2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第5章 命題探秘2　高考中的解三角形問題

復(fù)數(shù)

［考試要求］

1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù).

2.結(jié)合復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，共朝復(fù)數(shù)，

復(fù)數(shù)的模等概念的認(rèn)識.

3.結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算.

［走進(jìn)教材?夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識?激活技能

?梳理?必備知識

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的定義

形如a+bi(a,8GR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是亞，虛部是心

(2)復(fù)數(shù)的分類

實(shí)數(shù)(/?=0),

復(fù)數(shù)z=a+/?i

虛數(shù)［純虛數(shù)(。三0,b^Q),

(a,b￡R)(匡0)］非純虛數(shù)(aWO,匕WO).

(3)復(fù)數(shù)相等

a+b\=c+di<F>g=cAb=d(a,b,c,dGR).

(4)共枕復(fù)數(shù)

a+〃i與c+di共輾U>n=c,且b=-d(a,b,c,R).

(5)復(fù)數(shù)的模

向量破的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作團(tuán)或也土也11，即|z|=|a+Z?i|=r=

、片+加》。a,0GR).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)迎血及平面向量龍：=(“，勿(a,OCR)是一

一對應(yīng)關(guān)系.

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則

設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d6R),則

①加法：z1+Z2=(。+歷)+(c+di)=(〃+c)+(Z?+d)i；

②減法：zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=3—c)+(b—d)i；

③乘法：Z］-Z2=(〃+Ai)?(c+di)=(ac—b十+(ad+bc)i；

zia+bi(。+歷)(c—di)ac+bd.bc-ad

④除法:三土三(c+d/O)-

22c+di(c+di)(c—Ji)

(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何Z”Z2，Z3eC,有Z1+Z2=Z2+

0,⑵4~Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).

［常用結(jié)論］

,1+i1-i

1.(1土i)2=±2i;;;=i;,,.=—i.

2.i4n=l，i4n+1=i,i4n+2=-l,i4"+3=3(〃￡N*).

---roZ1|z11

3.Z?Z=k￡=IzE，|zi?Z2|=|Z1|?㈤，3=百，|z”|=UT

◎激活?基本技能

一'易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)若aWC,則/eo.()

⑵復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()

(3)復(fù)數(shù)z=a+Ai(a,AWR)的虛部為機(jī)()

(4)方程/+尤+1=0沒有解.()

［答案］⑴X(2)X(3)X(4)X

二'教材習(xí)題衍生

1.若復(fù)數(shù)ZU3—D+a—Di為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)X的值為()

A.-1B.0

C.1D.—1或1

fx2—1=0,

A［因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以J所以x=-1.］

x—1W0,

2.復(fù)數(shù)丁的虛部是()

A.1B.-1C.iD.-i

2

1+i（1+i）（—i）

B[V-=-----Zp-----=1，

.?.]1匚Ii的虛部為一1.故選B.]

3.方程/+3=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解為尤=

[答案]嶇

4.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z”Z2對應(yīng)的向量分別是m,IJZI-Z2=

—4—3i[z]——2+i,Z2=l+2i,

zi?Z2=(-2+i)(l+2i)=-4-3i.]

[細(xì)研與唬二突破題型]重難解惑-直擊高考

□考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念梅組通關(guān)

1.如果復(fù)數(shù)則（）

A.z的共也復(fù)數(shù)為1+iB.z的虛部為一i

C.|z|=2D.z的實(shí)部為一1

22（-1-i）-2-2i.

D[Vz=-l+i=（-1+i）（-1-i）=-2~=_lf二的實(shí)部為

-1,故選D.]

2.若復(fù)數(shù)z滿足（仍一i）z=|巾+i|（其中i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共也復(fù)

數(shù)》的虛部為（）

A.；B.giC.—gD.—gi

C[由（小—i）z=S+i|得（小—i）z=N（小）2+12=2,

,,,,,22（小+i）2（小+i）近1.

所以z=^=（S—D（小+i）=4=2+升

所以z=^^一]i,所以z的虛部為-5.]

3

加2+j

3.如果復(fù)數(shù)k-是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)〃2等于()

1~rmi

A.-1B.0C.0或1D.0或一1

>+io+i)(1-mi)"+/%+(1—4)i

D,因?yàn)榇藦?fù)數(shù)為純

h+mi(1+mi)(1-nn)1

m2+m=0,

虛數(shù)，所以J.解得加=-1或0,故選D.]

1—〃2'N0,

4.設(shè)有下面四個(gè)命題：

PI：若復(fù)數(shù)z滿足(?R,則ZWR；

P2：若復(fù)數(shù)Z滿足z2GR,則ZWR;

P3：若復(fù)數(shù)Z|,Z2滿足Z1Z2WR,則Z1=Z2；

P4：若復(fù)數(shù)zGR,則zCR.

其中的真命題為()

A.pi,P3B.pi,P4

C.P2,P3D.P2,"4

B[對于命題pi，設(shè)2=。+折(。，〃WR),由已=0南=尢苗￡1＜，得匕=0,

則zWR成立，故命題pi正確；對于命題p2，設(shè)z=a+Z?i(a,AWR),由z2=(a2

—〃)+2"iGR,得。"=0,則a=0或。=0,復(fù)數(shù)z可能為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)，故

命題P2錯(cuò)誤；對于命題P3，設(shè)zi=a+萬(a,Z?￡R),Z2=c+di(c,dCR),由zi?Z2

=(ac—仇/)+(ad+bc)iGR,得ac/+bc=0,不一定有zi=Z2，故命題p3錯(cuò)誤；

對于命題設(shè)z=a+歷(a,/?GR),則由zWR,得/?=0,所以z=aGR成立,

故命題P4正確.故選B.]

畬反思袋思解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)

(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿

足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)

組即可.

(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,bdR)的形式，以確定實(shí)部和虛部.

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算慨組通關(guān)

4

1.(2021?新高考I卷)已知z=2—i,則z(z+i)=()

A.6—2iB.4—2i

C.6+2iD.4+2i

C[因?yàn)閦=2—i,所以—故選C.]

2.(2021?全國甲卷)已知(l—i)2z=3+2i,則z=()

A.-1—B.-1+^i

33

C.-]+iD.-2-i

3+2i3+2i3i—2,3.

B[z=(1-i)2=_2i=2=一]+.]

3.(2021?江蘇常州一模)已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限內(nèi)，甲、乙、

丙、丁四人對復(fù)數(shù)z的陳述如下(i為虛數(shù)單位)：甲：z+3=2；乙：￡-7=273

--Z779

i；丙：z?z=4；T：==5.在甲、乙、丙、丁四人的陳述中，有且只有兩個(gè)人

的陳述正確，則復(fù)數(shù)z=.

l+i[設(shè)z=4+/?i(o>0,Z?>0),則z=a—bi,

———、、z+

.?.z+z=2。,z—z=2〃i,z?z=a1+b2~=??

9z〃

—z2

Vz-z=4與=Z=5不可能同時(shí)成立，

???丙、丁兩人的陳述不能同時(shí)正確；

當(dāng)z-T=2小i時(shí)，b2=3>2,

zz2.

?\一=5不成立,

ZN

J乙、丁兩人的陳述不能同時(shí)正確；

當(dāng)甲、乙兩人的陳述正確時(shí)，a=l,b=y/3,

則丙也正確，不合題意；

當(dāng)甲、丙兩人的陳述正確時(shí)，。=1,

則乙也正確，不合題意；

5

當(dāng)乙、丙兩人的陳述正確時(shí)，/?=小，a=\,

則甲也正確，不合題意；

甲、丁兩人的陳述正確，

此時(shí)a=b—\,

：.z=l+i.]

1-i2021

4------=

?1+i--------?

1—i30211—i_____(]T)2_____—2i.

1Ii+i=7T1=(i-i)(i+i)=亍=7

力反思領(lǐng)悟

復(fù)數(shù)運(yùn)算的常見類型及解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法

復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法，可將含有虛數(shù)單位i的項(xiàng)看作一類同類項(xiàng),

不含i的項(xiàng)看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.

(2)復(fù)數(shù)的除法

除法的關(guān)鍵是分子、分母同乘分母的共扼復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的福寫成

最簡形式.

(3)復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算

運(yùn)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序.

考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義枷生共研

[典例](1)(2021?新高考H卷)復(fù)數(shù)叢在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在的象限為

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)已知復(fù)數(shù)zo=l+2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Po,復(fù)數(shù)z滿足

|z—l|=|z—i|,下列結(jié)論：

①尸o點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)；

②復(fù)數(shù)zo的共枕復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)Po關(guān)于虛軸對稱；

③復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在一條直線上；

6

④Po與z對應(yīng)的點(diǎn)Z間的距離的最小值為晉.

其中正確的是.（填序號）

（3）（2020?全國n卷）設(shè)復(fù)數(shù)Zi,Z2滿足|Z1|=|Z2|=2,zi+z2=V§+i,則|ZLZ2I

..2—i_(2—i)(l+3i)

(DA(2)①③④(3)2y/3[⑴.l-3i=(l-3i)(l+3i)

2+6i-i~3i25+5i11.

12+(-3)2=10=2+?'

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為g,0，位于第一象限.故選

A.

（2）復(fù)數(shù)z（）=l+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為八）（1，2）,①正確；復(fù)數(shù)z（）的共機(jī)

復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)Po關(guān)于實(shí)軸對稱，②錯(cuò)誤；設(shè)z=x+yi（x,yWR）,代入以一1|

=|z—i|,得|（x—l）+yi|=|x+（y—l）i|,

即弋（x—1）2+y2+（廠1）2,整理得y=x,

即Z點(diǎn)在直線丁=%上，③正確；

易知點(diǎn)A）到直線y=x的垂線段的長度即為Po與Z之間距離的最小值，結(jié)

合點(diǎn)到直線的距離公式可知，最小值為口^=乎，故④正確.故正確的是①③④.

（3）法一：（代數(shù)法）設(shè)zi—Z2=o+歷，a,b￡R,

因?yàn)閦i+z2=，5+i,

所以22i=（，^+。）+（1+〃）i,2Z2=（^3—。）+（1—b）i.

因?yàn)?|=0|=2,所以|2ZI|=|2Z2|=4,

所以7（仍+。）2+（1+。）2=%①

7（小-q）」+（1-（）2=4,（2）

①2+②2,得/+〃=12.

所以|z1—221=ylc^+b2=2y[3.

法二：（幾何法）設(shè)復(fù)數(shù)zi，Z2在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)向量次，仍，則Zl+Z2

對應(yīng)向量oA+。力.

7

由題意知|必|=|仍|=|磔+仍1=2,

如圖所示，以04,08為鄰邊作平行四邊形。4CB,

B

則Z1—Z2對應(yīng)向量刑，且I8|=原白=|元1=2,

可得|或|=2|況Isin60°=2小.

故|zi—Z2|=|或|=

畬反思領(lǐng)悟與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法

進(jìn)行簡單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的

第一——

代數(shù)形式

把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)

第二步—系，依據(jù)是復(fù)數(shù)a+bi與復(fù)平面上的點(diǎn)(a,

b)一一對應(yīng)

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.已知z=(/”+3)+(m—l)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍是()

A.(-3,1)B.(-1,3)

C.(1,+8)D.(-8,-3)

A［由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(加+3,m-1),所以

加+3>0,

1解得一3VmVl,故選A.］

l/n-KO,

2.(2021?石家莊一模)設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題：

2—

①|(zhì)z|=zz;

2

②z2=|z|;

③若|z