廣東省2020年高二數(shù)學上學期期中考試卷（四）

廣東省2020年高二數(shù)學上學期期中考試卷(四)

(理科)

(考試時間120分鐘滿分150分)

一、單項選擇題(共12小題，每小題5分，共6()分)

1.球的半徑擴大到原來的n倍，其表面積和體積分別擴大到原來的()倍.

A.n和/B.n和I？C.1?和產D.以上都不對

2.已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),試判斷直線AB與PQ的位

置關系()

A.平行B.垂直C.重合D.不能確定

3.過點P(2,3)并且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為()

A.2x-3y=0B.3x-2y=0或x+y-5=0

C.x+y-5=0D.2x-3y=0或x+y-5=0

4.兩條平行直線h：3x-2y-1=0,I2：3x-2y+l=0的距離是()

2限V1312

A-13B-~L3c-13D-T3

5.設Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和，若a2=l,a4=5,則S5等于()

A.7B.15C.30D.31

6.點P(2,0)關于直線x+y+l=0對稱點Q的坐標為()

A.(-1,-3)B.(3,3)C.(-1,3)D.(4,-2)

7.直線x+m2y+6=0與直線(m-2)x+3my+2m=0平行，則實數(shù)m的值為()

A.m=0或m=3B.m=-1或m=3C.m=0或m=-1D.m=-1

8.已知經過點A（-2,0）和點B（1,3a）的直線h與經過點P（0,-1）和點、門，-2a）

的直線h互相垂直，則實數(shù)a的值為（）

A.-1B.0C.-1或0D.1或0

9.設1,m是兩條不同的直線，a是一個平面，則下列命題正確的是（）

A.若lj_m,mCa,貝！Il_LaB.若lJ_a,l〃m,則m_La

C.若l〃a,mCa,則l〃mD.若l〃a,m〃a,貝也〃m

10.在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應的側視圖可以為（)

11.高為舊的四棱錐s-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S、A、B、C、D均在半徑為

1的同一球面上，SA_L面ABCD,則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為（）

A,返B.返班C.D,V2

222V

12.直線y=x+b與曲線x=Jl-y2有且只有一個交點,則b的取值范圍是（）

A.|b|二圾B.-l<bR且b=一我C.-l<b<lD.非A、B、C結論

二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分。）

13.已知點A（-3,1,4）,則點A關于原點的對稱點B的坐標為；AB的長

為

14.對于任意實數(shù)k,直線y=k(x-1)與圓x2+y2-2x-2y-2=0的交點的個數(shù)是個.

15.圓C］：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圓C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,當圓C］與圓C2內

切時，m的取值是

16.給出下列命題:

①在區(qū)間(0,+°°)上，函數(shù)y=x",y=x~2,y=(x-1)2,y=x3中有三個是增函數(shù);

②若logm3<logn3<(),貝！J0<n<m<1；

③若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(x-1)的圖象關于點(1,0)對稱;

3X?x<2

④已知函數(shù)f(x)=<、，則方程f(X)=4有2個實數(shù)根;

log3(x-1),x>22

以上命題是真命題的是：

三、解答題(共6小題，共70分.要求有必要的文字說明、計算步驟、證明過程，否則扣分.)

17.已知函數(shù)f(x)=tan(41x-7-T)

36

(1)求f(X)的最小正周期；

(2)求f(等)的值；

r7Tl.,sin(K-a)+cos(a-71)

(3)設f(3a+邛)=-1,求一廣?…冗、一的值.

22V2sin(a+彳)

18.求圓心在直線x+y=0上，且過直線x-2y+4=0與圓x?+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程.

19.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PDL底面ABCD,點E在棱PB上.

(1)求證：平面AEC_L平面PDB；

(2)當PDW^AB,且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.

20.如圖，已知斜三棱柱(側棱不垂直于底面)ABC-AiB?的側面AiACCi與底面ABC垂

直，BC=2,AC=2五，AB=2痣，AA1=A1C=V6.

(I)設AC的中點為D,證明A］DJ_底面ABC；

(II)求異面直線A|C與AB成角的余弦值.

21.對于定義域為D的函數(shù)y=f(x),若同時滿足：①f(x)在D內單調遞增或單調遞減；②

存在區(qū)間［a,b］￡D,使f(x)在［a,b］上的值域為［a,b］,那么把函數(shù)y=f(x)(xWD)叫做“同

族函數(shù)

(1)求“同族函數(shù)"y=x2(x>0)符合條件②的區(qū)間［a,b］.

(2)是否存在實數(shù)k,使函數(shù)y=k+J正是"同族函數(shù)"？若存在，求實數(shù)k的取值范圍；若不

存在，請說明理由.

'y<2

22.若關于實數(shù)x,y不等式組，x-y-l<0表示平面區(qū)域D.

2x+y_2>0

(1)請在直角坐標系下(用直尺)畫出平面區(qū)域D(陰影部分表示).

(2)①求目標函數(shù)Z1金;的取值范圍；②求目標函數(shù)z2T(X-2)2+y2的最小值.

參考答案

一、單項選擇題

1.C.2.A.3.B.4.A.5.B.6.A.7.C.8.D.9.B10.D.

11.A.12.B

二、填空題

13.答案為：(3,-1,-4)；25/26

14.答案為：2.

15.答案為：-2或1.

16.答案為：②③④.

三、解答題

K

17.解：(1)f(x)的最小正周期為T=1=3TI；

~3

/C、、［右3兀/Ji、ZBC/3天、/3天冗、天

(2)將x=--一代入得：f(—―)=tan(---)=tan--=x/3;

22663V

(3)由f(3a+7-)———,得tan［工(3a+7-)-1=-即tan(n+a)——―,

22326J22

/.tana=—-,

2

cosa*O,

-1-1

則原式—Sina-cosaiana—L2.3

sinCl+cosCltana+1-

21

x-2y+4=0

18.解：將直線與圓的方程聯(lián)立得方程組.?，消去x得到y(tǒng)2-2y=0,解得:

x2+yz+2x+4y-8=0

y=0或y=2,

兩圓的交點坐標A（-4,0）,B（0,2）.

因所求圓心在直線x+y=0上，故設所求圓心坐標為（a,-a）,則（a,-a）到兩圓交點（-4,

0）和（0,2）的距離相等，

故有：7(a+4)2+(-a)2=7(a-0)2+(-a-2)2-

即4a=-12,a=-3,從而圓心坐標是(-3,3)，

又同(-4+3)2+32=伍,故所求圓的方程為(x+3)2+(y-3)2=10.

19.(I)證明：I?四邊形ABCD是正方形，...ACLBD,

；PDJ_底面ABCD,

.'.PD±AC,，AC，平面PDB,

...平面AEC_L平面PDB.

(II)解：設ACnBD=O,連接OE,

由(I)知AC_L平面PDB于0,

/.ZAE0為AE與平面PDB所的角，

AO,E分別為DB、PB的中點，

.?.0E〃PD,0E=^PD>

又,.,PDJL底面ABCD,

.?.0E,底面ABCD,OE±AO,

在RtZSAOE中，OE=PD=^AB=AO，

二NAEO=45。，即AE與平面PDB所成的角的大小為45。.

20.(I)證明：VAC=273>AA]=A]C=V%,.*.AC2=AA[2+A]C2,

.,.△AA]C是等腰直角三角形，

又D是斜邊AC的中點，.?.AiDLAC,

?.?平面A]ACCJ平面ABC,...AiD，底面ABC；

(II)VBC=2,AC=2j5，AB=2近，AC2=AB2+BC2,

，三角形ABC是直角三角形，過B作AC的垂線BE,垂足為E,

則BE贊音浮孚EC后正竽

AV*,VJJV00

.\DE=CD-EC=V3-

以D為原點，A]D所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，平行于BE的直線為x軸，建立空

間直角坐標系，如圖所示:

則A(0,-0),A［(010,^3),B(2^/^,0)?C(0?^3，0)>

JO

AjC=(0,V5，,AB=。)，

所以cos——<A??一AB>AF7C而*AB泡0■,

故所求余弦值為野.

21.解：(1)由題意，函數(shù)f(x)=x2在［a,b］上單調遞增，

f_2

a-a

a=0

則1b=b2，解得

b=l.

X.b>a>0.

即所求的區(qū)間為[0，1].

(2)若函數(shù)y=k+G乃是"同族函數(shù)"，

則存在區(qū)間[a,b],在區(qū)間[a,b]±,函數(shù)y=f(x)的值域為[a,b].

而函數(shù)y=k+Jx+2在定義域內單調遞增，

a=k+Va+2

所以

,b=k+Vb+2.,

則a,b是關于x的方程x=k+G歷的兩個實數(shù)根,

即方程x?-(2k+l)x+k2-2=0(x2-2,x2k)有兩個不相等的實數(shù)根.

記f(x)=x2-(2k+l)x+k2-2,

'△>0

當k4-2時，有，'(-二'解得-^<k<-2.

誓>-2.4

'△>0

當k>-2時，有f(k)>o無解

駕〉k

綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是（-?-2].

4

'y<2

22.解：（1）作不等式組，x-y-l<0表示平面區(qū)域如下,

2x+y-2>0

（2）①目標函數(shù)z1金亨表示了陰影內的點（x,y）與點（1,-1）連線的斜率,

作圖象如下，

,_2-(-])c,