高中數(shù)學競賽知識點

數(shù)學均值不等式被稱為均值不等式?！ぜ凑{和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術平均數(shù)，算術平均數(shù)不超過平方平均數(shù)，簡記為“調幾算方”。其中：，被稱為調和平均數(shù)。，被稱為幾何平均數(shù)。，被稱為算術平均數(shù)。，被稱為平方平均數(shù)。一般形式設函數(shù)（當r不等于0時）；（當r=0時），有時，?？梢宰⒁獾?，Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即。特例⑴對實數(shù)a,b，有（當且僅當a=b時取“=”號），（當且僅當a=-b時取“=”號）⑵對非負實數(shù)a,b，有，即⑶對非負實數(shù)a,b，有⑷對實數(shù)a,b，有⑸對非負實數(shù)a,b，有⑹對實數(shù)a,b，有⑺對實數(shù)a,b,c，有⑻對非負數(shù)a,b，有⑼對非負數(shù)a,b,c，有在幾個特例中，最著名的當屬算術—幾何均值不等式（AM-GM不等式）：當n=2時，上式即：當且僅當時，等號成立。根據(jù)均值不等式的簡化，有一個簡單結論，即。排序不等式基本形式：排序不等式的證明要證只需證根據(jù)基本不等式只需證∴原結論正確棣莫弗定理設兩個復數(shù)（用三角形式表示），則：復數(shù)乘方公式：.圓排列定義從n個不同元素中不重復地取出m（1≤m≤n）個元素在一個圓周上，叫做這n個不同元素的圓排列。如果一個m-圓排列旋轉可以得到另一個m-圓排列，則認為這兩個圓排列相同。計算公式n個不同元素的m-圓排列個數(shù)N為：特別地，當m=n時，n個不同元素作成的圓排列總數(shù)N為：。φ函數(shù)的值通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1,p2……pn為x的所有質因數(shù)，x是不為0的整數(shù)。φ(1)=1（唯一和1互質的數(shù)(小于等于1)就是1本身）。(注意：每種質因數(shù)只一個。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4若n是質數(shù)p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因為除了p的倍數(shù)外，其他數(shù)都跟n互質。設n為正整數(shù)，以φ(n)表示不超過n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，稱為n的歐拉函數(shù)值，這里函數(shù)φ：N→N，n→φ(n)稱為歐拉函數(shù)。歐拉函數(shù)是積性函數(shù)——若m,n互質，φ(mn)=φ(m)φ(n)。特殊性質：當n為奇數(shù)時，φ(2n)=φ(n),證明與上述類似。若n為質數(shù)則φ(n)=n-1。格點定義數(shù)學上把在平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點(latticepoint)或整點。性質1、格點多邊形的面積必為整數(shù)或半整數(shù)（奇數(shù)的一半）。2、格點關于格點的對稱點為格點。3、格點多邊形面積公式（坐標平面內頂點為格點的三角形稱為格點三角形，類似地也有格點多邊形的概念。）設某格點多邊形內部有格點a個，格點多邊形的邊上有格點b個，該格點多邊形面積為S，則根據(jù)皮克公式有S=a+b/2-1。4，格點正多邊形只能是正方形。5，格點三角形邊界上無其他格點，內部有一個格點，則該點為此三角形的重心。三面角定義三面角：由三個面構成的多面角稱為三面角，如圖中三面角可記作∠O-ABC。特別地，三個面角都是直角的三面角稱為直三面角。三面角的補三面角：由三條自已知三面角定點發(fā)出的垂直于已知三面角的三個平面的射線組成的三面角叫做已知三面角的補三面角。\o"三面角"性質1、三面角的任意兩個面角的和大于第三個面角。2、三面角的三個二面角的和大于180°，小于540°。三面角相關定理設三面角∠O-ABC的三個面角∠AOB、∠BOC、∠AOC所對的二面角依次為∠OC，∠OA，∠OB。1、三面角正弦定理：sin∠OA/sin∠BOC=sin∠OB/sin∠AOC=sin∠OC/sin∠AOB。2、三面角第一余弦定理：cos∠BOC=cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC。3、三面角第二余弦定理：cos∠OA=cos∠BOC×sin∠OB×sin∠OC-cos∠OB×cos∠OC。直線方程一般有以下八種描述方式：點斜式，斜截式，兩點式，截距式，一般式，法線式，法向式，點向式。點斜式已知直線一點(x1,y1,)并且存在直線的斜率k，則直線可表示為：y-y1=k(x-x1)。適用范圍：斜率K存在的直線。斜截式已知與Y軸的交點（0，b），斜率為K，則直線可表示為：y=kx+b。適用范圍：斜率存在的直線。兩點式兩點式是解析幾何直線理論的重要概念。當已知兩點（X1，Y1），（X2，Y2）時，將直線的斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)代入點斜式時，得到兩點式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。適用范圍：不平行于（或者說不垂直于）坐標軸的的直線。截距式已知與坐標軸的交點（a，0），（0，b）時，截距式的一般形式：x/a+y/b=1（a≠0且b≠0）。適用范圍：不平行于（或者說不垂直于）坐標軸的直線，不過原點的直線。一般式ax+by+c=0(A、B不同時為0)。斜率：-A/B截距：-C/B。兩直線平行時：A1/A2=B1/B2≠C1/C2，則無解。兩直線相交時：A1/A2≠B1/B2；兩直線垂直時：A1A2+B1B2=0A1/B1×A2/B2=-1，都只有一個交點。兩直線重合時：A1/A2=B1/B2=C1/C2，則有無數(shù)解。適用范圍：所有直線均可適用。法線式過原點向直線做一條的垂線段，該垂線段所在直線的傾斜角為α，p是該線段的長度。x·cosα+ysinα-p=0。法向式知道直線上一點（x0，y0）和與之垂直的向量（a，b），則a（x-x0）+b（y-y0）=0，法向量n=（a，b）方向向量d=（b，-a）k=a/b。點向式知道直線上一點(x0,y0)和方向向量（u,v），(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)。極坐標系極坐標系（polarcoordinates）是指在平面內由極點、極軸和極徑組成的坐標系。在平面上取定一點O，稱為極點。從O出發(fā)引一條射線Ox，稱為極軸。再取定一個長度單位，通常規(guī)定角度取逆時針方向為正。這樣，平面上任一點P的位置就可以用線段OP的長度ρ以及從Ox到OP的角度θ來確定，有序數(shù)對（ρ，θ）就稱為P點的極坐標，記為P（ρ，θ）；ρ稱為P點的極徑，θ稱為P點的極角。極坐標方程于極點（90°/270°）對稱，如果r(θ-α)=r(θ)，則曲線相當于從極點順時針方向旋轉α°。圓方程為r(θ)=1的圓。在極坐標系中，圓心在(r0,φ)半徑為a的圓的方程為r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程r(θ)=a表示一個以極點為中心半徑為a的圓。直線經(jīng)過極點的射線由如下方程表示θ=φ,其中φ為射線的傾斜角度，若k為直角坐標系的射線的斜率，則有φ=arctank。任何不經(jīng)過極點的直線都會與某條射線垂直。這些在點（r0,φ）處的直線與射線θ=φ垂直，其方程為r(θ)=r0sec(θ-φ)圓冪點到圓的冪：設P為⊙O所在平面上任意一點，PO=d，⊙O的半徑為r，則d^2－r^2就是點P對于⊙O的冪．過P任作一直線與⊙O交于點A、B，則PA·PB=|d2－r2|．“到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”．三個圓的根心對于三個圓等冪．當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點．1．定義從一點A作一圓周的任一割線，從A起到和圓相交為止的兩段之積，稱為點A于這圓周的冪．2．圓冪定理已知⊙(O,r)，通過一定點P，作⊙O的任一割線交圓于A,B，則PA，PB為P對于⊙O的冪，記為k，則當P在圓外時，k=PO^2-r^2；當P在圓內時，k=r^2-PO^2；當P在圓上時，k=0.圖Ⅰ：相交弦定理。如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點P，連接AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。所以有：，即：。圖Ⅱ：割線定理。如圖，連接AD、BC。可知∠B=∠D，又因為∠P為公共角，所以有，同上證得。圖Ⅲ：切割線定理。如圖，連接AC、AD。∠PAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因為∠P為公共角，所以有，易圖Ⅳ：PA、PC均為切線，則∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此。所以PA=PC，所以。綜上可知，是普遍成立的。根軸定義

在\o"平面"平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓\o"圓冪"圓冪相等的點的\o"集合"集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。

另一角度也可以稱兩不\o"同心圓"同心圓的等冪點的軌跡為根軸，或者稱作等冪軸。根軸方程

設兩圓O1,O2的方程分別為：

(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)

(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)

由于根軸上任意點對兩圓的\o"圓冪"圓冪相等，所以根軸上任一點(x,y),有

(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=\o"圓冪"圓冪=(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2

兩式相減，得根軸的方程(即x,y的方程)為

2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0

其中f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2類似。解的不同可能

(1)(2)連立的解，是兩圓的公共點M(x1,y1),N(x2,y2)

如果是兩組不等實數(shù)解，MN不重合且兩圓相交，根軸是兩圓的\o"公共弦"公共弦。

如果是相等實數(shù)解，MN重合，\o"兩圓相切"兩圓相切，方程表示兩圓的\o"內公切線"內公切線。

如果是共軛虛數(shù)解，兩圓相離，只有代數(shù)規(guī)律發(fā)揮作用，在坐標系內沒有實質。稱M,N是共軛虛點。尺規(guī)作圖

相交,相切時根軸為兩圓交點的連線.內含時,作一適當?shù)膱A與兩園相交,這圓與兩圓的根軸的交點在根軸上.同理

再作一點,兩點所在的直線即為根軸(等冪軸)相關定理

1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；

2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；

3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內公切線；

4，若兩圓外離，則兩圓的根軸上的點分別引兩圓的切線，則切線長相等。

5，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行；

6，\o"反演"反演后的圓和反演圓和被反演的圓3個圓共根軸。容斥原理也可表示為：設S為有限集,則兩個集合的容斥關系公式：A∪B=|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|(∩：重合的部分）三個集合的容斥關系公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|\o""抽屜原理第一抽屜原理原理1：把多于n+k個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件。證明（反證法）：如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數(shù)至多是n×1，而不是題設的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多于mn(m乘以n)（n不為0）個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于（m+1）的物體。證明（反證法）：若每個抽屜至多放進m個物體,那么n個抽屜至多放進mn個物體,與題設不符，故不可能。原理3：把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里有無窮個物體。原理1、2、3都是第一抽屜原理的表述。第二抽屜原理把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體(例如，將3×5-1=14個物體放入5個抽屜中，則必定有一個抽屜中的物體數(shù)少于等于3-1=2)。極端原理解題，就是在解決相關數(shù)學問題時，重點放在所研究問題