微分多項(xiàng)式與公共值的全純函數(shù)族的正規(guī)性

微分多項(xiàng)式與公共值的全純函數(shù)族的正規(guī)性

c表示是開(kāi)放的平面，c（=c}）c=（=c}）是擴(kuò)展的平面。d是c中的一個(gè)區(qū)域。d中定義的純函數(shù)序列稱為正規(guī)函數(shù)，即fn{fn}。當(dāng)點(diǎn)d中的任何函數(shù)列{fn時(shí)，它們與fnh{fnj}一起收斂。當(dāng)點(diǎn)z0時(shí)，f稱為點(diǎn)z0附近區(qū)域，即點(diǎn)z0在該相鄰區(qū)域中正式。顯然，f在區(qū)域d中是正式的，并且只能在d中看到一些正式的點(diǎn)。設(shè)f與g為區(qū)域D內(nèi)的兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),a∈C?C^,我們稱f與g在D內(nèi)以a為公共值,是指f-a與g-a在D內(nèi)的零點(diǎn)相同(忽略重級(jí)).當(dāng)a=∞時(shí),f-a的零點(diǎn)是指f的極點(diǎn).從公共值的角度建立正規(guī)定則是一項(xiàng)有意義的研究工作.在這一領(lǐng)域W.Schwick首先得到一重要結(jié)果:如果亞純函數(shù)族中的每一個(gè)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)都以三個(gè)不同的固定的有窮復(fù)數(shù)為公共值,則函數(shù)族正規(guī).孫道椿從公共值的角度改進(jìn)了著名的Montel定則.更多涉及公共值的正規(guī)定則可參看等.本文繼續(xù)研究這方面的問(wèn)題.眾多專家學(xué)者逐步證明了W.K.Hayman的兩個(gè)重要兩個(gè)猜想,得到如下兩個(gè)定理(參見(jiàn)陳懷惠與方明亮,龐學(xué)誠(chéng)).定理A設(shè)f為C內(nèi)的亞純函數(shù),n(≥1)為一正整數(shù),b(≠0)為一有窮復(fù)數(shù).如果fnf′≠b,則f為常數(shù).定理B設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族,n(≥1)為一正整數(shù),b(≠0)為一有窮復(fù)數(shù).如果在D內(nèi)對(duì)每一個(gè)函數(shù)f∈F,fnf′≠b,則F在D內(nèi)正規(guī).類似地,方明亮與HongWei于2001年得到以下結(jié)果定理C設(shè)f為整函數(shù),n(≥2)為正整數(shù).如果fn(f-1)f′≠1,則f為常數(shù).根據(jù)Bloch原理,對(duì)應(yīng)定理C我們可以證明定理1設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的全純函數(shù)族,n(≥1)為一正整數(shù),b為一有窮復(fù)數(shù).如果在D內(nèi)對(duì)每一個(gè)函數(shù)f∈F,fn(f-1)f′≠b,則F在D內(nèi)正規(guī).事實(shí)上,從公共值的角度我們可證明更廣泛的結(jié)果.定理2設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的全純函數(shù)族,n(≥1)為一正整數(shù),b為一有窮復(fù)數(shù).如果對(duì)F中的任意兩個(gè)函數(shù)f與g,在D內(nèi)fn(f-1)f′與gn(g-1)g′都以b為公共值,則F在D內(nèi)正規(guī).顯然當(dāng)點(diǎn)集S={z|fn(z)(f(z)-1)f′(z)-b=0,f∈F,z∈D}=?時(shí),定理2即為定理1.例1設(shè)D={z:|z|<1},F={fk},其中fk(z)=ekz+1,z∈D,k=1,2,?.fk(z)=ekz+1,z∈D,k=1,2,?.顯然(fk-1)f′kk′=ke2kz≠0.但是F在點(diǎn)z=0不正規(guī).例2設(shè)D={z:|z|<1},F={fk},其中fk(z)=k√(z+1k)+1,z∈D,k=1,2,?.fk(z)=k(z+1k)+1,z∈D,k=1,2,?.顯然(fk-1)f′kk′=kz+1.所以對(duì)每一對(duì)fk,fj,(fk-1)f′kk′與(fj-1)f′jj′在D內(nèi)都以1為公共值.但是F在點(diǎn)z=0不正規(guī).例3設(shè)D={z:|z|<1},F={fk},其中fk(z)=1ekz?1,z∈D,k=1,2,?.fk(z)=1ekz-1,z∈D,k=1,2,?.顯然fnk(fk?1)f′k=ke2kz(ekz?1)n+3≠0fkn(fk-1)f′k=ke2kz(ekz-1)n+3≠0,但是F在點(diǎn)z=0不正規(guī).例1說(shuō)明定理1當(dāng)n=0時(shí)不成立,例2說(shuō)明定理2當(dāng)n=0時(shí)不成立,例3說(shuō)明定理1與定理2對(duì)亞純函數(shù)不成立.2f在點(diǎn)z0不合法性的條件前提為引理()設(shè)F為單位圓Δ內(nèi)的亞純函數(shù)族,所有函數(shù)的零點(diǎn)的重?cái)?shù)≥p,極點(diǎn)的重?cái)?shù)≥q;α為滿足-p<α<q的任一實(shí)數(shù).則F在點(diǎn)z0∈Δ不正規(guī)的充分必要條件是存在(i)一點(diǎn)列zn∈Δ,zn→z0;(ii)一正數(shù)列ρn,ρn→0;(iii)一函數(shù)列fn∈F;使得ραnfn(zn+ρnζ)?g(ζ)以球面度量在C內(nèi)的任一緊集上一致收斂,其中g(shù)(ζ)為C內(nèi)的非常數(shù)亞純函數(shù),且零點(diǎn)重?cái)?shù)≥p,極點(diǎn)重?cái)?shù)≥q;其增長(zhǎng)級(jí)≤2.3gng-1g1.假設(shè)F在D內(nèi)不正規(guī),則至少存在一點(diǎn)z0使得F在點(diǎn)z0不正規(guī).不失一般性,可設(shè)z0=0.根據(jù)引理,取α=0,則存在點(diǎn)列zj→0,正數(shù)列ρj→0及函數(shù)列fj∈F使得gj(ζ)=fj(zj+ρjζ)?g(ζ)(3.1)gj(ζ)=fj(zj+ρjζ)?g(ζ)(3.1)以球面度量局部一致收斂,其中g(shù)為非常數(shù)整函數(shù).由(3.1)知1n+2fn+2j(zj+ρjζ)?1n+1fn+1j(zj+ρjζ)?1n+2gn+2(ζ)?1n+1gn+1(ζ),(3.2)1n+2fjn+2(zj+ρjζ)-1n+1fjn+1(zj+ρjζ)?1n+2gn+2(ζ)-1n+1gn+1(ζ),(3.2)進(jìn)而有ρj(fnjjn(zj+ρjζ)(fj(zj+ρjζ)-1)f′jj′(zj+ρjζ)-b)?gn(ζ)(g(ζ)-1)g′(ζ),(3.3)仍以球面度量局部一致收斂.如果gn(g-1)g′≡0,則g為常數(shù),此與g為非常數(shù)整函數(shù)矛盾.所以gn(g-1)g′?0.如果gn(g-1)g′≠0,則g≠0,1.此與Picard定理矛盾.所以gn(g-1)g′為非常數(shù)整函數(shù)且至少有一個(gè)零點(diǎn).下面證gn(g-1)g′僅有一個(gè)零點(diǎn).假設(shè)ζ0與ζ*0為gn(g-1)g′的兩個(gè)不同的零點(diǎn),選取δ(>0)足夠小使得D(ζ0,δ)∩D(ζ*0,δ)=?,其中D(ζ0,δ)={ζ:|ζ-ζ0|<δ},D(ζ*0,δ)={ζ:|ζ-ζ*0|<δ}.根據(jù)Hurwitz定理,由(3.3)可知當(dāng)j充分大時(shí),存在點(diǎn)列ζj∈D(ζ0,δ),ζ*j∈D(ζ*0,δ)使得fnj(zj+ρjζj)(fj(zj+ρjζj)?1)f′j(zj+ρjζj)?b=0,fnj(zj+ρjζ?j)(fj(zj+ρjζ?j)?1)f′j(zj+ρjζ?j)?b=0.fjn(zj+ρjζj)(fj(zj+ρjζj)-1)fj′(zj+ρjζj)-b=0,fjn(zj+ρjζj*)(fj(zj+ρjζj*)-1)fj′(zj+ρjζj*)-b=0.根據(jù)定理假設(shè)知對(duì)F中任意一對(duì)函數(shù)f與g,fn(f-1)f′與gn(g-1)g′在D內(nèi)都以b為公共值,所以對(duì)任一正整數(shù)m都有fnm(zj+ρjζj)(fm(zj+ρjζj)?1)f′m(zj+ρjζj)?b=0,fnm(zj+ρjζ?j)(fm(zj+ρjζ?j)?1)f′m(zj+ρjζ?j)?b=0.fmn(zj+ρjζj)(fm(zj+ρjζj)-1)fm′(zj+ρjζj)-b=0,fmn(zj+ρjζj*)(fm(zj+ρjζj*)-1)fm′(zj+ρjζj*)-b=0.固定m,令j→∞,注意到zj+ρjζj→0,zj+ρjζ*j→0,則fnm(0)(fm(0)?1)f′m(0)?b=0.fmn(0)(fm(0)-1)fm′(0)-b=0.既然fnmmn(fm-1)f′mm′-b的零點(diǎn)沒(méi)有聚點(diǎn),則有zj+ρjζj=0,zj+ρjζ?j=0.zj+ρjζj=0,zj+ρjζj*=0.所以ζj=?zjρj,ζ?j=?zjρj.ζj=-zjρj,ζj*=-zjρj.此與ζj∈D(ζ0,δ),ζ*j∈D(ζ