2023年高考數(shù)學大招15對數(shù)平均不等式

大招15對數(shù)平均不等式

大招總結

基本不等式鏈：已知a>0,b>0,號《相《學《后手（當且僅當a=b取等號）,

ab、

即：調和平均數(shù)（幾何平均數(shù)（算術平均數(shù)（平方平均數(shù)，簡記為:調幾算方.

對數(shù)平均不等式：對于正數(shù)a.b,且定義產(chǎn)三為a,b的對數(shù)平均值，且若

Ina-lnb

a>b>O,b<￡<在石<產(chǎn)（他孚<a,即：調和平均數(shù)（何平均數(shù)<

-+-\na-lnb2\2

對數(shù)平均數(shù)〈算術平均數(shù)〈平方平均數(shù)，簡記為:調兒對算方.

證明:

證法1(比值代換)令t=W>l,則病<產(chǎn)

blna-lnb2Int2

<=>Vt<7^<—<=><Int<Vt-構造函數(shù)可證.

Int2t+1Vt

證法2(主元法)不妨設Q>瓦<高號"QEQ-InbV瑞一號QIna-Inb-"+

記f（a）=lna—Inb-第+強ae（b,+8）,則尸矗一蒜=一筆鬻<

0,得/（a）在（力,+8）上單調遞減，有/（a）</（b）=0,左邊得證，右邊同理可證.

證法3（構造函數(shù)法）先證：疝<品

要證y[ab<a~^,只需證Ina-InZ?=<=>ln^=H-令H=%>1,只需

Ina-lnb7abbyjbya-ylb

證21nxVx--,%>1,設/(x)=21nx—x4--,x>1,貝Uf(%)=--1--7=

x/、/%7vyxx2

一色等V°，可得f(%)在(L+8)上單調遞減，???/?(%)Vf(l)=°=21n%V%

再證.a-ba+b

Hn<-----

,Ina-Ind2

要證產(chǎn)3；(竽，只需證?<與3=14<字令w=x>i，只需證w<

Ina-lnb2a+b2-+12bx+1

b

Inxy2Inx、“'幾/、42Inx、.mii，/、21

1x>1-,X>

—-^77<~*°設g(%)=i一有-T則g(")一(4+l)22x-

一第去＜°，故g（x）在（L+8）上單調遞減，???9?＜9（1）=°，:1一去＜容?

:*常見等價變形：Ina-Inb》(a>b>0);Ina-Inb《J7一J，(a》b>0)

用對數(shù)平均數(shù)求證極值點偏移問題的步驟：

（1）根據(jù)/（XX）=/（X2）建立等量關系;

（2）等量關系中如果含有參數(shù)，可考慮消參；如果含有指數(shù)式，可考慮兩邊取對數(shù);

（3）通過恒等變形轉化出對數(shù)平均數(shù)，代人對數(shù)平均不等式求解.

典型例題

【題型1］證明極值點偏移問題

例1.)已知函數(shù)/'(X)=xe-。如果刀1力％2，且/支1)=/(刀2),證明：%i+x2>2.

解證明：即Xie-Xi=?e-Xz/nXi-與=ln%2-%2，則\nx~-Anx'=1(正數(shù)的對

數(shù)平均數(shù)為1),于是后石<1<空，得/％2<1，且與+&>2.

例2.已知函數(shù)/(x)—xlnx的圖像與直線y=m交于不同的兩點^(x1,y1),B(x2,y2))

求證：xrx2<2.

m

與=-——___HL.

=I：I?=一晟:n￡；X1+

y—____inXf—m%2in—inX2inx^inX2

(21眸

X2=」上+曰-二粵絲獸紅，由對數(shù)平均不等式得■〈叫n”n也)(7n<

InXilnx2lnx1lnx2lnx1lnx221nx1xlnx2

OJnx1<OJnx2<0),—2>In/+Inx2=ln(x1x2)，得<W

例3.設函數(shù)f。）=In%-Q%2+Q-a）》的兩個零點是％i，%2，求證：/（遼券）vo.

解證明：由題意得｛吃二M洗器工，兩式相減得出…亞―

x

%2)(%1—2)+(2-a)(%i—x2)=O/n%i—lnx2=(%i—%2)[。(X1+%2)+a—2],則

______11

打一白2>0,所以+x\+a￡<^T=a(Xi+X2)2+(a-2)(/+

a(%i+%2)+a—2

lnx1-lnx2

%2)-2>0=[tz(%2+%2)—2](%i+&+1)>0=+%2>qnf(\2)V0

x

例4.設函數(shù)/(x)=e-ax4-a,其圖像與x軸交于i4(x1,0),F(x2/0)兩點，且與V

%2，

x2

解；證明：f(Vx1%2)<0-證明：/(%)=0即e=a(x—l)(a>e),x=Ina+ln(x—

x_

1),則卜—lna+ln(xi1*①-②得xx-x2=(i-1)(x2-1)=ln(xx-1)-

lx2=Ina+ln(x2-1)②

ln(x2-1),則J竽％=1(正數(shù)X1-l,x2-l的對數(shù)平均數(shù)為1),于是,

J(XL1)3-1)<1<…y7,得管二個jT)<1

①+②得力+必=21na+InCq-1)(%2-1)<21na,所以宿石<也等<lna,由此可

得f<0.

【題型2】b>>a(a>0)的應用

Inb-lna'

例5.設函數(shù)/(x)=ln(l+%),g(%)=xf(%),其中/(%)是/(%)的導函數(shù)，設幾￡

N+，比較g(l)+g(2)+-,+g(X)與n-/(n)的大小，并加以證明.

解：因為g(%)=±,所以g(D+g(2)+…+g(n)=3+：+—+三="-(|+1+

A1X4J?I1X\43

…+W),而九一/(n)=n-ln(n+1),因此，比較g(l)+g(2)+…+g(n)與九一/(n)

的大小，即只需比較；+：+,,,-1—~~與ln(n4-1)的大小即可.根據(jù)b>a>0時，b>

?人:—,HP-(b—a)<\nb—Ina,令a=幾b=九+1,貝！I<ln(n+1)—Inn,所

以|<ln2—Ini=In2,1<ln3—ln2,????<ln(n+1)—Inn,將以上各不等式左右兩

邊相加得：之+：+…+WV也(九+1),故g(1)+g(2)+…+g(n)>n—/(幾).

【說明】本題是高考試題的壓軸題，難度較大，我們這里應用對數(shù)平均數(shù)不等式鏈來證明,

思路簡捷，別具新意，易于學生理解、掌握，也可以利用之前講的數(shù)列不等式.

當b>a>0時，；:—>即Inh—Ina<-(Z?-a),令a=n,b=九+1,則

Inb-lnaaa''

ln(n+1)—Inn<^,可得ln(n4-1)<1+--卜:.

例6.已知函數(shù)/(%)=%-ln(%+a)(a>0)的最小值為0,證明：-ln(2n+

1)<2(n6N*).

解證明：易求a=l,待證不等式等價于1+1+3+…+嘉vlnQn+l),根據(jù)b>

a>0時，b>”一：，即-(h—a)<Inh—Ina,令a=2葭一l,b=2幾+1,則

I?nd-Inab

2272?

2(^—=肅<ln(2n+1)—ln(2n-1),|<In3-In1,|<In5-In3,^<In7-In5,…，

2(7J1)_1<ln(2n+1)-ln(2n-1),將以上各不等式左右兩邊分別相加得：

8

22222v22

□+z+-+??-+-------+<ln(2n+1),〉——--ln(2n+1)<2-

3572n-12n4-1乙2i-l2n4-1

i=l

<2,得證.

【題型3】岸>&(b>a>°)的應用

例7.設數(shù)列｛。工的通項其前n項的和為Sn,證明：Sn<ln(n+1).

解證明：根據(jù)b>a>0時，>]：一：，即令九+

72Inft-lnaInh-Ina>Va2+b2b=

l,a=nf則ln(n+1)-]n>>■,遮=-7=‘->'.->a，易證SV

、J7n2+(n+l)2V2n2+2n+lV2n2+2n+2nn

ln(n+1).

【題型4]詈>缶(6>0>0)的應用

例8.設數(shù)列｛冊｝的通項Qn=1+[+：+…+；，證明：an<ln(2n+1).

解證明：根據(jù)時，手>肅工，即lnb—lna>3黑，令b=2n+1,a=2n-1,則

ln(2n4-1)—ln(2n-1)>^,易證an<ln(2n+1).

【題型5】A(6>a>0)的應用

a上

Ino-ln2a+b

例9.已知函數(shù)/(%)=ax+§+C(Q>0)的圖象在點(L/(l))處的切線方程為y=x-

1.

證明：1+[+g+…+；>ln(n+1)+^￡^,(幾》1)

解證明：當b>a>0時，:一：>匕,即Inb—InaV工+J)(b—Q),

Inb-lna>彳2\ab八'

令a=n,b=n-{-l貝ijln(n+1)—Inn<|Q+^0,

所以In2—In1V；(；+,In3—In2<1(；+

ln(n+l)-lnn<|g+^),將以上各不等式左右兩邊分別相加得：

ln(n+1)<乙+0+工+乙+-+3)+—,

’72\234nJ2(n+l)

即ln(n+1)<1+三+[+*+…+工+---~~~-

、)234n2(n+l)2

故1+工+*+???+%>ln(n+1)+—.

23n'/2(n+l)

[題型6]【售一>?b>a>0)的應用

Inb-\na

例10.已知/(x)=aln(x+1)++3%—1.

求證：:+J+J1+…1>：皿2n+1)對一切正整數(shù)九均成立.

4x12-14x22-14x32-14xn2-l4''

解證明:根據(jù)匕〉。〉0時,----->\[ab\nb-\na<^-j=^.

\nb-\nayjab

21

令b=2〃+l,a=2〃-1,則ln(2〃+l)-ln(2〃-l)</，變形可得:—

"〃2_14

1

M_1_1

[ln(2?+1)-ln(2〃-1)]</?=—：—,-(ln3-lnl)<2xl2-l,

V4zz2-14療-1

I(ln5-ln3)<-^—,,」ln(2"+l)—ln(2〃-1)]<將以上各不等式左右兩

44x22-144W-1

234n1

邊相力口得:----：---1----5---1----;-+-■+---5——>-ln(2n+l)對一切正整數(shù)〃

4x?-14x2--14x3-14xn-14

均成立.

自我檢測

1.已知函數(shù)/(%)=ev-公有兩個零點內</，則下列說法錯誤的是

A.a>eB.Xj+x2>2C.x}x2>1D.有極小值點餐,且玉<2%

解析：函數(shù)/(%)導函數(shù)：/(%)=。*一。，有極值點x=ln。，而極值

v,A2

/(lna)=a-Qln。vO,「.正確；f(x)有兩個零點：e-ax]=0,e-ax2=0,

即:x,=Intz+In%1(1),x2=\na+\nx2(2)

(1)-(2)得：xi-x2=lnxi-\nx2,根據(jù)對數(shù)平均值不等式：

'>―-~——=1>Jx1X2???玉+工2>2,而1>，中2，??二%2<1，B正確，C

2InX)-Inx2-

錯誤，而⑴+(2)得玉+入2=21n〃+ln玉&<21na,即D成立.

2.設函數(shù)/(x)=Inx-a?+Q-a八的兩個零點是玉,馬,求證:/[文|三)<。

證明：

,ln\以；+(2。)玉°二此百_inx2_a(X1+々)(王一工2)+(2—。)(不一工2)=°

In%-+(2-a)/=0

xax

=>lnxj-lnx2=Q(X]+%2)(玉-x2)-(2-tz)(x,_/)=(芭~2)\_(\+々)一(2—

X.-X,1c1x,+x,

————=-=—7-----7------>0=>-------r-----<———-

InA：1-lnx2&(%+%2)+&-2a^xt+x2)+a-l2

2r~/-i，

=>〃(玉+/)+(々-2)(工1+x2)-2>0=>=>[。(為+%2)-2|(%1+x2+1)>0=>%)+x2>—=>/

胃》。

3.已知函數(shù)/(x)=lnx和g(x)=ax，若存在兩個實數(shù)xt,x2且玉7々,滿足

/(%)=8(%)，/(々)=8(*2)，求證：％+x2>-

證明：由In%一叫=ln%2—。尤2得一'———=—|0<4Z<-|,貝IJ—<X'+'Y?,得

In%1-Inx2QIeJa2

Xj+x>—>—;x^x>e2<=>InXj+Inx>2<=>a[x+x)>2<=>Xj+x>—.

2ae22[2a2

4.已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)-："V

1+x

⑴若x..0時,/(x),,0,求/l的最小值；

(2)設數(shù)列｛4｝的通項%=1+；+:++L證明：a2“—a“+；>ln2.

解析：⑴易得/(0)=0,/'(x)=",令/'(x)=0,則x=O,x=E/,

(1+x)-2

若2<0,則當x>Q時，/(x)>O,/(x)是增函數(shù)，/(x)>/(0)=0不符合題意；若

11_