含參數(shù)半正奇異泛函微分方程邊值問(wèn)題的解

含參數(shù)半正奇異泛函微分方程邊值問(wèn)題的解

1異微分方程邊值問(wèn)題采用以下方法，計(jì)算參數(shù)中的半正奇怪泛函數(shù)微分方程的邊值問(wèn)題。其中λ>0為參數(shù),1>a>0,f∈C((0,1]×(0,+∞),(0,+∞)).本文中我們總是假設(shè)存在M>0,使得f(t,x)≥-M,(t,x)∈(0,1]×(0,+∞);方程(1.1)為奇異微分方程邊值問(wèn)題.奇異微分方程邊值問(wèn)題起源于各種應(yīng)用學(xué)科中.例如:核物理,氣體動(dòng)力學(xué),流體力學(xué),邊界層理論,非線性光學(xué)等.有關(guān)奇異微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性近年來(lái)得到了廣泛的研究.本文中,我們不假設(shè)f>0,因此,這里方程(1.1)又為奇異半正微分方程邊值問(wèn)題.目前對(duì)于半正微分方程邊值問(wèn)題所得結(jié)果較少(參看).中作者討論了一類(lèi)超線性非奇異半正微分方程邊值問(wèn)題.使用非線性算子分歧理論,作者證明了一個(gè)正解的存在性結(jié)果.本文中,我們構(gòu)造了一個(gè)特殊錐,使用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù),逼近方法,細(xì)致分析,得到了邊值問(wèn)題(1.1)正解的一個(gè)存在性結(jié)果.本文中的結(jié)果將的結(jié)果推廣到了形如(1.1)的泛函微分方程邊值問(wèn)題上,同時(shí)這里非線性項(xiàng)允許包含奇異.若y∈C[-a,1]∩C2((0,1]\{a})且y(t)>0,t∈[-a,0)∪(0,1),滿(mǎn)足方程(1.1),則稱(chēng)y為邊值問(wèn)題(1.1)的一個(gè)正解.2任給0#0,1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2任給0.30[a,15.15.2.35.2.25.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2為方便起見(jiàn),我們以后將使用如下假設(shè).(H1)令F(t,y)=f(t,y)+M.對(duì)于任何(t,y)∈(0,1]×(0,+∞)其中φ∈C((0,1]),Φ(t)>0,t∈(0,1),g∈C((0,+∞),(0,+∞)),g(y)關(guān)于y∈(0,+∞)為減的;h∈C(R+,R+),h(y)關(guān)于y∈R+為增的,R+=[0,+∞).(H2)在任何[α,β](a,1)上一致成立.(H3)對(duì)于任給k0>0對(duì)于任給x∈C[-a,1],令.易知,C[-a,1]為關(guān)于‖·‖的Banach空間.又令P={x∈C[-a,1]|x(t)≥0,t∈[-a,1]},Q={x∈P|x(t)≥‖x‖t(1-t),t∈},則P,Q為C[-a,1]中錐.對(duì)于任給x∈P,t∈我們令其中對(duì)于任給0<λ<+∞,j∈N,x∈P,我們又令引理1對(duì)于任給0<λ<+∞,j∈N,:P→Q為全連續(xù)算子.證對(duì)于任給0<λ<+∞,j∈N,x∈P,令,t∈[-a,1].又設(shè)t0∈(0,1),使得y(t0)=‖y‖,這里.注意到我們知,‖y‖=‖y‖.顯然,y在上為凹函數(shù).于是,對(duì)于任給0≤t≤t0,同理,對(duì)于任給t0≤t≤1有,y(t)≥‖y‖t(1-t).因此,.易知,Tλ:PQ有界,連續(xù).設(shè)S?P為任一有界集.不妨設(shè)對(duì)于正數(shù)L有,‖u‖≤L,u∈B.記E(j-1,L)=g(j-1)+h(L+‖μ‖+‖wλ‖+1).對(duì)于任給ε>0,由(H3)知,存在δ1>0使得令.由G(t,s)在×上的一致連續(xù)性知,存在δ:δ1>δ>0,使得當(dāng)t1,t2,s∈,|t1-t2丨<δ時(shí),有由(2.1),(2.2),注意到G(t,s)≤G(s,s),(t,s)∈×,我們知這表明在上為等度連續(xù)集合.又顯然,在[-a,0]上為等度連續(xù)集合.由Ascoli-Arezla定理知,為C[-a,1]的相對(duì)緊集.于是,全連續(xù).證畢.對(duì)于任給r>1,令引理2對(duì)于任給0<λ<λ(r),j∈N,r>1,這里Q(r)={x∈Q‖x‖<r}.證對(duì)于任給0<λ<λ(r),j∈N,我們知下面我們證明這里表示Q(r)在Q中的邊界.若(2.3)不成立,則存在μ0∈,z0∈aQ(r),使得.由于z0∈Q,我們知另一方面,對(duì)于任給t∈我們有由(2.4),(2.5),我們有由,我們直接計(jì)算有由(2.7)知,t∈(0,1).z0(t)為上的凹函數(shù),存在t0∈(0,1)使得我們有如下兩種情況:情形1t0≤a.此時(shí),由(2.6),(2.7)我們有對(duì)上式從t(t∈(0,t0))到t0積分再?gòu)?到t0對(duì)上式積分有注意到z0(t0)=r,我們有λ≥(1-a)(r-1)A-1,這與λ的選取矛盾.情形2t0>a.此時(shí),由(2.6),(2.7),并注意到z0(t)在[0,t0]上為增的,對(duì)于任給t∈[a,t0]我們有注意到,t∈[a,t0],對(duì)于任給t∈[a,t0]我們有對(duì)上式從t(t∈[a,t0])到t0積分有從而,我們得再?gòu)腶到t0積分得由(2.7),又顯然有從t(t∈(0,a))到a積分,并利用(2.8)我們有對(duì)上式從0到t積分得將(2.10)代入(2.9)得令,我們有從而即這與λ的選取矛盾.綜上所述,我們知(2.3)成立.于是由不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)性質(zhì)知結(jié)論成立.證畢.引理3對(duì)于任給0<λ<λ(r),j∈N,r>1存在R>r使得證取[α,β]?(a,1).任取由條件(H2)知,存在R>r使得.令a)]-1,Ψ0∈Q\{θ}.下面我們?nèi)プC事實(shí)上,若否,存在,μ0∈使得.與(2.6)同樣道理于是,對(duì)于任給t∈[α,β]從而,由(2.12)知于是因此矛盾.故(2.11)成立.由不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)性質(zhì)知結(jié)論成立.證畢.3任給t0[0,1]定理3.1設(shè)(H1)-(H3)成立,則對(duì)于充分小的正數(shù)λ邊值問(wèn)題(1.1)至少存在一個(gè)正解.證由引理2與引理3我們知,對(duì)于任給0<λ<λ(r),j∈N,r>1有從而,對(duì)于任給0<λ<λ(r),j∈N,在Q(R)\中存在不動(dòng)點(diǎn)xj(t).由于‖xj‖≥r,與(2.6)同樣道理從而,由(3.1)我們有我們直接計(jì)算知對(duì)于任給0<λ<λ(r),令Sλ={xj|xj為的不動(dòng)點(diǎn),j∈N}.下面我們?nèi)プCSλ在[-a,1]上為等度連續(xù)集合.顯然,我們只要證明Sλ在上等度連續(xù)即可.對(duì)于任給zj∈Sλ,同上面同樣道理我們知,存在t0∈(0,1)使得.分如下兩種情況情形1t0≤a.此時(shí),對(duì)于任給s∈(0,t0)我們有于是,對(duì)于任給t∈[0,a]我們有對(duì)于s∈(a,1],我們有從a到t(t∈(n,1)積分,對(duì)于任給t∈[a,1]我們有情形2t0>a.此時(shí),對(duì)于任給t∈[0,a]我們有對(duì)于t∈[a,1]我們有由(3.5)和(3.6)我們有由(3.3),(3.4),(3.6)和(3.7)知,Sλ在上為等度連續(xù)集合.又顯然Sλ為一致有界的.于是,由Ascoli-Arezla定理知Sλ為相對(duì)緊集.對(duì)于任給0<λ<λ(r),j∈N,r>1,取a1≠a,設(shè)zj為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).易知,于是,{為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)}有界.我們不妨設(shè)在(3.8)中令j+∞我們有由