專題15 立方根重難點題型專訓(xùn)（六大題型）（解析版）

專題15立方根重難點題型專訓(xùn)（六大題型）【題型目錄】題型一立方根的概念理解題型二求一個數(shù)的立方根題型三已知一個數(shù)的立方根，求這個數(shù)題型四與立方根有關(guān)的規(guī)律計算題型五立方根的實際應(yīng)用題型六平方根與立方根的綜合應(yīng)用【知識梳理】知識點一：立方根1.定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．2.正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．3.求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．注意：符號中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一個立方根．總結(jié)：類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論【經(jīng)典例題一立方根的概念理解】1．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）一般地，如果（n為正整數(shù)，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列結(jié)論中正確的是（）A．16的4次方根是2B．32的5次方根是±2C．當(dāng)n為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而減小D．當(dāng)n為偶數(shù)時，2的n次方根有n個【答案】C【分析】根據(jù)新定義的意義計算判斷即可．【詳解】解：∵16的4次方根是±2，∴A選項的結(jié)論不正確；∵32的5次方根是2，∴B選項的結(jié)論不正確；∵當(dāng)n為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而減小，∴C選項的結(jié)論正確；∵當(dāng)n為偶數(shù)時，2的n次方根有2個，∴D選項的結(jié)論不正確．故選：C．【點睛】本題考查了實數(shù)的新定義問題，正確理解新定義的意義是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）若＝2.89，＝28.9，則b等于（）A．1000000 B．1000 C．10 D．10000【答案】B【分析】根據(jù)立方根得出a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，即可求出b的值．【詳解】∵＝2.89，＝28.9，∴a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，∴b＝103＝1000，故選：B．【點睛】本題考查了對立方根定義的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能關(guān)鍵立方根定義得出等式a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，難度適中．3．（2022秋·八年級單元測試）以下幾種說法：①正數(shù)、負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為有理數(shù)；②近似數(shù)1.70所表示的準(zhǔn)確數(shù)的范圍是；③的平方根是；④立方根是它本身的數(shù)是0和1；其中正確的說法有：．（請?zhí)顚懶蛱枺敬鸢浮竣凇痉治觥扛鶕?jù)有理數(shù)、近似數(shù)字、平方根、立方根等概念即可判斷．【詳解】解：①正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零統(tǒng)稱為有理數(shù)，故原說法錯誤；②根據(jù)四舍五入可知，近似數(shù)1.70所表示的準(zhǔn)確數(shù)的范圍是，說法正確；③的平方根是，原說法錯誤；④立方根是它本身的數(shù)是0和±1，原說法錯誤；故答案為：②．【點睛】本題考查學(xué)生對概念的理解，解題的關(guān)鍵是正確理解有理數(shù)、近似數(shù)字、平方根、立方根等概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．（2023春·江蘇南通·七年級南通市通州區(qū)育才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知1.038，，，則.【答案】-0.482【分析】根據(jù)被開方數(shù)小數(shù)點移3位，開立方后的結(jié)果向同方向移一位進(jìn)行計算．【詳解】解：∵≈4.820，被開方數(shù)小數(shù)點向左移3位，開立方后的結(jié)果小數(shù)點向左移一位，∴≈-0.482.故答案為：-0.482【點睛】此題主要考查了立方根，關(guān)鍵是掌握小數(shù)點的移動規(guī)律．被開方數(shù)小數(shù)點移3位，開立方后的結(jié)果小數(shù)點向同方向移一位，5．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）已知：一個正數(shù)a的兩個不同平方根分別是x+5和4x﹣15．（1）求x的值；（2）求a+1的立方根．【答案】（1）x＝2；（2）2【分析】（1）根據(jù)正數(shù)a的兩個平方根互為相反數(shù)列式求出x的值即可；（2）把（1）中求出的a的值代入a+1，然后再求立方根即可．【詳解】解：（1）∵一個正數(shù)a的兩個平方根分別是x+5和4x﹣15，∴（x+5）+（4x﹣15）＝0，∴5x﹣10＝0，解得x＝2；（2）由（1）得x＝2，∴a＝（2+5）2＝49．a(chǎn)+1＝×49+1＝7+1＝8，∴a+1的立方根是：＝2．【點睛】本題主要考查了平方根的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)等知識點，一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)；一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．【經(jīng)典例題二求一個數(shù)的立方根】1．（2023春·江蘇南通·七年級南通市新橋中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）一個正數(shù)b的平方根為和，則的立方根是（

）A．2 B．3 C．9 D．【答案】B【分析】先根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)求得a，進(jìn)而求得b，然后代入代數(shù)式，最后求立方根即可．【詳解】解：∵一個正數(shù)b的平方根為和∴，解得∴∴∴的立方根是3．故選B．【點睛】本題主要考查了平方根和立方根，根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)求得a成為解答本題的關(guān)鍵．2．（2021秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如果，，，那么的值有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)平方根、立方根和算術(shù)平方根的定義得出m，n，x的值，再代入計算可得答案.【詳解】∵，，，∴或，，或．當(dāng)，，時，；當(dāng)，，時，；當(dāng)，，時，；當(dāng)，，時，．故選C.【點睛】此題主要考查了平方根的定義，算術(shù)平方根的定義及立方根的定義，比較簡單.3．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）若，，=．【答案】【分析】利用立方根定義判斷即可，．【詳解】解：，，故答案為．【點睛】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知實數(shù)、滿足，則的立方根是．【答案】【分析】根據(jù)絕對值、偶次冪的非負(fù)性求出a、b的值，進(jìn)而求出的值，再根據(jù)立方根的定義進(jìn)行計算即可．【詳解】解∶∵，，，∴，，∴，，∴，∴的立方根是．故答案為：．【點睛】本題考查絕對值、偶次冪的非負(fù)性以及立方根，理解絕對值、偶次冪的非負(fù)性是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇南通·七年級?？茧A段練習(xí)）已知：，，且，求的立方根．【答案】或．【分析】根據(jù)絕對值的化簡及平方根的性質(zhì)得到，利用得到或，再求出即可得到立方根．【詳解】解：∵，，∴，∴或，∵，∴或，∴，或，∴的立方根是或．【點睛】此題考查了立方根的定義，平方根的定義，絕對值的化簡，有理數(shù)乘法法則，熟記各知識點并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三已知一個數(shù)的立方根，求這個數(shù)】1．（2023春·江蘇南通·七年級如皋市實驗初中校考階段練習(xí)）若a2＝16，＝2，則a+b的值為（）A．12 B．4 C．12或﹣4 D．12或4【答案】D【分析】根據(jù)平方根和立方根的意義求出a、b即可．【詳解】解：∵a2＝16，∴a＝±4，∵＝2，∴b＝8，∴a+b＝4+8或﹣4+8，即a+b＝12或4．故選：D．【點睛】本題考查了平方根和立方根以及有理數(shù)加法，解題關(guān)鍵是明確平方根和立方根的意義，準(zhǔn)確求出a、b的值，注意：一個正數(shù)的平方根有兩個．2．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）若a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為；x的平方根為，y的立方根為86.9，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義求出a、b、x、y的值，再找出關(guān)系即可．【詳解】解：∵a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴．故選：A．【點睛】本題考查了對平方根、算術(shù)平方根和立方根的運用．解題的關(guān)鍵是掌握平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義．3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知，且，則的算術(shù)平方根是．【答案】2【分析】先對已知等式進(jìn)行變形，再利用偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a、b的值，然后利用立方根求出c的值，最后代入求值，計算算術(shù)平方根即可得．【詳解】，，，則，解得，由得：，則的算術(shù)平方根是，故答案為：2．【點睛】本題考查了偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性、算術(shù)平方根與立方根、完全平方公式，熟練掌握算術(shù)平方根與立方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）a是的整數(shù)部分，b的立方根為-2，則a+b的值為．【答案】-5【詳解】∵32<10<42,∴的整數(shù)部分a=3,∵b的立方根為-2,∴b=-8,∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.5．（2022秋·八年級單元測試）已知某正數(shù)的平方根是和，的立方根為．(1)求這個正數(shù)的立方根；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，的立方根為，即可得方程，解方程即可求得；（2）根據(jù)（1）可求得的值，再根據(jù)平方根的求法，即可求得．【詳解】（1）由題意得：，解得：，則，∴這個正數(shù)為25，∴這個正數(shù)的立方根為；（2）由題意得：，解得：，∴，∴的平方根為．【點睛】本題主要考查了平方根，立方根，算術(shù)平方根的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根，立方根，算術(shù)平方根的計算方法．【經(jīng)典例題四與立方根有關(guān)的規(guī)律計算】【例4】（2022春·七年級課時練習(xí)）已知≈1.710，不再利用其他工具，根據(jù)規(guī)律能求出近似值的是()A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)被開立方數(shù)的小數(shù)點每移動三位，那么其立方根的小數(shù)點也相應(yīng)的移動一位．由此即可得出答案．【詳解】A．=，由題意不能得出其近似值；B．，由題意不能得出其近似值；C．，由題意不能得出其近似值；D．≈－1.710×10－1=－0.1710．故選D．【點睛】本題考查了立方根的知識，并考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，需要利用已知數(shù)據(jù)來表示未知數(shù)據(jù)；也要掌握：當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點每移動三位，那么其立方根的小數(shù)點也相應(yīng)的移動一位．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東菏澤·八年級校考階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，則，結(jié)合已知條件，即可得出答案．【詳解】解：，，則．故選：D．【點睛】此題考查了立方根的性質(zhì)，結(jié)合題意觀察小數(shù)點的移動規(guī)律，發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)的小數(shù)點移動3位，其立方根就相應(yīng)移動1位．2．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級?？茧A段練習(xí)）觀察下列各式：用字母n表示出一般規(guī)律是．（n為不小于2的整數(shù)）【答案】（n為不小于2的整數(shù)）【分析】分析被開方數(shù)的變換規(guī)律即可求得【詳解】解：1、觀察4個等式左邊根號內(nèi)分?jǐn)?shù)的特點：①整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分的分子相等，即2=2，3=3，4=4，5=5，②整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分的分母有下列關(guān)系：，2、觀察四個等式右邊的立方根前的倍數(shù)正好是等式左邊被開方數(shù)的整數(shù)部分，立方根里的分?jǐn)?shù)正好是左邊被開方數(shù)的分?jǐn)?shù)部分，所以其中的規(guī)律可以表示為（n為不小于2的整數(shù)）故答案為：（n為不小于2的整數(shù)）．【點睛】本題考查了立方根的規(guī)律探究，分析被開方數(shù)的變換規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2023春·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解，觀察下列式子：①；②；③；④；……根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，回答如下問題：(1)【觀察與發(fā)現(xiàn)】：根據(jù)以上式子反映的規(guī)律，請再寫出一個類似的等式：．(2)【分析與歸納】：根據(jù)等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個這樣的真命題：對于任意兩個有理數(shù)，若，則；反之也成立．(3)【拓展與應(yīng)用】：根據(jù)上述歸納的真命題，解答下列問題：若與的值互為相反數(shù)，且，求的值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)（或互為相反數(shù)）(3)9【分析】（1）根據(jù)以上式子反映的規(guī)律寫出符合題意的一個式子即可；（2）觀察規(guī)律若，則；（3）按照規(guī)律計算出和的值，再計算的值即可．【詳解】（1）解：，故答案為：（答案不唯一）；（2）解：根據(jù)等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，若，則，故答案為：（或a，b互為相反數(shù)）；（3）解：與的值互為相反數(shù)，，，，，，．【點睛】本題主要考查了立方根性質(zhì)的應(yīng)用，觀察并總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五立方根的實際應(yīng)用】1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）將一個體積為216立方米的正方體木塊鋸成8個同樣大的正方體木塊，表面積變成原來的()A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．8倍【答案】B【分析】根據(jù)8塊小正方體的體積之和等于大的正方體的體積,可設(shè)小正方體的棱長為x米,列方程為8x=216,求解方程得出棱長x的值,再求小正方體的表面積即可【詳解】解:設(shè)小正方體的棱長為x米,根據(jù)題意得8x=216兩邊同時除以8,得x=27開立方,得x=3所以小正方體的表面積為6?3=54平方米8個小正方體的表面積為8×54=432平方米大立方體的棱長為=6米則表面積為6×6×6=216平方米因為432÷216=2,所以鋸成8個同樣大的正方體木塊,表面積變成原來的2倍故選B【點睛】此題考查立方根，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則2．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）一個幾何體由幾個大小相同的小立方塊搭成，從上面觀察這個幾何體，看到的形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)．若每個小立方塊的體積為216cm3，則該幾何體的最大高度是（

）A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm【答案】D【分析】由每個小立方體的體積為216cm3，得到小立方體的棱長，再由三視圖可知，最高處有四個小立方體，則該幾何體的最大高度是4×6=24cm．【詳解】解：∵每個小立方體的體積為216cm3，∴小立方體的棱長，由三視圖可知，最高處有四個小立方體，∴該幾何體的最大高度是4×6=24cm，故選D．【點睛】本題主要考查了立方根和三視圖，解題的關(guān)鍵在于能夠正確求出小立方體的棱長．3．（2022秋·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）若用該正方形紙片制作一個體積為的無蓋正方體，則該正方體所用紙片的面積為．【答案】【分析】根據(jù)體積求得正方體的邊長，然后求出所用面積即五個正方形的面積．【詳解】解：因為無蓋正方體的體積是，所以邊長為，所用面積為：．故答案為：．【點睛】本題考查的是正方體的邊長與面積的關(guān)系，求一個數(shù)的立方根、面積的求法，解題的關(guān)鍵是要了解它們之間的關(guān)系．4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾巧解開立方的智力題：一個數(shù)是59319，希望求它的立方根．解答：∵＜59319＜，∴是兩位整數(shù)；∵整數(shù)59319的末位上的數(shù)字是9，而整數(shù)0至9的立方中，只有＝729的末位數(shù)字是9，∴的末位數(shù)字是9；又∵劃去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，∴的十位數(shù)字是3；∴＝39；【應(yīng)用】＋59049＝0，其中x是整數(shù)則x的值為．【答案】-13【分析】先運用學(xué)到的方法，進(jìn)行估算，再解一元一次方程即可．【詳解】∵＋59049＝0，∴，∵＜19683＜，∴是兩位整數(shù)；∵整數(shù)19683的末位上的數(shù)字是3，而整數(shù)0至9的立方中，只有的末位數(shù)字是3，∴的末位數(shù)字是7；又∵劃去19683的后面三位683得到19，而2＜＜3，∴的十位數(shù)字是2；∴＝27；∴，解得x=-13，故答案為：-13．【點睛】本題考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟練掌握估算方法，靈活解方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江·七年級期中）如圖1，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，總體積為．

(1)這個魔方的棱長為__________．(2)圖1的側(cè)面有一個正方形ABCD，求這個正方形的面積和邊長．(3)將正方形ABCD放置在數(shù)軸上，如圖2所示，點A與數(shù)2表示的點重合，則D在數(shù)軸上表示的數(shù)為__________．【答案】(1)6(2)面積是，邊長是(3)【分析】（1）魔方是個正方體，正方體的體積等于棱長的三次方，再利用立方根的含義求解即可；（2）這個正方形ABCD的邊長是小立方體一個面的對角線的長度，利用勾股定理求解即可；（3）由，把A往左邊平移個單位即可得到D點表示的數(shù)．【詳解】（1）解：解：設(shè)魔方的棱長為，根據(jù)題意得，∴，故答案為6．（2）設(shè)小正方體的棱長為，根據(jù)題意得，∴∴所以根據(jù)勾股定理得，∴，正方形的面積為18，答：這個正方形的面積是，邊長是．（3）由（2）知，，∵點A對應(yīng)的數(shù)是2，∴把A往左邊平移個單位長度可得點D對應(yīng)的數(shù)是．【點睛】本題考查了正方體的體積、實數(shù)與數(shù)軸之間的關(guān)系和勾股定理，二次根式的化簡，正方體的體積=棱長的立方．實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系，數(shù)軸上的點的左右移動后對應(yīng)的數(shù)的表示．【經(jīng)典例題六平方根與立方根的綜合應(yīng)用】1．（2022春·廣東佛山·九年級?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．4的算術(shù)平方根是2 B．0.16的平方根是0.4C．0沒有立方根 D．1的立方根是±1【答案】A【分析】根據(jù)平方根和立方根的定義判斷即可．【詳解】∵4的算術(shù)平方根是2，∴A正確，符合題意；∵0.16的平方根是±0.4，∴B錯誤，不符合題意；∵0的立方根是0，∴C錯誤，不符合題意；∵1的立方根是1，∴D錯誤，不符合題意；故選A．【點睛】本題考查了平方根即如果一個數(shù)的平方等于a，稱這個數(shù)為a的平方根，立方根如果一個數(shù)的立方等于a，稱這個數(shù)為a的立方根，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）若a是的平方根，b是的立方根，則a+b的值是（

）A．4 B．4或0 C．6或2 D．6【答案】C【分析】由a是的平方根可得a=±2，由b是的立方根可得b=4，由此即可求得a+b的值．【詳解】∵a是的平方根，∴a=±2，∵b是的立方根，∴b=4，∴a+b=2+4=6或a+b=-2+4=2．故選C．【點睛】本題考查了平方根及立方根的定義，根據(jù)平方根及立方根的定義求得a=±2、b=4是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川自貢·七年級統(tǒng)考期末）已知的算術(shù)平方根是2，的立方根是，則的值是．【答案】8【分析】利用算術(shù)平方根、立方根的定義求出的值，代入進(jìn)行計算即可．【詳解】解：的算術(shù)平方根是2，的立方根是，，，解得：，，，故答案為：8．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根、立方根的定義，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知、、在數(shù)軸上的位置如圖，化簡：．【答案】【分析】先根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得，從而可得，再計算算術(shù)平方根與立方根、化簡絕對值，然后計算整式的加減即可得．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)軸、算術(shù)平方根與立方根、化簡絕對值、整式的加減，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）愛學(xué)習(xí)愛思考的小明，在家利用計算器計算得到下列數(shù)據(jù)：…………(1)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是被開方數(shù)擴(kuò)大倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大；(2)已知（精確到），并用上述規(guī)律直接寫出各式的值：，；(3)已知則，．(4)類似小明的探究，把表中所有平方根換成立方根，你能根據(jù)，直接說出和的近似值嗎？【答案】(1)倍(2)；(3)；(4)能直接說出，不能直接說出的值【分析】（1）根據(jù)根號內(nèi)的小數(shù)點移動規(guī)律即可求解，算術(shù)平方根的規(guī)律為，根號內(nèi)的小數(shù)點移動2位，對應(yīng)的結(jié)果小數(shù)移動1位其結(jié)果的小數(shù)點移動一位，小數(shù)點的移動方向保持一致；（2）根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計算即可求解；（3）根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計算即可求解；（4）根據(jù)根號內(nèi)的小數(shù)點移動規(guī)律即可求解，立方根的規(guī)律為，根號內(nèi)的小數(shù)點移動3位，其結(jié)果的小數(shù)點移動一位，小數(shù)點的移動方向保持一致．【詳解】（1）解：被開方數(shù)擴(kuò)大倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大倍,故答案為：倍．（2）（精確到），并用上述規(guī)律直接寫出各式的值：；，故答案為：；．（3）∵∴；（4）解：∵，∴，不能直接說出的值【點睛】本題考查了算術(shù)平方根與立方根的應(yīng)用，掌握小數(shù)點的移動規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【重難點訓(xùn)練】1．（2023春·山東菏澤·八年級校考階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，則，結(jié)合已知條件，即可得出答案．【詳解】解：，，則．故選：D．【點睛】此題考查了立方根的性質(zhì)，結(jié)合題意觀察小數(shù)點的移動規(guī)律，發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)的小數(shù)點移動3位，其立方根就相應(yīng)移動1位．2．（2023春·江蘇南通·七年級?？茧A段練習(xí)）某個數(shù)值轉(zhuǎn)換器的原理如圖所示：若開始輸入的值是，第次輸出的結(jié)果是，第次輸出的結(jié)果是，依次繼續(xù)下去，則第次輸出的結(jié)果的算術(shù)平方根的立方根是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)值轉(zhuǎn)換器可以寫出前幾次輸出的結(jié)果，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，進(jìn)而求得第2020次輸出的結(jié)果，再計算算術(shù)平方根的立方根即可．【詳解】解：由題意可得，當(dāng)時，第一次輸出的結(jié)果是4，第二次輸出的結(jié)果是2，第三次輸出的結(jié)果是1，第四次輸出的結(jié)果是4，第五次輸出的結(jié)果是2，第六次輸出的結(jié)果是1，第七次輸出的結(jié)果是4，第八次輸出的結(jié)果是2，……，∵，則第2020次輸出的結(jié)果是4，4的算術(shù)平方根是2，2的立方根是，故選：D．【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，程序圖，算術(shù)平方根和立方根，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點，求出相應(yīng)的數(shù)字．3．（2023春·河北邢臺·七年級?？茧A段練習(xí)）有這樣一道題目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的說法如下，則下列判斷正確的是（

）甲：x的值是1；乙：甲考慮的不全面，x還有另一個值A(chǔ)．甲說的對，x的值就是1 B．乙說的對，x的另一個值是2C．乙說的對，x的另一個值是 D．兩人都不對，x應(yīng)有3個不同值【答案】D【分析】根據(jù)立方根的性質(zhì)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵，∴或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；即x有3個不同的值，故兩人說法都不對；故選：D．【點睛】本題考查了立方根的性質(zhì)，熟練掌握立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）有一個計算器，計算時只能顯示1.41421356237十三位（包括小數(shù)點），現(xiàn)在想知道7后面的數(shù)字是什么，可以在這個計算器中計算下面哪一個值（

）A．10 B．10（-1） C．100 D．-1【答案】B【詳解】由于計算器顯示結(jié)果的位數(shù)有限，要想在原來顯示的結(jié)果的右端再多顯示一位數(shù)字，則應(yīng)該設(shè)法去掉左端的數(shù)字“1”.對于整數(shù)部分不為零的數(shù)，計算器不顯示位于左端的零.于是，先將原來顯示的結(jié)果左端的數(shù)字“1”化為零，即計算.為了使該結(jié)果的整數(shù)部分不為零，再將該結(jié)果的小數(shù)點向右移動一位，即計算.這樣，位于原來顯示的結(jié)果左端的數(shù)字消失了，空出的一位由原來顯示結(jié)果右端數(shù)字“7”的后一位數(shù)字填補(bǔ)，從而實現(xiàn)了題目的要求.根據(jù)以上分析，為了滿足要求，應(yīng)該在這個計算器中計算的值.故本題應(yīng)選B.點睛：本題綜合考查了計算器的使用以及小數(shù)的相關(guān)知識.本題解題的關(guān)鍵在于理解計算器顯示數(shù)字的特點和規(guī)律.本題的一個難點在于如何構(gòu)造滿足題目要求的算式.解題過程中要注意，只將原結(jié)果的左端數(shù)字化為零并不一定會讓這個數(shù)字消失.只有當(dāng)整數(shù)部分不為零時，左端的零才不顯示.另外，對于本題而言，將結(jié)果的小數(shù)點向右移動是為了使該結(jié)果的整數(shù)部分不為零，要充分理解這一原理.5．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）若，，＝．【答案】【分析】利用立方根的定義及負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·四川廣元·七年級校聯(lián)考期中）已知按照一定規(guī)律排成的一列實數(shù)：，，，，，，，，，，…，則按此規(guī)律可推得這一列數(shù)中的第個數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，每三個數(shù)為一組，依次是這個數(shù)的算術(shù)平方根的相反數(shù)，算術(shù)平方根，立方根，從而可以得到這一列數(shù)中的第2023個數(shù)．【詳解】解：一列實數(shù)：，，，，，，，，，，…這些數(shù)每三個數(shù)為一組，每組出現(xiàn)的特點一樣，依次是這個數(shù)的算術(shù)平方根的相反數(shù)，算術(shù)平方根，立方根，這一列數(shù)中的第個數(shù)應(yīng)是，故答案為：．【點睛】此題主要考查實數(shù)的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律求解．7．（2023春·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）在一次出國訪問途中，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚看到鄰座乘客在閱讀一道智力題：一個數(shù)是，希望求解它的立方根．華羅庚脫口而出：．鄰座的乘客十分震驚，詢問其奧妙．華羅庚是這樣得出答案的：（1）由，，確定立方根是位數(shù)．（2）由的個位數(shù)是，確定其立方根的個位數(shù)是．（3）劃去后面三位數(shù)，得到數(shù)，而，，可以確定十位數(shù)是．因此可以得到立方根為．請你仿照以上的方法，計算．【答案】【分析】根據(jù)題意的方法，確定個位數(shù)與百位數(shù)，再進(jìn)行估算即可求解．【詳解】解：（1）由，，確定算術(shù)平方根是位數(shù)．（2）由的個位數(shù)是，確定其算術(shù)平方根的個位數(shù)是．（3）劃去后面四位數(shù)，得到數(shù)，而，可以確定個位數(shù)是．∵，，，∴十位數(shù)字為，因此可以得到，經(jīng)檢驗故答案為：．【點睛】本題考查了立方根，算術(shù)平方根的定義，根據(jù)題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2021春·北京·七年級期中）我們可以從解方程的角度理解從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)的必要性．若不是某個有理數(shù)的平方，則方程在有理數(shù)范圍內(nèi)無解；若不是某個有理數(shù)的立方，則方程在有理數(shù)范圍無解．而在實數(shù)范圍內(nèi)以上方程均有解，這是擴(kuò)充數(shù)的范圍的一個好處．根據(jù)你對實數(shù)的理解，選出正確命題的序號．①在實數(shù)范圍內(nèi)有解；②在實數(shù)范圍內(nèi)的解不止一個；③在實數(shù)范圍內(nèi)有解，解介于1和2之間；④對于任意的，恒有．【答案】①②【分析】根據(jù)立方根、平方根的定義可判斷①②；利用開平方法解方程后可判斷③的解的情況；利用特殊值法可判斷④．【詳解】①，則，即，∴，在實數(shù)范圍內(nèi)有解，故選項①正確；②，則，∴在實數(shù)范圍內(nèi)的解有兩個，故選項②正確；③，整理得：，配方得：，開方得：或(舍去)，∴，∴原方程在實數(shù)范圍內(nèi)有解，且一正一負(fù)，故選項③錯誤；④當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故選項④