高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)達(dá)標(biāo) 高考必考題突破講座（六）概率與統(tǒng)計(jì)試題

高考必考題突破講座(六)概率與統(tǒng)計(jì)[解密考綱]概率與統(tǒng)計(jì)是高考中相對(duì)獨(dú)立的一塊內(nèi)容，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量．該類問題以應(yīng)用題為載體，注重考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)及閱讀理解能力、數(shù)據(jù)分析能力．概率問題的核心是概率計(jì)算，其中事件的互斥、對(duì)立是概率計(jì)算的核心．統(tǒng)計(jì)問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征．統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容相互滲透，背景新穎．1．某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的歷史收益率(收益率＝利潤÷保費(fèi)收入)的頻率分布直方圖如圖所示．(1)試估計(jì)這款保險(xiǎn)產(chǎn)品的收益率的平均值；(2)設(shè)每份保單的保費(fèi)在20元的基礎(chǔ)上每增加x元，對(duì)應(yīng)的銷量為y(單位：萬份)．從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組x與y的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).x/元2530384552y/萬份7.57.16.05.64.8由上表知x與y有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且據(jù)此計(jì)算出的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10－eq\o(b,\s\up6(^))x.①求參數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))的值；②若把回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝10－eq\o(b,\s\up6(^))x當(dāng)作y與x的線性關(guān)系，用(1)中求出的收益率的平均值作為此產(chǎn)品的收益率，試問每份保單的保費(fèi)定為多少元時(shí)此產(chǎn)品可獲得最大利潤，并求出最大利潤(注：保險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)收入＝每份保單的保費(fèi)×銷量)．解析(1)收益率的平均值為0.05×0.1＋0.15×0.2＋0.25×0.25＋0.35×0.3＋0.45×0.1＋0.55×0.05＝0.275.(2)①eq\x\to(x)＝eq\f(25＋30＋38＋45＋52,5)＝eq\f(190,5)＝38，eq\x\to(y)＝eq\f(7.5＋7.1＋6.0＋5.6＋4.8,5)＝eq\f(31,5)＝6.2.由eq\x\to(y)＝10－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，得10－38eq\o(b,\s\up6(^))＝6.2，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.1.②設(shè)每份保單的保費(fèi)為(20＋x)元，則銷量為y＝10－0.1x.則這款保險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)收入為f(x)＝(20＋x)(10－0.1x)萬元．所以f(x)＝200＋8x－0.1x2＝360－0.1(x－40)2.所以當(dāng)x＝40，即每份保單的保費(fèi)為60元時(shí)，保費(fèi)收入最大為360萬元．預(yù)計(jì)這款保險(xiǎn)產(chǎn)品的最大利潤為360×0.275＝99(萬元)．2．(2018·廣東佛山質(zhì)檢)某網(wǎng)絡(luò)廣告A公司計(jì)劃從甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站選擇一個(gè)網(wǎng)站拓展廣告業(yè)務(wù)，為此A公司隨機(jī)抽取了甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站某月中10天的日訪問量n(單位：萬次)，整理后得到如下莖葉圖，已知A公司要從網(wǎng)站日訪問量的平均值和穩(wěn)定性兩方面進(jìn)行考察選擇．(1)請(qǐng)說明A公司應(yīng)選擇哪個(gè)網(wǎng)站；(2)現(xiàn)將抽取的樣本分布近似看作總體分布，A公司根據(jù)所選網(wǎng)站的日訪問量n進(jìn)行付費(fèi)，其付費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表.選定網(wǎng)站的日訪問量n(單位：萬次)A公司的付費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(單位：元/日)n＜2550025≤n≤35700n＞351000求A公司每月(按30天計(jì))應(yīng)付給選定網(wǎng)站的費(fèi)用S.解析(1)由莖葉圖可知eq\x\to(x)甲＝(15＋24＋28＋25＋30＋36＋30＋32＋35＋45)÷10＝30，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(15－30)2＋(24－30)2＋(28－30)2＋(25－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(30－30)2＋(32－30)2＋(35－30)2＋(45－30)2]＝58，eq\x\to(x)乙＝(18＋25＋22＋24＋32＋38＋30＋36＋35＋40)÷10＝30，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)×[(18－30)2＋(25－30)2＋(22－30)2＋(24－30)2＋(32－30)2＋(38－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(35－30)2＋(40－30)2]＝49.8，因?yàn)閑q\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，∴A公司應(yīng)選擇乙網(wǎng)站．(2)由(1)得A公司應(yīng)選擇乙網(wǎng)站，由題意可得乙網(wǎng)站日訪問量n<25的概率為0.3，日訪問量25≤n≤35的概率為0.4，日訪問量n>35的概率為0.3，∴A公司每月應(yīng)付給乙網(wǎng)站的費(fèi)用S＝30×(500×0.3＋700×0.4＋1000×0.3)＝21900(元)．3．柴靜《穹頂之下》的播出，讓大家對(duì)霧霾天氣的危害有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，對(duì)于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出下表數(shù)據(jù).x4578y2356(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù)．解析(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106，eq\x\to(x)＝eq\f(4＋5＋7＋8,4)＝6，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝42＋52＋72＋82＝154，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(106－4×6×4,154－4×62)＝1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4－6＝－2，故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝x－2.(3)由線性回歸方程可以預(yù)測，燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù)為7.4．(2016·北京卷)某市居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖．(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w＝3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi)．解析(1)由用水量的頻率分布直方圖知，該市居民該月用水量在區(qū)間[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]內(nèi)的頻率依次為0.1，0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%，用水量不超過2立方米的居民占45%.依題意，w至少定為3.(2)由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表.組號(hào)12345678分組[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．5．(2018·河南鄭州模擬)某小學(xué)為迎接校運(yùn)動(dòng)會(huì)的到來，在三年級(jí)招募了16名男志愿者和14名女志愿者．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別各有10人和6人喜歡運(yùn)動(dòng)，其余人員不喜歡運(yùn)動(dòng)．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表；喜歡運(yùn)動(dòng)不喜歡運(yùn)動(dòng)總計(jì)男女總計(jì)(2)是否有95%的把握認(rèn)為性別與喜歡運(yùn)動(dòng)有關(guān)，并說明理由；(3)如果喜歡運(yùn)動(dòng)的女志愿者中恰有4人懂得醫(yī)療救護(hù)，現(xiàn)從喜歡運(yùn)動(dòng)的女志愿者中抽取2名負(fù)責(zé)處理應(yīng)急事件，求抽出的2名志愿者都懂得醫(yī)療救護(hù)的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828解析(1)依題意，2×2列聯(lián)表如下.喜歡運(yùn)動(dòng)不喜歡運(yùn)動(dòng)總計(jì)男10616女6814總計(jì)161430(2)由已知數(shù)據(jù)可得，K2＝eq\f(30×10×8－6×62,16×14×14×16)≈1.1575<3.841，因此沒有95%的把握認(rèn)為是否喜歡運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．(3)喜歡運(yùn)動(dòng)的女志愿者有6人，設(shè)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中A，B，C，D懂得醫(yī)療救護(hù)，則從這6人中任取2人的情況有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種，其中兩人都懂得醫(yī)療救護(hù)的情況有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6種，設(shè)“抽出的2名志愿者都懂得醫(yī)療救護(hù)”為事件M，則P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).6．(2016·全國卷Ⅲ)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解析(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得eq\o(t,\s\up6(－))＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝28，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝0.55，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\i\su(i＝1,7,t)iyi－eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,y)i＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝1.331－0.103×4≈0.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.將2016年對(duì)應(yīng)的t＝9代入回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸．7．某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時(shí))．(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率；(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879解析(1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)．(2)由頻率分布直方圖得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75.(3)由(2)知，300位學(xué)生中有300×0.75＝225人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí)．又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的．所以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下.男生女生總計(jì)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí)453075每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)16560225總計(jì)21090300結(jié)合列聯(lián)表可算得K2＝eq\f(300×45×60－165×302,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈4.762＞3.841.所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．8．2017年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多，某調(diào)查公司在一個(gè)服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中，按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁?單位：km/h)分成六段[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后得到如圖的頻率分布直方圖．(1)該調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？(2)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；(3)若從車速在[60,70)的車輛中