值一一對(duì)應(yīng),令g(t)=(a-b)t2+2at+b,由g(-1)g(1)=-3a2<0,從而方程f(θ)=0在[?π2,π2][-π2,π2]只有1個(gè)根,即選答案B.評(píng)注本題的關(guān)鍵是要注意新變?cè)姆秶l(fā)生了變化.例3(05年高考上海卷)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)={|lg|x?1||,x≠1,0,x=1.f(x)={|lg|x-1||,x≠1,0,x=1.則關(guān)于的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是A.b<0且c>0B.b>0且c<0C.b<0且c=0D.b≥0且c=0分析本題很容易將函數(shù)代入方程死算,事實(shí)上,只要令t=f(x),可將方程f2(x)+bf(x)+c=0與方程t2+bt+c=0相對(duì)應(yīng);當(dāng)t1>0時(shí),f(x)=t1有四個(gè)實(shí)根,而當(dāng)t2=0,f(x)=t2有三個(gè)實(shí)根,即方程t2+bt+c=0的一個(gè)正根可對(duì)應(yīng)于f(x)=t1的四個(gè)實(shí)根,方程t2+bt+c=0的一個(gè)零根可對(duì)應(yīng)于f(x)=t2的三個(gè)實(shí)根.因而“關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解”對(duì)應(yīng)于“方程t2+bt+c=0有一個(gè)正根與一個(gè)零根”,故選答案C.3以三棱柱的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)構(gòu)成四面體是一對(duì)一、還是一對(duì)多或多對(duì)一?只有搞清數(shù)量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,才能使解題結(jié)果不會(huì)發(fā)生偏差.例4(05年高考全國(guó)卷Ⅰ)過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條,其中異面直線有A.18對(duì)B.24對(duì)C.30對(duì)D.36對(duì)分析每個(gè)四面體對(duì)應(yīng)著三對(duì)異面直線,這樣就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“以三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可構(gòu)成多少個(gè)四面體?”,而三棱柱可構(gòu)成的四面體的個(gè)數(shù)為C4664-3=12,故異面直線有12×3=36對(duì).例5(04年高考湖南卷)從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)頂點(diǎn)作三角形,其中直角三角形的個(gè)數(shù)是A.56B.52C.48D.40分析正方體的頂點(diǎn)所確定的每一個(gè)平面都對(duì)應(yīng)四個(gè)直角三角形,而正方體的頂點(diǎn)所確定平面共有12個(gè),故所求的直角三角形個(gè)數(shù)為48個(gè).例6在平面直角坐標(biāo)系中,x軸正半軸上有5個(gè)點(diǎn),y軸正半軸上有3個(gè)點(diǎn),將x軸正半軸上這5個(gè)點(diǎn)和y軸正半軸這3個(gè)點(diǎn)連成15條線段,這15條線段在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有A.105個(gè)B.35個(gè)C.30個(gè)D.15個(gè)分析x軸正半軸上的任2個(gè)點(diǎn)與y軸正半軸上的任2個(gè)點(diǎn)可形成一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,而這4個(gè)點(diǎn)又對(duì)應(yīng)著第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn),故這15條線段在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有C2552C2332=30個(gè).4pmtpf1q當(dāng)一個(gè)問(wèn)題直接求解一時(shí)難以得手時(shí),這時(shí)常會(huì)尋求與其相對(duì)應(yīng)的模型,從而可轉(zhuǎn)換解題條件,增加解題途徑.例7已知雙曲線x29?y216=1x29-y216=1的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)F1點(diǎn)作∠F1PF2平分線所在直線的垂線,則垂足M的軌跡方程為A.x2+y2=9B.x2+y2=16C.x2-y2=9D.x2-y2=16分析PM既是角平分線又是高,它對(duì)應(yīng)著等腰三角形的數(shù)學(xué)模型:延長(zhǎng)F1M交直線F2P于Q,則△PF1Q為等腰三角形,從而得|OM|=12|QF2|=12||PF2|?|PF1||=3|ΟΜ|=12|QF2|=12||ΡF2|-|ΡF1||=3,即M點(diǎn)軌跡方程為x2+y2=9.例8從集合M={1,2,3,…,10}選出5個(gè)數(shù)組成的子集,使得這5個(gè)數(shù)的任兩個(gè)數(shù)之和都不等于11,則這樣的子集有A.32個(gè)B.48個(gè)C.96個(gè)D.112個(gè)分析集合中的兩個(gè)數(shù)之和等于11的數(shù)可形成一種對(duì)應(yīng)關(guān)系:(1,10)→(2,9)→(3,8)→(4,7)→(5,6),因而選出5個(gè)數(shù)中的任兩個(gè)數(shù)之和都不等于11,這5個(gè)數(shù)應(yīng)分別從上述的每組數(shù)中各取1個(gè),因而所求的子集個(gè)數(shù)為25,故選答案A.5u3000d.y=f-1x+t分析區(qū)間的轉(zhuǎn)化當(dāng)圖象發(fā)生平移后,平移前后就產(chǎn)生一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,搞清平移前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系是正確解題的必經(jīng)之路.例9定義在R上的函數(shù)f(x)是周期函數(shù),最小正周期為T,若函數(shù)y=f(x),x∈(0,T)時(shí)有反函數(shù)y=f-1(x),x∈D,則函數(shù)y=f(x),x∈(T,2T)的反函數(shù)為A.y=f-1(x)B.y=f-1(x-T)C.y=f-1(x+T)D.y=f-1(x)+T分析區(qū)間(0,T)與(T,2T)是一一對(duì)應(yīng)的,它們之間相差T,要求x∈(T,2T)時(shí)f(x)的反函數(shù),需要將區(qū)間轉(zhuǎn)化為(0,T).由周期為T得,當(dāng)x∈(T,2T)時(shí),y=f(x)=f(x-T),此時(shí)x-T∈(0,T),從而x-T=f-1(y),x=f-1(y)+T,x,y互換得:函數(shù)y=f-1(x)+T,由此得:函數(shù)y=f(x),x∈(T,2T)的反函數(shù)為y=f-1(x)+T,即選D.例10已知A(1,2),B(4,2),則向量AB?→?AB→按向量a=(-1,3)平移后得到的向量坐標(biāo)是A.(3,