高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)

數(shù)學(xué)均值不等式被稱(chēng)為均值不等式。·即調(diào)和平均數(shù)不超過(guò)幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過(guò)算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過(guò)平方平均數(shù)，簡(jiǎn)記為“調(diào)幾算方”。其中：，被稱(chēng)為調(diào)和平均數(shù)。，被稱(chēng)為幾何平均數(shù)。，被稱(chēng)為算術(shù)平均數(shù)。，被稱(chēng)為平方平均數(shù)。一般形式設(shè)函數(shù)（當(dāng)r不等于0時(shí)）；（當(dāng)r=0時(shí)），有時(shí)，?？梢宰⒁獾?，Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即。特例⑴對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)a=-b時(shí)取“=”號(hào)）⑵對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有，即⑶對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有⑷對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有⑸對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有⑹對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有⑺對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有⑻對(duì)非負(fù)數(shù)a,b，有⑼對(duì)非負(fù)數(shù)a,b,c，有在幾個(gè)特例中，最著名的當(dāng)屬算術(shù)—幾何均值不等式（AM-GM不等式）：當(dāng)n=2時(shí)，上式即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。根據(jù)均值不等式的簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，即。排序不等式基本形式：排序不等式的證明要證只需證根據(jù)基本不等式只需證∴原結(jié)論正確棣莫弗定理設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)（用三角形式表示），則：復(fù)數(shù)乘方公式：.圓排列定義從n個(gè)不同元素中不重復(fù)地取出m（1≤m≤n）個(gè)元素在一個(gè)圓周上，叫做這n個(gè)不同元素的圓排列。如果一個(gè)m-圓排列旋轉(zhuǎn)可以得到另一個(gè)m-圓排列，則認(rèn)為這兩個(gè)圓排列相同。計(jì)算公式n個(gè)不同元素的m-圓排列個(gè)數(shù)N為：特別地，當(dāng)m=n時(shí)，n個(gè)不同元素作成的圓排列總數(shù)N為：。φ函數(shù)的值通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1,p2……pn為x的所有質(zhì)因數(shù)，x是不為0的整數(shù)。φ(1)=1（唯一和1互質(zhì)的數(shù)(小于等于1)就是1本身）。(注意：每種質(zhì)因數(shù)只一個(gè)。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4若n是質(zhì)數(shù)p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因?yàn)槌藀的倍數(shù)外，其他數(shù)都跟n互質(zhì)。設(shè)n為正整數(shù)，以φ(n)表示不超過(guò)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為n的歐拉函數(shù)值，這里函數(shù)φ：N→N，n→φ(n)稱(chēng)為歐拉函數(shù)。歐拉函數(shù)是積性函數(shù)——若m,n互質(zhì)，φ(mn)=φ(m)φ(n)。特殊性質(zhì)：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，φ(2n)=φ(n),證明與上述類(lèi)似。若n為質(zhì)數(shù)則φ(n)=n-1。格點(diǎn)定義數(shù)學(xué)上把在平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)(latticepoint)或整點(diǎn)。性質(zhì)1、格點(diǎn)多邊形的面積必為整數(shù)或半整數(shù)（奇數(shù)的一半）。2、格點(diǎn)關(guān)于格點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為格點(diǎn)。3、格點(diǎn)多邊形面積公式（坐標(biāo)平面內(nèi)頂點(diǎn)為格點(diǎn)的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三角形，類(lèi)似地也有格點(diǎn)多邊形的概念。）設(shè)某格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有格點(diǎn)a個(gè)，格點(diǎn)多邊形的邊上有格點(diǎn)b個(gè)，該格點(diǎn)多邊形面積為S，則根據(jù)皮克公式有S=a+b/2-1。4，格點(diǎn)正多邊形只能是正方形。5，格點(diǎn)三角形邊界上無(wú)其他格點(diǎn)，內(nèi)部有一個(gè)格點(diǎn)，則該點(diǎn)為此三角形的重心。三面角定義三面角：由三個(gè)面構(gòu)成的多面角稱(chēng)為三面角，如圖中三面角可記作∠O-ABC。特別地，三個(gè)面角都是直角的三面角稱(chēng)為直三面角。三面角的補(bǔ)三面角：由三條自已知三面角定點(diǎn)發(fā)出的垂直于已知三面角的三個(gè)平面的射線(xiàn)組成的三面角叫做已知三面角的補(bǔ)三面角。\o"三面角"性質(zhì)1、三面角的任意兩個(gè)面角的和大于第三個(gè)面角。2、三面角的三個(gè)二面角的和大于180°，小于540°。三面角相關(guān)定理設(shè)三面角∠O-ABC的三個(gè)面角∠AOB、∠BOC、∠AOC所對(duì)的二面角依次為∠OC，∠OA，∠OB。1、三面角正弦定理：sin∠OA/sin∠BOC=sin∠OB/sin∠AOC=sin∠OC/sin∠AOB。2、三面角第一余弦定理：cos∠BOC=cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC。3、三面角第二余弦定理：cos∠OA=cos∠BOC×sin∠OB×sin∠OC-cos∠OB×cos∠OC。直線(xiàn)方程一般有以下八種描述方式：點(diǎn)斜式，斜截式，兩點(diǎn)式，截距式，一般式，法線(xiàn)式，法向式，點(diǎn)向式。點(diǎn)斜式已知直線(xiàn)一點(diǎn)(x1,y1,)并且存在直線(xiàn)的斜率k，則直線(xiàn)可表示為：y-y1=k(x-x1)。適用范圍：斜率K存在的直線(xiàn)。斜截式已知與Y軸的交點(diǎn)（0，b），斜率為K，則直線(xiàn)可表示為：y=kx+b。適用范圍：斜率存在的直線(xiàn)。兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式是解析幾何直線(xiàn)理論的重要概念。當(dāng)已知兩點(diǎn)（X1，Y1），（X2，Y2）時(shí)，將直線(xiàn)的斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)代入點(diǎn)斜式時(shí)，得到兩點(diǎn)式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。適用范圍：不平行于（或者說(shuō)不垂直于）坐標(biāo)軸的的直線(xiàn)。截距式已知與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（a，0），（0，b）時(shí)，截距式的一般形式：x/a+y/b=1（a≠0且b≠0）。適用范圍：不平行于（或者說(shuō)不垂直于）坐標(biāo)軸的直線(xiàn)，不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。一般式ax+by+c=0(A、B不同時(shí)為0)。斜率：-A/B截距：-C/B。兩直線(xiàn)平行時(shí)：A1/A2=B1/B2≠C1/C2，則無(wú)解。兩直線(xiàn)相交時(shí)：A1/A2≠B1/B2；兩直線(xiàn)垂直時(shí)：A1A2+B1B2=0A1/B1×A2/B2=-1，都只有一個(gè)交點(diǎn)。兩直線(xiàn)重合時(shí)：A1/A2=B1/B2=C1/C2，則有無(wú)數(shù)解。適用范圍：所有直線(xiàn)均可適用。法線(xiàn)式過(guò)原點(diǎn)向直線(xiàn)做一條的垂線(xiàn)段，該垂線(xiàn)段所在直線(xiàn)的傾斜角為α，p是該線(xiàn)段的長(zhǎng)度。x·cosα+ysinα-p=0。法向式知道直線(xiàn)上一點(diǎn)（x0，y0）和與之垂直的向量（a，b），則a（x-x0）+b（y-y0）=0，法向量n=（a，b）方向向量d=（b，-a）k=a/b。點(diǎn)向式知道直線(xiàn)上一點(diǎn)(x0,y0)和方向向量（u,v），(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)。極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系（polarcoordinates）是指在平面內(nèi)由極點(diǎn)、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系。在平面上取定一點(diǎn)O，稱(chēng)為極點(diǎn)。從O出發(fā)引一條射線(xiàn)Ox，稱(chēng)為極軸。再取定一個(gè)長(zhǎng)度單位，通常規(guī)定角度取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。這樣，平面上任一點(diǎn)P的位置就可以用線(xiàn)段OP的長(zhǎng)度ρ以及從Ox到OP的角度θ來(lái)確定，有序數(shù)對(duì)（ρ，θ）就稱(chēng)為P點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為P（ρ，θ）；ρ稱(chēng)為P點(diǎn)的極徑，θ稱(chēng)為P點(diǎn)的極角。極坐標(biāo)方程于極點(diǎn)（90°/270°）對(duì)稱(chēng)，如果r(θ-α)=r(θ)，則曲線(xiàn)相當(dāng)于從極點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α°。圓方程為r(θ)=1的圓。在極坐標(biāo)系中，圓心在(r0,φ)半徑為a的圓的方程為r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2該方程可簡(jiǎn)化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程r(θ)=a表示一個(gè)以極點(diǎn)為中心半徑為a的圓。直線(xiàn)經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的射線(xiàn)由如下方程表示θ=φ,其中φ為射線(xiàn)的傾斜角度，若k為直角坐標(biāo)系的射線(xiàn)的斜率，則有φ=arctank。任何不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的直線(xiàn)都會(huì)與某條射線(xiàn)垂直。這些在點(diǎn)（r0,φ）處的直線(xiàn)與射線(xiàn)θ=φ垂直，其方程為r(θ)=r0sec(θ-φ)圓冪點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P為⊙O所在平面上任意一點(diǎn)，PO=d，⊙O的半徑為r，則d^2－r^2就是點(diǎn)P對(duì)于⊙O的冪．過(guò)P任作一直線(xiàn)與⊙O交于點(diǎn)A、B，則PA·PB=|d2－r2|．“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線(xiàn)垂直的一條直線(xiàn)，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線(xiàn)”這個(gè)結(jié)論．這條直線(xiàn)稱(chēng)為兩圓的“根軸”．三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱(chēng)為三圓的“根心”．三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪．當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線(xiàn)交于一點(diǎn)．1．定義從一點(diǎn)A作一圓周的任一割線(xiàn)，從A起到和圓相交為止的兩段之積，稱(chēng)為點(diǎn)A于這圓周的冪．2．圓冪定理已知⊙(O,r)，通過(guò)一定點(diǎn)P，作⊙O的任一割線(xiàn)交圓于A,B，則PA，PB為P對(duì)于⊙O的冪，記為k，則當(dāng)P在圓外時(shí)，k=PO^2-r^2；當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，k=r^2-PO^2；當(dāng)P在圓上時(shí)，k=0.圖Ⅰ：相交弦定理。如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點(diǎn)P，連接AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對(duì)的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。所以有：，即：。圖Ⅱ：割線(xiàn)定理。如圖，連接AD、BC?？芍螧=∠D，又因?yàn)椤螾為公共角，所以有，同上證得。圖Ⅲ：切割線(xiàn)定理。如圖，連接AC、AD?！螾AC為切線(xiàn)PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因?yàn)椤螾為公共角，所以有，易圖Ⅳ：PA、PC均為切線(xiàn)，則∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此。所以PA=PC，所以。綜上可知，是普遍成立的。根軸定義

在\o"平面"平面上任給兩不同心的圓，則對(duì)兩圓\o"圓冪"圓冪相等的點(diǎn)的\o"集合"集合是一條直線(xiàn)，這條線(xiàn)稱(chēng)為這兩個(gè)圓的根軸。

另一角度也可以稱(chēng)兩不\o"同心圓"同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸，或者稱(chēng)作等冪軸。根軸方程

設(shè)兩圓O1,O2的方程分別為：

(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)

(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)

由于根軸上任意點(diǎn)對(duì)兩圓的\o"圓冪"圓冪相等，所以根軸上任一點(diǎn)(x,y),有

(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=\o"圓冪"圓冪=(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2

兩式相減，得根軸的方程(即x,y的方程)為

2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0

其中f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2類(lèi)似。解的不同可能

(1)(2)連立的解，是兩圓的公共點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)

如果是兩組不等實(shí)數(shù)解，MN不重合且兩圓相交，根軸是兩圓的\o"公共弦"公共弦。

如果是相等實(shí)數(shù)解，MN重合，\o"兩圓相切"兩圓相切，方程表示兩圓的\o"內(nèi)公切線(xiàn)"內(nèi)公切線(xiàn)。

如果是共軛虛數(shù)解，兩圓相離，只有代數(shù)規(guī)律發(fā)揮作用，在坐標(biāo)系內(nèi)沒(méi)有實(shí)質(zhì)。稱(chēng)M,N是共軛虛點(diǎn)。尺規(guī)作圖

相交,相切時(shí)根軸為兩圓交點(diǎn)的連線(xiàn).內(nèi)含時(shí),作一適當(dāng)?shù)膱A與兩園相交,這圓與兩圓的根軸的交點(diǎn)在根軸上.同理

再作一點(diǎn),兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)即為根軸(等冪軸)相關(guān)定理

1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線(xiàn)；

2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線(xiàn)；

3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線(xiàn)；

4，若兩圓外離，則兩圓的根軸上的點(diǎn)分別引兩圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)相等。

5，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線(xiàn)，則三條根軸相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線(xiàn)，則三條根軸互相平行；

6，\o"反演"反演后的圓和反演圓和被反演的圓3個(gè)圓共根軸。容斥原理也可表示為：設(shè)S為有限集,則兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A∪B=|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|(∩：重合的部分）三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|\o""抽屜原理第一抽屜原理原理1：把多于n+k個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于兩件。證明（反證法）：如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體，那么物體的總數(shù)至多是n×1，而不是題設(shè)的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多于mn(m乘以n)（n不為0）個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有不少于（m+1）的物體。證明（反證法）：若每個(gè)抽屜至多放進(jìn)m個(gè)物體,那么n個(gè)抽屜至多放進(jìn)mn個(gè)物體,與題設(shè)不符，故不可能。原理3：把無(wú)窮多件物體放入n個(gè)抽屜，則至少有一個(gè)抽屜里有無(wú)窮個(gè)物體。原理1、2、3都是第一抽屜原理的表述。第二抽屜原理把（mn－1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（m—1）個(gè)物體(例如，將3×5-1=14個(gè)物體放入5個(gè)抽屜中，則必定有一個(gè)抽屜中的物體數(shù)少于等于3-1=2)。極端原理解題，就是在解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，重點(diǎn)放在所研究問(wèn)題