2023年中考九年級數(shù)學(xué)高頻考點訓(xùn)練-三角形的外接圓與外心

2023年中考九年級數(shù)學(xué)高頻考點專題訓(xùn)練一三角形的外接圓與外心

一、綜合題

1.在同一平面直角坐標(biāo)系中，請按要求完成下面問題：

(I)△ABC的各定點坐標(biāo)分別為A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),請畫出它的外接圓

OP,并寫出圓心P點的坐標(biāo)；

(2)將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)9()。得到△ABC,請畫出△ABC.

2.下面是小董設(shè)計的“作己知圓的內(nèi)接正三角形”的尺規(guī)作圖過程.

己知：。0.

求作：。。的內(nèi)接正三角形.

作法：如圖，

①作直徑AB；

②以B為圓心，OB為半徑作弧，與。O交于C,D兩點;

③連接AC,AD,CD.

所以△ACD就是所求的三角形.

根據(jù)小董設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明：

證明：在。0中，連接OC,OD,BC,BD,

VOC=OB=BC,

.?.△OBC為等邊三角形（）（填推理的依據(jù)）.

.\ZBOC=60o.

ZAOC=180°-ZBOC=120°.

同理NA（）D=120°,

ZCOD=ZAOC=ZAOD=120°.

/.AC=CD=AD（）（填推理的依據(jù)）.

...△ACD是等邊三角形.

3.如圖，已知給定等邊△ABC及邊AB上點D.

(1)作經(jīng)過點B,C,D的。O(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡并寫出結(jié)論).

(2)若BC=6,BD=4,求OA的長.(說明：O為(1)小題所作圓的圓心)

4.如圖，O為等邊AABC的外接圓，D為直徑CE延長線上的一點，連接AD,AD=AC.

(1)求證：是。0的切線；

(2)若=6,求陰影部分的面積.

5.如圖，在△ABC中，ZC=90°,NABC的平分線交AC于點E,過點E作BE的垂線交AB于點

F,。0是aBEF的外接圓.

(1)求證：AC是OO的切線；

(2)過點E作EHLAB,垂足為H,求證：CD=HF；

(3)若CD=1,EH=3,求BF及AF長.

6.已知等腰△ABC中，AB=AC.

(1)如圖1,若。。為△ABC的外接圓，求證：AO1BC；

(2)如圖2,若4B=AC=10,BC=12,I為A4BC的內(nèi)心，連接IC,過點I作/。||BC交AC

于點D,求ID的長.

7.如圖，在△ABC中，AB=AC,D為BC上一點(能與B重合，不與C重合)，以DC為直徑的半

圓O,交AC于點E.

(1)如圖1,若點D與點B重合，半圓交AB于點F,求證：AE=AF.

(2)設(shè)/B=60。，若半圓與AB相切于點T,在圖2中畫出相應(yīng)的圖形，求/AET的度數(shù).

(3)設(shè)/B=60。，BC=6,△ABC的外心為點P,若點P正好落在半圓與其直徑組成的封閉圖形

的內(nèi)部，直接寫出DC的取值范圍.

8.如圖，△ABC中，NC=45。，AB=2.

B

(1)尺規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：作△ABC的外接圓。0；

(2)求△ABC的外接圓。O的直徑.

9.如圖，在RSABC中，ZC=90°,ZB=30°.

(1)用直尺和圓規(guī)作。0,使圓心0在BC邊，且。O經(jīng)過A,B兩點上(不寫作法，保留作圖痕

跡)；

(2)連接A0,求證：A0平分/CAB.

10.如圖,已知△ABC.

(1)作△ABC的外接圓，并在AB的上方作弦AD,使AD=BC.(要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕

跡，不寫作法)

(2)連結(jié)CD,求證：CD〃AB.

11.如圖，在10x10的正方形網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長都為1個單位)，△ABC的三個頂點都在

(1)請在圖中標(biāo)出△ABC的外接圓的圓心P的位置，并填寫：圓心P的坐標(biāo)：P

(,)

(2)將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到aADE,畫出圖形，并求△ABC掃過的圖形的面積.

12.如圖，已知邊長為6的等邊△ABC內(nèi)接于。O.

(2)求BC的長和弓形BC的面積.

13.如圖，在AABC中，NB=NC=40。，點D從點B出發(fā)沿BC向點C運動，點E從點

C出發(fā)沿CB向點B運動，點D和點E同時出發(fā)，速度相同，到達(dá)C點或B點后運動停

止.

(2)若4B=BE,求^DAE的度數(shù)；

(3)若AABD的外心在其內(nèi)部時，直接寫出乙BDA的取值范圍.

14.如圖，。。是△ABC的外接圓，AB是。O的直徑，經(jīng)過點A作AELOC,垂足為點D,AE與

BC交于點F,與過點B的直線交于點E,且EB=EF.

E

(1)求證：BE是OO的切線；

(2)若CD=CcosZAEB=|,求BE的長.

15.將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點A,B,C.

B

(1)用尺規(guī)作出該輪的圓心O,并保留作圖痕跡；

(2)若XABC是等腰三角形，設(shè)底邊BC=8,腰4B=5,求圓片的半徑R.

16.解答題

(1)作^ABC的外接圓；

(2)若AC=BC,AB=8,C到AB的距離是2,求△ABC的外接圓半徑.

答案解析部分

1.【答案】（1）解：如圖，OP為所作，P點坐標(biāo)為（-1,0）；

（2）解：如圖，△ABC為所作

（2）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等

3.【答案】（1）解：如圖，。。即為所求.

I

I

(2)解：設(shè)線段BC的垂直平分線交BC于點E,線段BD的垂直平分線交BD于點F,

，BD=DF=1BD=2,

VAABC為等邊三角形，

，AB=BC=6,點A,O,E在同一條直線上，

AZBAE=30°,AF=4,

在RSAOF中,cos300=縹*，

/l(y/iU乙

解得AO=竽，

經(jīng)檢驗，AO=竽是原方程的解且符合題意，

AOA的長為竽.

4.【答案】(1)證明：連接OA,如圖所示：

;。。為等邊XABC的外接圓，D為直徑CE延長線上的一點,

1

工（ACD=宏44cB=30°,CDLAB,

9：AD=AC,

AZD=Z.ACD=30°,

：.Z.DAC=180°-30°-30°=120°,

9：0A=OC,

：.^OAC=^ACD=30°,

C.Z-OAD=120°-30°=90°,

：.AD1OA,

：.AD是O。的切線；

（2）解：由（1）得:CD1AB,Z,D=30°,

9：AD=AC,

:.DF=CF=^CD=3,

??AF=^'DF=V3，

?"O=2AF=2V3，

9：LOAD=90°,Z.D=30°,

??/-AOD=60°f。4=AD=2，

,■S陰影=S&0AD-S扇形AOE=/X2x2V3-6。筋2=26-1兀

5.【答案】（1）證明：如圖，連接OE.

VBE1EF,

???ZBEF=90°,

???BF是圓O的直徑.

〈BE平分NABC,

AZCBE=ZOBE,

VOB=OE,

AZOBE=ZOEB,

AZOEB=ZCBE,

???OE〃BC,

AZAEO=ZC=90°,

???AC是。。的切線；

(2)證明：如圖，連結(jié)DE.

；NCBE=NOBE,ECLBC于C,EHLAB于H,

，EC=EH.

ZCDE+ZBDE=180°,ZHFE+ZBDE=180°,

二ZCDE=ZHFE.

在^CDE與4HFE中，

ACDE=^HFE

ZC=^EHF=90°，

EC=EH

?.△CDE^AHFE(AAS),

/.CD=HF

(3)由(2)得CD=HF,又CD=1,

在RtAHFE中，EF=后喬=710,

VEF±BE,

，ZBEF=90°,

.,.ZEHF=ZBEF=90°,

VZEFH=ZBFE,

EHF^ABEF,

.EF_HFHH710-1

，,BF~EF'即前一國‘

.?.BF=10,

/.OE=1BF=5,OH=5-1=4,

；.RtAOHE中,cosNEOA=),

/.RtAEOA中，cosZEOA=需=&

?5,4

?'OA-5'

.?.OA=竿,

???AF=-5=|

6.【答案】（1）證明：連接OB、OC,VAB=AC,

B'C

圖1

.?.A在BC的垂直平分線上

又,.?OB=OC,二。也在BC的垂直平分線上

：.A01BC

（2）解：連接AI并延長交BC于點F,過點I分別作/G14C于點G,/H_L于點H

'：AB=AC,I為△ABC的內(nèi)心，：.AF1BC,BF=CF=6,

-'-AF=yjAB2-BF2=8

設(shè)=ip=IG=r,由SMBC=S^ABI+S&BC1+S^ACI

可得：(10+10+12)-r=|x12x8

.\r=3

設(shè)C產(chǎn)=CG=a,貝iJ/H=AG=10-a,BF=BH=12-a

A10-a+12-a=10

解得：a=6B|JCG=6

V/D||BC,C/平分乙4CB,

Azl=z2=z3

J設(shè)/D=DC=x,DG=6-x

在Rt/UGD中，IG2+GD2=ID2

.?.32+(6—x)2=/解得：x=學(xué)

7.【答案】(1)解：如圖1：連接BE,CF,

圖1

???此時BC為直徑，

AZBEC=ZCFB=90°,

/.ZAEB=ZAFC=90°,

又,.,NA二NA,AB=AC,

???△ABE^AACF,

/.AE=AF

(2)解：如圖2：連接OT、OE、ET,

圖2

VAB=AC,ZB=60°,

AZC=60°,

VOE=OC,

ZEOC=ZOEC=6()°,

〈AB是圓的切線，

AOT1AB,

VZBOT=90°-60°=30°,

JZTOE=90°,

VOT=OE,

，ZTEO=45°,

二ZAET=180o-45°-60o=75°

(3)4<DC<6.

8.【答案】(1)解：如圖，。。為所作;

(2)解：VZAOB=2ZACB=2x45°=90°,

...△OAB為等腰直角三角形，

.?.OA=專AB=孝x2=V2,

ABC的外接圓。0的直徑為2魚.

9.【答案】(1)解：如圖，。。為所作；

(2)證明：VOA=OB,

.*.ZOAB=ZB=30o,

而NCAB=90°-NB=60°,

...NCAO=NBAO=30。，

，OC平分NCAB.

10.【答案】(1)解：如圖，。0,線段CD即為所求.

(2)解：理由：VAD=BC,

：.AD=席，

AZACD=ZCAB,

???CD〃AB.

11.【答案】(1)5；3

(2)解：根據(jù)圖中信息由勾股定理可得：AC=V22+62=2710，/.△ABC在旋轉(zhuǎn)過程中掃過

,-2

的面積為：S扇形ACE+SAABC=9°XTTX(2/IU).|_1x4x2=10TT+4,

3602

12.【答案】（1）解：連結(jié)OB,OC,作OMLBC于M,

???△ABC是等邊三角形,

.?.ZA=60°,

.?.ZBOC=120°.

又?.PM_LBC,

，BM=CM=3.

又：OB=OC,

.,.ZOBC=ZOCB=30°.

3

J。。半徑二上飛=2V3

cos30

(2)解：，.?由⑴知NBOC=120°,0B=2冉,

.?.弧BC的長=12。卷2丹=生鼻

1803

L21

弓形BC的面積=S扇形BOC-SABOC=1207rx(2同-Ax6x3=4兀-3遮.

1802

13.【答案】(1)解：??,點。、點E分別從點8、點。同時出發(fā)，在線段BC上作等速運動,

:.BD=CE,

：.BC-BD=BC-CE，即BE=CD,

LB=zC=40°,

：.AB=AC,

：.AABE=AACD(SAS)

(2)解：VzB=ZC=40°,AB=BE,

?"BEA=Z.EAB=1(180°-40°)=70°

9：AABE=AACD,

：.AD=AE,

：.Z.ADC=Z.BEA=70°,

：.^LDAE=180°-^ADC-Z.BEA=180°—70°-70°=40°

(3)50°<Z,BDA<90°.

14.【答案】(1)證明：???B、C在。O上，

Z.OB=OC,

AZOBC=ZOCB,

VEF=EB,

AZEBC=ZEFB,

又〈NAFONEFB,

/.ZAFC=ZEBC,

VAE10C,

AZAFC+ZOCB=90°,

AZEBC+ZOBC=90