-二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問題（解析版）

類型六二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問題【典例1】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的對稱軸為直線x＝3，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為(8，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M為線段BC上方拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BC上的一點(diǎn)，若MN∥y軸，求MN的最大值；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：(1)根據(jù)題意得，－eq\f(b,2a)＝3，即b＝－6a，則拋物線的解析式為y＝ax2－6ax＋4，將B(8，0)代入得，0＝64a－48a＋4，解得a＝－eq\f(1,4)，則b＝eq\f(3,2)，∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4；(2)設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋d，由拋物線解析式可知：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，即點(diǎn)C(0，4)，將B(8，0)，C(0，4)代入得：解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2),d＝4))，∴直線BC的解析式為y＝－eq\f(1,2)x＋4，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x(0＜x＜8)，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為－eq\f(1,2)x＋4，∵點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在線段BC上，MN∥y軸，∴MN＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4－(－eq\f(1,2)x＋4)＝－eq\f(1,4)x2＋2x＝－eq\f(1,4)(x－4)2＋4，∴當(dāng)x＝4時(shí)，MN的值最大，最大值為4；（3）存在．令－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴A(－2，0)，又∵C(0，4)，由勾股定理得，AC＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，如解圖，過點(diǎn)C作CD⊥對稱軸于點(diǎn)D，連接AC.∵拋物線對稱軸為直線x＝3，∴CD＝3，D(3，4)．①當(dāng)AC＝CQ時(shí)，DQ＝eq\r(CQ2－CD2)＝eq\r(（2\r(5)）2－32)＝eq\r(11)，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4＋eq\r(11)，此時(shí)，點(diǎn)Q1(3，4＋eq\r(11))，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的下方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4－eq\r(11)，此時(shí)點(diǎn)Q2(3，4－eq\r(11))；②當(dāng)AQ＝CQ時(shí)，設(shè)Q（3，t），則AQ2=（3+2）2+t2，CQ=9+（4-t）2，則（3+2）2+t2=9+（4-t）2，解得t=0，此時(shí)，點(diǎn)Q3(3，0)；③當(dāng)AC＝AQ時(shí)，∵AC＝2eq\r(5)，點(diǎn)A到對稱軸的距離為5，2eq\r(5)<5，∴不可能在對稱軸上存在Q點(diǎn)使AC＝AQ，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，4＋eq\r(11))或(3，4－eq\r(11))或(3，0)時(shí)，△ACQ為等腰三角形．【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(0，－6)和點(diǎn)C(6，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)若拋物線與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，試判斷△ABC的形狀；(鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形)(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC是以AC為底的等腰三角形？若存在，請求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：(1)將C、A兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝x2＋bx＋c，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(36＋6b＋c＝0,c＝－6))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－5,c＝－6))，∴拋物線的解析式為y＝x2－5x－6；(2)當(dāng)y＝0時(shí)，則有：x2－5x－6＝0，即(x＋1)(x－6)＝0，∴解得x1＝－1，x2＝6(舍)，∴B(－1，0)．由兩點(diǎn)之間的距離公式可得：BC2＝[(－1)－6]2＝49，AC2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72，AB2＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37，∵AB2＋BC2>AC2，∴△ABC為銳角三角形．(3)存在滿足條件的點(diǎn)P，使得△PAC是以AC為底的等腰三角形理由：如解圖，過線段AC的中點(diǎn)M，作AC的垂線交拋物線于點(diǎn)P，直線MP與拋物線必有兩個(gè)滿足條件的交點(diǎn)P，∵A(0，－6)，C(6，0)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，－3)，且OA=OC，∴直線MP過點(diǎn)O，設(shè)直線MP的解析式為y＝kx，將點(diǎn)M(3，－3)代入得，k＝－1，即直線MP的解析式為y＝－x，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x,y＝x2－5x－6))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2－\r(10),y1＝\r(10)－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2＋\r(10),y2＝－2－\r(10)))，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2－eq\r(10)，eq\r(10)－2)或(2＋eq\r(10)，－2－eq\r(10))．【典例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－2x＋10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8，4)，連接AC，BC.(1)求過O，A，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為何值時(shí)，PA＝QA?(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：(1)∵直線y＝－2x＋10與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，∴A(5，0)，B(0，10)，設(shè)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝ax2＋bx(a≠0)，把點(diǎn)A(5，0)和C(8，4)代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25a＋5b＝0,64a＋8b＝4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,6),b＝－\f(5,6)))，∴拋物線的解析式為y＝eq\f(1,6)x2－eq\f(5,6)x；∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，∴AB2＝125，AC2＝25，BC2＝100，∵AB2＝AC2＋BC2，∴△ABC是直角三角形．(2)如解圖，連接AP，AQ，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒，即OP＝2t，CQ＝10－t，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝OA,PA＝QA))，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP＝CQ，∴2t＝10－t，∴t＝eq\f(10,3)，∵t<5，∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f(10,3)秒時(shí)，PA＝QA；(3)存在．由題可得，拋物線的對稱軸直線為x＝eq\f(5,2)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(5,2)，b)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)可求得AB2＝102＋52＝125，MB2＝(eq\f(5,2))2＋(b－10)2，MA2＝(eq\f(5,2))2＋b2，∵△MAB是等腰三角形，∴可分以下三種情況討論：①當(dāng)AB＝MA時(shí)，即125＝(eq\f(5,2))2＋b2，解得b＝±eq\f(5\r(19),2)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(5,2)，eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，－eq\f(5\r(19),2))；②當(dāng)AB＝BM時(shí)，即125＝(eq\f(5,2))2＋(b－10)2，解得b＝10±eq\f(5\r(19),2)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(5,2)，10＋eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，10－eq\f(5\r(19),2))；③當(dāng)MB＝MA時(shí)，即(eq\f(5,2))2＋(b－10)2＝(eq\f(5,2))2＋b2，解得b＝5，此時(shí)點(diǎn)A、M、B共線，故這樣的點(diǎn)M不存在．綜上所述，存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(5,2)，eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，－eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，10＋eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，10－eq\f(5\r(19),2))．【典例4】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（在的右側(cè)），且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接，經(jīng)過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與拋物線交于另一點(diǎn)．連接，，，的面積與的面積之比為1：7．點(diǎn)為直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？并求出最大值；（3）在拋物線上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，求的取值范圍．（直接寫出結(jié)果即可）【答案】（1）；（2）所以：當(dāng)時(shí)，的最大面積；（3）．【解析】【分析】（1）把和點(diǎn)代入：，從而可得答案；（2）過作軸于過作于，則利用的面積與的面積之比為1：7，求解的坐標(biāo)，再求解的解析式及的坐標(biāo)，設(shè)過作軸于，交于建立的面積與的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)求最大面積，從而可得答案；（3）記拋物線與軸的交點(diǎn)為過作軸交拋物線于，先求解的坐標(biāo)，可得當(dāng)時(shí)，有結(jié)合已知條件可得答案．【詳解】解：（1）把和點(diǎn)代入：，解得：所以：拋物線為：，（2）,令則解得：過作軸于過作于，則的面積與的面積之比為1：7，設(shè)為：解得：為：解得：過作軸于，交于設(shè)則當(dāng)最大，則的面積最大，所以：當(dāng)時(shí)，所以的最大面積＝（3）令記拋物線與軸的交點(diǎn)為過作軸交拋物線于，令則解得：拋物線的頂點(diǎn)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，考查了平行線分線段成比例，等腰直角三角形的性質(zhì)，同時(shí)考查了二次函數(shù)的增減性，函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，是典型的壓軸題，掌握以上相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．【典例5】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）請直接寫出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，垂足為．與直線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1），，直線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）當(dāng)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【解析】【分析】（1）令可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得的解析式；（2）根據(jù)題意畫出圖形，分別表示三點(diǎn)的坐標(biāo)，求解的長度，分兩種情況討論即可得到答案；（3）根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，記為點(diǎn)．過點(diǎn)作直線，垂足為．再利用相似三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得答案，②如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，記為點(diǎn)．過點(diǎn)作直線，垂足為，再利用相似三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得答案．【詳解】解：（1）令，，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為：，把代入得：解得：直線的函數(shù)表達(dá)式為：．（2）解：如圖，根據(jù)題意可知，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．，，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，得．解得：，（舍去）當(dāng)時(shí)，．點(diǎn)的坐標(biāo)為②當(dāng)時(shí)，得．解得：，（舍去）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或（3）解：直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為．分兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，記為點(diǎn)．過點(diǎn)作直線，垂足為．則，，．即．又，，．連接，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸．，．．．點(diǎn)的坐標(biāo)為．②如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，記為點(diǎn)．過點(diǎn)作直線，垂足為，則，，．．即．又，，．．由①可知，．．．．點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平面直角坐標(biāo)系中線段的長度的計(jì)算，同時(shí)考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，特別是分類討論的數(shù)學(xué)思想，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【典例6】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，且經(jīng)過A(1，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.(1)若直線y＝mx＋n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求拋物線和直線BC的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】解：(1)依題意，得，解得∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3.∵對稱軸為x＝－1，拋物線經(jīng)過A(1，0)，∴B(－3，0)．設(shè)直線BC的解析式為y＝mx＋n(m≠0)，把B(－3，0)，C(0，3)分別代入y＝mx＋n，得，解得∴直線BC的解析式為y＝x＋3.(2)如解圖，設(shè)直線BC與對稱軸x＝－1的交點(diǎn)為M，連接MA，∴MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.∴使MA＋MC最小的點(diǎn)M應(yīng)為直線BC與對稱軸x＝－1的交點(diǎn)．把x＝－1代入直線y＝x＋3，得y＝2.∴M(－1，2)．(3)設(shè)P(－1，t)，結(jié)合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.若B為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若C為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若P為直角頂點(diǎn)，則PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝eq\f(3＋\r(17),2)，t2＝eq\f(3－\r(17),2).綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有四個(gè)，分別為：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，eq\f(3＋\r(17),2))，P4(－1，eq\f(3－\r(17),2))．【典例7】如圖，拋物線y＝－eq\f(4,5)x2＋eq\f(24,5)x－4與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M.P是拋物線在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上)．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)連接AC、PB、BC，當(dāng)S△PBC＝S△ABC時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)分別過點(diǎn)A、B作直線CP的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，連接MD、ME.問△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．【解析】解：(1)令y＝－eq\f(4,5)x2＋eq\f(24,5)x－4＝0，解得x1＝1，x2＝5，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，0)．(2)如解圖①，過點(diǎn)A作AP∥BC，與拋物線交于點(diǎn)P，則S△PBC＝S△ABC，第1題解圖第2題解圖①第2題解圖②當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－eq\f(4,5)x2＋eq\f(24,5)x－4＝－4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－4)，設(shè)過點(diǎn)B，C兩點(diǎn)的直線的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，則有解得∴直線BC的解析式為y＝eq\f(4,5)x－4，由于PA∥BC，設(shè)AP的解析式為y＝eq\f(4,5)x＋m，代入點(diǎn)A(1，0)，解得m＝－eq\f(4,5)，∴直線AP的解析式為y＝eq\f(4,5)x－eq\f(4,5)，聯(lián)立方程組得解得：∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，eq\f(12,5))．(3)△MDE能成為等腰直角三角形，理由：∵拋物線y＝－eq\f(4,5)x2＋eq\f(24,5)x－4＝－eq\f(4,5)(x－3)2＋eq\f(16,5)，∴對稱軸是直線x＝3.∴M(3，0)．①當(dāng)∠MED＝90°時(shí)，點(diǎn)E，B，M在一條直線上，此種情況不成立；②同理：當(dāng)∠MDE＝90°時(shí)，不成立；③當(dāng)∠DME＝90°時(shí)，如解圖②所示，設(shè)直線PC與對稱軸交于點(diǎn)N，∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN＝∠DMA.∵∠MDE＝45°，∠EDA＝90°，∴∠MDA＝135°.∵∠MED＝45°，∴∠NEM＝135°，∴∠ADM＝∠NEM＝135°.在△ADM與△NEM中，∴△ADM≌△NEM(ASA)．∴MN＝MA＝2，∴N(3，2)．設(shè)直線PC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將點(diǎn)N(3，2)，C(0，－4)代入直線的解析式得：解得：∴直線PC的解析式為y＝2x－4.將y＝2x－4代入拋物線解析式得：2x－4＝－eq\f(4,5)x2＋eq\f(24,5)x－4，解得：x＝0或x＝eq\f(7,2)，∴P(eq\f(7,2)，3)．綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq\f(7,2)，3)．【典例8】如圖①，拋物線y＝ax2＋bx＋4交x軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，連接AC、BC，其中CO＝BO＝2AO.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)Q為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC交BC于點(diǎn)E，作QN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M，當(dāng)△EMQ的周長L最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及L的最大值；(3)如圖②，在(2)的結(jié)論下，連接AQ分別交BC于點(diǎn)F，交OC于點(diǎn)G，四邊形BOGF從F開始沿射線FC平移，同時(shí)點(diǎn)P從C開始沿折線CO－OB運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為四邊形BOGF平移速度的eq\r(2)倍，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，四邊形BOGF停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)四邊形BOGF平移過程中對應(yīng)的圖形為B1O1G1F1，當(dāng)△PFF1為等腰三角形時(shí)，求B1F的長度．【解析】解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋4與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)．∵CO＝BO＝2AO，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得解得∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,2)x2＋x＋4.(2)∵點(diǎn)A(－2，0)，點(diǎn)B(4，0)，點(diǎn)C(0，4)，∴直線AC的解析式為y＝2x＋4，直線BC的解析式為y＝－x＋4.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(q，－eq\f(1,2)q2＋q＋4)，∵QE∥AC，過點(diǎn)E作EF⊥QM于點(diǎn)F，如解圖，則eq\f(EF,QF)＝eq\f(AO,OC)＝eq\f(1,2)，eq\f(QE,EF)＝eq\f(AC,AO)＝eq\r(5)，∴QF＝2EF，QE＝eq\r(5)EF，在Rt△EFM中，易得∠FEM＝∠FME＝∠MBN＝45°，∴EM＝eq\r(2)EF，EF＝MF，∴QM＝3EF，∴當(dāng)EF最大時(shí)，△EQM的周長最大，∵直線AC的解析式為y＝2x＋4，直線QE∥AC，∴設(shè)直線QE的解析式為y＝2x＋t，將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入得，t＝－eq\f(1,2)q2－q＋4，∴直線QE的解析式為y＝2x＋(－eq\f(1,2)q2－q＋4)，與直線BC聯(lián)立解得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(eq\f(1,6)q2＋eq\f(1,3)q，－eq\f(1,6)q2－eq\f(1,3)q＋4)．∴EF＝q－eq\f(1,6)q2－eq\f(1,3)q＝－eq\f(1,6)q2＋eq\f(2,3)q＝－eq\f(1,6)(q－2)2＋eq\f(2,3)，根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)可知，當(dāng)q＝2時(shí)，EF最大，為e