2023-2024學(xué)年人教A版必修第一冊 　任意角 學(xué)案

任意角學(xué)習(xí)目標(biāo)心中有丘壑1.了解任意角的概念,能區(qū)分各類角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握象限角的概念,并會用集合表示象限角.(直觀想象)3.理解終邊相同的角的含義及表示.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【情境導(dǎo)學(xué)】周日早晨,小明起床后發(fā)現(xiàn)自己的鬧鐘指針停在5:00這一時(shí)刻,他立即更換了電池,調(diào)整到了正常時(shí)間6:30,并開始正常的學(xué)習(xí).小明在調(diào)整鬧鐘時(shí)間時(shí),時(shí)針與分針各轉(zhuǎn)過了多少度?角的正負(fù)與旋轉(zhuǎn)方向之間有怎樣的關(guān)系?一、角的概念的推廣1.角的定義及分類(1)角的概念一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一條射線所形成的圖形.(2)角的分類類型定義圖示正角按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按照順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)2.角的加減的幾何意義α+β表示在角α的基礎(chǔ)上,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角度;α-β表示在角α的基礎(chǔ)上,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角度.思考用幾何意義表示角的加、減時(shí),按逆時(shí)針、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的是角的哪條邊?提示:在表示α±β時(shí)第二次旋轉(zhuǎn)的是角α的終邊.二、象限角與終邊相同的角1.象限角(1)定義:角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊落在x軸的正半軸上,那么,角的終邊在第幾象限,就說這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.(2)實(shí)質(zhì):看終邊落在的象限,終邊落在第幾象限就是第幾象限角.(3)應(yīng)用:判斷已知角是第幾象限角;寫出某一象限的角.2.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.【教材深化】1.對角的概念的理解(1)正角、負(fù)角的引入是從正數(shù)、負(fù)數(shù)類比而來的,它們是用來表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量的.(2)在判斷角度時(shí),應(yīng)時(shí)刻抓住“旋轉(zhuǎn)”二字:①要明確旋轉(zhuǎn)方向;②要明確旋轉(zhuǎn)角的大小;③要明確射線的起始位置;④要注意由旋轉(zhuǎn)方向來確定角的符號.(3)高中階段所說的角實(shí)際上是初中所學(xué)概念“由一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形叫做角”的推廣.角的概念推廣后,角度的范圍不再限于0°~360°.(4)零角的始邊與終邊重合.如果α是零角,那么α=0°.2.對終邊相同角的幾點(diǎn)說明(1)角α為任意角,“k∈Z”不能省略.k有三層含義:①特殊性:對k每賦一個(gè)整數(shù)值就有一個(gè)具體對應(yīng)的角.②一般性:表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身).③從幾何意義上看,k表示角的終邊按一定的方向轉(zhuǎn)動的圈數(shù).k取正整數(shù)時(shí),逆時(shí)針轉(zhuǎn)動;k取負(fù)整數(shù)時(shí),順時(shí)針轉(zhuǎn)動;k=0時(shí),沒有轉(zhuǎn)動.(2)k·360°與α中間要用“+”連接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).(3)當(dāng)角的始邊相同時(shí):相等的角的終邊一定相同,而終邊相同的角不一定相等;終邊相同的角有無數(shù)個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍;終邊不同則表示的角一定不同.3.關(guān)注兩種思想(1)nα所在象限的判斷方法注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用;(2)αn所在象限的判斷方法注意分類討論思想的運(yùn)用4.辨明兩個(gè)易錯點(diǎn)(1)象限角是以角的終邊的位置分類的,而銳角、鈍角和直角是以角的大小分類的,不能將它們混淆.同時(shí)要注意第一象限角、銳角、小于90°的角三者的區(qū)別;(2)用分類討論法解決分角象限問題時(shí)要注意找準(zhǔn)分類角度,分類要做到不重不漏,切忌以偏概全.【自我小測】1.辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)經(jīng)過1小時(shí),時(shí)針轉(zhuǎn)過30°. (×)提示:因?yàn)槭琼槙r(shí)針旋轉(zhuǎn),所以時(shí)針轉(zhuǎn)過-30°.(2)終邊與始邊重合的角是零角. (×)提示:終邊與始邊重合的角是k·360°(k∈Z).(3)小于90°的角是銳角. (×)提示:銳角是指大于0°且小于90°的角2.(教材改編題)終邊為第一象限和第三象限的平分線的角的集合是 ()A.αB.αC.αD.α【解析】選B.終邊為第一象限的平分線的角的集合是αα=45終邊為第三象限的平分線的角的集合是αα=由①②得αα3.在0°~180°內(nèi),與-930°終邊相同的角是.

【解析】與-930°角終邊相同的角是-930°+k·360°,k∈Z,當(dāng)k=3時(shí)為150°,在0°~180°內(nèi),與-930°角終邊相同的角是150°.答案:150°類型一任意角的概念及應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)[例1](1)(2023·沈陽高一檢測)概念是數(shù)學(xué)的重要組成部分,厘清新舊概念之間的關(guān)系對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)十分重要.現(xiàn)有如下三個(gè)集合,A={鈍角},B={第二象限角},C={小于180°的角},則下列說法正確的是 ()A.A=B B.B=CC.A?B D.B?C【解析】選C.鈍角是大于90°,且小于180°的角,一定是第二象限角,故A?B;第二象限角的范圍是90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,即第二象限角不一定小于180°,故ABD錯誤,C正確.(2)喜羊羊步行從家里到草原學(xué)校去上學(xué),一般需要10分鐘,則10分鐘內(nèi),鐘表的分針走過的角度是 ()A.30° B.-30° C.60° D.-60°【解析】選D.利用定義,分針是順時(shí)針走的,形成的角是負(fù)角,又周角為360°,所以有360°60×10=60°,即分針走過的角度是(3)將35°角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角的度數(shù)為,將35°角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周后的角的度數(shù)為.

【解析】把35°角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得35°-60°=-25°;把35°角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周后得35°+360°=395°.答案:-25°395°【總結(jié)升華】1.理解角的概念的三個(gè)“明確”常見角α的范圍:銳角0°<α<90°,鈍角90°<α<180°.2.判斷角的概念型問題的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵:正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.(2)技巧:判斷一種說法正確需要證明,而判斷一種說法錯誤只要舉出反例即可.提醒:解答概念辨析題,一是利用反例排除錯誤答案,只需舉一個(gè)反例即可,二是利用定義直接判斷.【即學(xué)即練】1.(多選題)下列說法中不正確的是 ()A.三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等C.鈍角比第三象限角小D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角【解析】選ACD.A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A不正確;B中始邊相同而終邊不同的角一定不相等,故B正確;C中鈍角大于-100°角,而-100°角是第三象限角,故C不正確;D中零角或負(fù)角小于180°,但它們既不是鈍角,也不是直角或銳角,故D不正確.2.將時(shí)鐘撥快20分鐘,則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是.

【解析】由于順時(shí)針旋轉(zhuǎn),分針每分鐘轉(zhuǎn)-6°,所以20分鐘轉(zhuǎn)了-120°.答案:-120°類型二終邊相同的角的表示及應(yīng)用(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)[例2]在角的集合S={α|α=k·90°+45°,k∈Z}中,(1)有幾種終邊不相同的角?(2)在集合S中有幾個(gè)在[-360°,360°)內(nèi)的角?【解析】(1)在給定的角的集合中,終邊不相同的角共有4種,分別是與45°,135°,225°,315°角的終邊相同的角.(2)令-360°≤k·90°+45°<360°,得-92≤k<72.又因?yàn)閗∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以在[-360°,360°)內(nèi)的角共有8【備選例題】已知α=-1090°.(1)把α寫成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;(2)寫出與α終邊相同的角θ構(gòu)成的集合S,并把S中適合不等式-360°≤θ<360°的元素θ寫出來.【解析】(1)因?yàn)?1090°=-4×360°+350°,270°<350°<360°,所以把角α寫成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式為-1090°=-4×360°+350°,它是第四象限角.(2)因?yàn)棣扰cα的終邊相同,所以令θ=k·360°+350°,k∈Z,所以S={θ|θ=k·360°+350°,k∈Z},當(dāng)k=-1,0時(shí),滿足題意,得到θ=-10°,350°.【總結(jié)升華】確定在某范圍內(nèi)終邊相同的角的基本思路求與已知角α終邊相同的角時(shí),先將這樣的角表示成α+k·360°(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求出滿足條件的角,或通過解不等式,確定k的值,求出滿足條件的角.【即學(xué)即練】已知α=-1845°,在與α終邊相同的角中,求滿足下列條件的角.(1)最小的正角;(2)最大的負(fù)角;(3)-360°~720°的角.【解析】因?yàn)?1845°=-45°+(-5)×360°,即-1845°角與-45°角的終邊相同,所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°,k∈Z}.(1)最小的正角為315°;(2)最大的負(fù)角為-45°;(3)-360°~720°的角分別是-45°,315°,675°.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2023·濟(jì)寧高一檢測)在0°~360°內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并指出它們是哪個(gè)象限的角:(1)-265°;(2)-1000°;(3)-843°10';(4)3900°.【解析】(1)因?yàn)?265°=-1×360°+95°,所以在0°~360°內(nèi),與-265°終邊相同的角為95°,為第二象限角.(2)因?yàn)?1000°=-3×360°+80°,所以在0°~360°內(nèi),與-1000°終邊相同的角為80°,為第一象限角.(3)因?yàn)?843°10'=-3×360°+236°50',所以在0°~360°內(nèi),與-843°10'終邊相同的角為236°50',為第三象限角.(4)因?yàn)?900°=10×360°+300°,所以在0°~360°內(nèi),與3900°終邊相同的角為300°,為第四象限角.類型三象限角及區(qū)域角的表示(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)角度1象限角[例3]若α是第一象限角,則角2α,α2各是第幾象限角【解析】因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿?所以k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).(*)所以k·720°<2α<k·720°+180°(k∈Z).故2α是第一或第二象限角或是終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角.方法一:由(*)得k·180°<α2<k·180°+45°(k∈Z)(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),令k=2n(n∈Z),得n·360°<α2<n·360°+45°(n∈Z),這表明α2(2)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),令k=2n+1(n∈Z),得n·360°+180°<α2<n·360°+225°(n∈Z),這表明α2綜合(1)(2)知,α2是第一或第三象限角方法二:如圖,將各象限分成兩等份,再從x軸正方向的上方起,按逆時(shí)針方向依次在各區(qū)域內(nèi)標(biāo)上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,標(biāo)有Ⅰ的區(qū)域(陰影部分)即α2的終邊所在的區(qū)域,故α2【總結(jié)升華】關(guān)于角nα或αn(1)由α的范圍,表示出nα,αn的范圍,由n的取值確定象限(2)特別地,求αn所在象限時(shí),可以把每個(gè)象限等分為n份,沿x軸非負(fù)半軸,逆時(shí)針方向順序標(biāo)記一、二、三、四,找到原象限數(shù)字即可角度2區(qū)域角的表示[例4](1)(2023·濟(jì)南高一檢測)如圖,陰影部分表示角α的終邊所在的位置,試寫出角α的集合.(2)在直角坐標(biāo)系中畫出表示集合{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}的范圍.【解析】(1)①{α|-30°+k·360°≤α≤k·360°,k∈Z}∪{α|150°+k·360°≤α≤180°+k·360°,k∈Z}={α|-30°+k·180°≤α≤k·180°,k∈Z};②{α|-30°+k·360°<α<60°+k·360°,k∈Z}.(2)因?yàn)閧α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}={α|k·360°-90°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}∪{α|k·360°+90°≤α≤k·360°+225°,k∈Z},所以集合{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}表示的范圍如圖所示:【總結(jié)升華】表示區(qū)域角的三個(gè)步驟(1)先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的-360°~360°內(nèi)的角α和β,寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β},其中β-α<360°.(3)起始、終止邊界對應(yīng)的角α,β再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)域角集合.【即學(xué)即練】1.已知θ是第二象限角,那么θ3是 (A.第一象限角B.第一或第二象限角C.第一、第二或第三象限角D.第一、第二或第四象限角【解析】選D.因?yàn)棣仁堑诙笙藿?所以360°·k+90°<θ<360°·k+180°,k∈Z,因此120°·k+30°<θ3<120°·k+60°,k∈Z當(dāng)k=3m(m∈Z)時(shí),360°·m+30°<θ3<360°·m+60°,m∈Z,為第一象限角當(dāng)k=3m+1(m∈Z)時(shí),360°·m+150°<θ3360°·m+180°,m∈Z,為第二象限角;當(dāng)k=3m+2(m∈Z