28章-銳角三角函數(shù)課件

28章銳角三角函數(shù)28章-銳角三角函數(shù)

在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得因此

即在直角三角形中，當(dāng)一個銳角等于45°時，不管這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于

如圖，任意畫一個Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計算∠A的對邊與斜邊的比

，你能得出什么結(jié)論？?思考ABC=+==________=28章-銳角三角函數(shù)綜上可知，在一個Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)∠A＝30°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，是一個固定值；當(dāng)∠A＝45°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，也是一個固定值.

一般地，當(dāng)∠A

取其他一定度數(shù)的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？結(jié)論問題28章-銳角三角函數(shù)

在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'

這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個固定值．并且直角三角形中一個銳角的度數(shù)越大，它的對邊與斜邊的比值越大任意畫Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關(guān)系．你能解釋一下嗎？探究ABCA'B'C'28章-銳角三角函數(shù)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記住sinA

即當(dāng)∠A＝30°時，我們有當(dāng)∠A＝45°時，我們有ABCcab對邊斜邊在圖中∠A的對邊記作a∠B的對邊記作b∠C的對邊記作c

1、正弦函數(shù)同理，sin60°=28章-銳角三角函數(shù)注意sinA是一個完整的符號，它表示∠A的正弦，記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”；sinA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與斜邊的比；sinA不表示“sin”乘以“A”。正弦的常見表示：sinA、sin42°、sinβ

（省去角的符號）sin∠DEF、sin∠1（不能省去角的符號）28章-銳角三角函數(shù)例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：（1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此ABCABC3413例題示范528章-銳角三角函數(shù)練一練1.判斷對錯:A10m6mBC1)如圖(1)sinA=（）

(2)sinB=（）

(3)sinA=0.6m（）

(4)SinB=0.8（）√√××sinA是一個比值（注意比的順序），無單位；2)如圖，sinA=（）

×28章-銳角三角函數(shù)2.在Rt△ABC中，銳角A的對邊和斜邊同時擴大

100倍，sinA的值（）

A.擴大100倍B.縮小

C.不變D.不能確定C練一練3.如圖ACB37300則sinA=______.1228章-銳角三角函數(shù)根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值．ABC35練習(xí)解：（1）在Rt△ABC中，因此28章-銳角三角函數(shù)根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值．ABC125練習(xí)解：（1）在Rt△ABC中，因此28章-銳角三角函數(shù)根據(jù)下圖，求sinB的值．ABCn練習(xí)解：（1）在Rt△ABC中，因此m28章-銳角三角函數(shù)練習(xí)如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，圖中sinB可由哪兩條線段比求得。DCBA解：在Rt△ABC中，在Rt△BCD中，因為∠B=∠ACD，所以28章-銳角三角函數(shù)求一個角的正弦值，除了用定義直接求外，還可以轉(zhuǎn)化為求和它相等角的正弦值。如圖,∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪兩條線段之比?想一想若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.┌ACBD解:∵∠B=∠ACD

∴sinB=sin∠ACD在Rt△ACD中，AD=sin∠ACD=∴sinB==428章-銳角三角函數(shù)回味無窮小結(jié)拓展1.銳角三角函數(shù)定義:2.sinA是∠A的函數(shù)ABC∠A的對邊┌斜邊斜邊∠A的對邊sinA=4.只有不斷的思考,才會有新的發(fā)現(xiàn);只有量的變化,才會有質(zhì)的進(jìn)步.Sin300=sin45°=sin60°=3.sinA是線段之間的一個比值，sinA沒有單位28章-銳角三角函數(shù)

小結(jié)如圖，Rt△ABC中，直角邊AC、BC小于斜邊AB，所以0＜sinA＜1,0＜sinB＜1,如果∠A＜∠B,則BC＜AC,那么0＜sinA＜sinB＜1ABC＜1＜11.sinA的取值范圍是什么？2．結(jié)合右圖，思考∠A的其他兩邊的比值是不是也是唯一確定的？發(fā)揮你的聰明才智,動手試一試．28章-銳角三角函數(shù)28.1.2余弦、正切28章-銳角三角函數(shù)探究如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊的比就隨之確定，此時，其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？ABC鄰邊b對邊a斜邊c

當(dāng)銳角A的大小確定時，∠A的鄰邊與斜邊的比、∠A的對邊與鄰邊的比也分別是確定的，我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即

把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．

精講28章-銳角三角函數(shù)

對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)。

同樣地，

cosA，tanA也是A的函數(shù)。

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).28章-銳角三角函數(shù)1.下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.指出∠A和∠B的對邊、鄰邊.練習(xí)ABCD(1)sinA==AC()BC()(3)sinB==AB()CD()CDABBCAC(2)cosA==AC()AC()(4)cosB==AB()BD()ADABBCCD28章-銳角三角函數(shù)

例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，求cosA、tanB的值．解：∵又ABC6

例題示范28章-銳角三角函數(shù)

變題：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，求sinA、tanA的值．解：∵ABC

例題示范設(shè)AC=15k，則AB=17k所以28章-銳角三角函數(shù)

例3：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°

例題示范1.求證：sinA=cosB，sinB=cosA2.求證：3.求證：ABC28章-銳角三角函數(shù)1.分別求出下列直角三角形中兩個銳角的正弦值、余弦值和正切值．練習(xí)解：由勾股定理ABC131228章-銳角三角函數(shù)2.在Rt△ABC中，如果各邊長都擴大2倍，那么銳角A的正弦值、余弦值和正切值有什么變化？ABC解：設(shè)各邊長分別為a、b、c，∠A的三個三角函數(shù)分別為則擴大2倍后三邊分別為2a、2b、2cABC28章-銳角三角函數(shù)3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求：sinA、cosB的值．ABC8解：28章-銳角三角函數(shù)

小結(jié)如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，因為0＜sinA＜1,0＜sinB＜1,tanA＞0,tanB＞0ABC0＜cosA＜1,0＜cosB＜1,所以，對于任何一個銳角α

，有0＜sinα

＜1，0＜cosα

＜1，tanα

＞0，28章-銳角三角函數(shù)定義中應(yīng)該注意的幾個問題:1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)。2、sinA、cosA、tanA是一個比值（數(shù)值）。3、sinA、cosA、tanA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān)。28章-銳角三角函數(shù)若已知銳角α的始邊在x軸的正半軸上,(頂點在原點)終邊上一點P的坐標(biāo)為(x,y)，它到原點的距離為r求角α的四個三角函數(shù)值。推廣xyPOα(x,y)rsinα=

，cosα=

，tanα=

，cotα=

．M28章-銳角三角函數(shù)

例4：如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點P，若

例題示范

那么()B變題：如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點P，若AB=10，CD=6，求.aOCDBAP28章-銳角三角函數(shù)4.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC,（1）求證：AC=BD；（2）若，BC=12，求AD的長。DBCA5.如圖，在△ABC中，∠C=90度，若∠ADC=45度，BD=2DC，求tanB及sin∠BAD.DABCAD=828章-銳角三角函數(shù)新人教版九年級數(shù)學(xué)(下冊)第二十八章

§28.2解直角三角形（1）28章-銳角三角函數(shù)復(fù)習(xí)30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角a三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana對于sinα與tanα，角度越大，函數(shù)值也越大；對于cosα，角度越大，函數(shù)值越小。28章-銳角三角函數(shù)問題：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a一般要滿足50°≤a≤75°.現(xiàn)有一個長6m的梯子，問：（1）使用這個梯子最高可以安全攀上多高的墻（精確到0.1m）？（2）當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時，梯子與地面所成的角a等于多少（精確到1°）？這時人是否能夠安全使用這個梯子？這樣的問題怎么解決28章-銳角三角函數(shù)問題（1）可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜邊AB＝6，求∠A的對邊BC的長．

問題（1）當(dāng)梯子與地面所成的角a為75°時，梯子頂端與地面的距離是使用這個梯子所能攀到的最大高度．因此使用這個梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約是5.8m所以BC≈6×0.97≈5.8由計算器求得sin75°≈0.97由得ABαC28章-銳角三角函數(shù)對于問題（2），當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時，求梯子與地面所成的角a的問題，可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜邊AB＝6，求銳角a的度數(shù)由于利用計算器求得a≈66°

因此當(dāng)梯子底墻距離墻面2.4m時，梯子與地面所成的角大約是66°由50°＜66°＜75°可知，這時使用這個梯子是安全的．ABCα28章-銳角三角函數(shù)ABabcC一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五個元素即三條邊和兩個銳角

28章-銳角三角函數(shù)在圖中的Rt△ABC中，（1）根據(jù)∠A＝75°，斜邊AB＝6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？探究ABCα能6=75°28章-銳角三角函數(shù)在圖中的Rt△ABC中，（2）根據(jù)AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？探究ABCα能62.428章-銳角三角函數(shù)事實上，在直角三角形的六個元素中，除直角外，如果再知道兩個元素（其中至少有一個是邊），這個三角形就可以確定下來，這樣就可以由已知的兩個元素求出其余的三個元素．ABabcC

解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程．解直角三角形28章-銳角三角函數(shù)（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關(guān)系（1）三邊之間的關(guān)系（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：28章-銳角三角函數(shù)例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，解這個直角三角形解：ABC28章-銳角三角函數(shù)例2如圖，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解這個直角三角形（精確到0.1）解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°ABCabc2035°你還有其他方法求出c嗎？28章-銳角三角函數(shù)例3如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分線，解這個直角三角形。DABC6解：因為AD平分∠BAC28章-銳角三角函數(shù)在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；（1）a=30,b=20;練習(xí)解：根據(jù)勾股定理ABCb=20a=30c28章-銳角三角函數(shù)

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：28章-銳角三角函數(shù)

解決有關(guān)比薩斜塔傾斜的問題．

設(shè)塔頂中心點為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A，過B點向垂直中心線引垂線，垂足為點C（如圖），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m所以∠A≈5°28′

可以求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角．你愿意試著計算一下嗎？ABCABC28章-銳角三角函數(shù)解直角三角形∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函數(shù)關(guān)系式計算器

由銳角求三角函數(shù)值由三角函數(shù)值求銳角

歸納小結(jié)解直角三角形：由已知元素求未知元素的過程直角三角形中，AB∠A的對邊aC∠A的鄰邊b┌斜邊c28章-銳角三角函數(shù)28.2.2應(yīng)用舉例（一）28章-銳角三角函數(shù)30°45°BOA東西北南【方位角】指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于900的角,叫做方位角.如圖：點A在O的北偏東30°點B在點O的南偏西45°（西南方向）28章-銳角三角函數(shù)例5.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（精確到0.01海里）65°34°PBCA28章-銳角三角函數(shù)解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約130.23海里．65°34°PBCA28章-銳角三角函數(shù)練習(xí)：海中有一個小島A，它的周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？BADF60°1230°28章-銳角三角函數(shù)BADF解：由點A作BD的垂線交BD的延長線于點F，垂足為F，∠AFD=90°由題意圖示可知∠DAF=30°設(shè)DF=x,AD=2x在Rt△ABF中，解得x=610.4>8沒有觸礁危險30°60°28章-銳角三角函數(shù)【坡度與坡角】坡度一般用i來表示，即,一般寫成i=1:m,如i=1:5(1)坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.h水庫α2.坡度與坡角的關(guān)系(2)坡面與水平面的夾角叫坡角28章-銳角三角函數(shù)例6一段河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD,試根據(jù)下圖中的數(shù)據(jù)求出坡角α和壩底寬AD.(單位是米,結(jié)果保留根號)ABCDF4E6α28章-銳角三角函數(shù)練習(xí).如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD（圖中i=1:3是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：（1）坡角a和β;（2）壩底寬BC和斜坡CD的長（精確到0.1m）BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.53m28章-銳角三角函數(shù)歸納利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：（1）將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角形函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；（4）得到實際問題的答案．28章-銳角三角函數(shù)解直角三角形應(yīng)用

中考題列舉28章-銳角三角函數(shù)（2014?四川涼山州）如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，則坡面AB的長度是（

）C28章-銳角三角函數(shù)4.（2014云南?。┤鐖D，小明在M處用高1米（DM=1米）的測角儀測得旗桿AB的頂端B的仰角為30°，再向旗桿方向前進(jìn)10米到F處，又測得旗桿頂端B的仰角為60°，請求出旗桿AB的高度.28章-銳角三角函數(shù)3.（2014?廣東）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組想測量一棵樹CD的高度，他們先在點A處測得樹頂C的仰角為30°，然后沿AD方向前行10m，到達(dá)B點，在B處測得樹頂C的仰角高度為60°（A、B、D三點在同一直線上）．請你根據(jù)他們測