中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練：專題22 對角互補(bǔ)模型（教師版）

專題22對角互補(bǔ)模型【模型1】90°的對角互補(bǔ)模型如圖22-1，已知在四邊形ABCD中，，AC平分；過點(diǎn)A做CB的垂線，交CB的延長線于E點(diǎn)，過A點(diǎn)做CD的垂線交CD于點(diǎn)F。結(jié)合與AC平分可證得≌≌，，結(jié)合勾股定理可得；又≌綜上所述，可得：（1）；（2）；（3）?！灸Ｐ?】120°的對角互補(bǔ)模型如圖22-3，已知在四邊形ABCD中，，，AC平分；【結(jié)論】（1）；（2）；（3）。（證法如模型1）【例1】如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點(diǎn)共線；②平分；③；④．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①設(shè)∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起來等于180度，即可證明D、A、E三點(diǎn)共線；②根據(jù)△BCD繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，判斷出△CDE為等邊三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，從而得到∠E=∠BAC．④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE為等邊三角形，DC=DE=DB+BA．【解析】解：如圖，①設(shè)∠1=x度，則∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，∴D、A、E三點(diǎn)共線；故①正確；②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE為等邊三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°-60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正確；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正確；④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE為等邊三角形，∴DC=DB+DA．故④正確；故選：D．【例2】如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段BP繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，則四邊形APBQ的面積為_______．【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BPQ是等邊三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形，求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為求兩個特殊三角形的面積即可．【解析】解：連接PQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BP=BQ，又∵∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴PQ=BP，在等邊三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，∴∠ABQ=60°-∠ABP∠CBP=60°-∠ABP∴∠ABQ=∠CBP在△ABQ與△CBP中，∴△ABQ≌△CBP(SAS)，∴AQ=PC，又∵PA=4，PB=5，PC=3，∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，在△APQ中，因?yàn)椋?5=16+9，∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，∴，故答案為：【例3】（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3）圖形見解析，【分析】（1）延長EB到G，使BG=DF，連接AG．證明△AGE和△AEF全等，則EF=GE，則EF=BE+DF，證明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．從而得出EF=GE；（2）思路和作輔助線的方法同（1）；（3）根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【解析】（1）延長至，使，連接，∵，，∴≌，∴，，∴，∴，在和中，∵，∴≌，∴，∵，∴．故答案為：（）（）中的結(jié)論仍成立，證明：延長至，使，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，,∵，∴，∴即，在和中，，∴≌，∴，即．（），證明：在上截取使，連接，∵，，∴，∵在和中，，∴≌，∴，，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．1．已知：，求證：．【答案】見解析【分析】過點(diǎn)D作的垂線交的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作的垂線交于點(diǎn)F，根據(jù)證明得，再證明四邊形是正方形，由勾股定理進(jìn)一步得出結(jié)論．【解析】證明：過點(diǎn)D作的垂線交的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作的垂線交于點(diǎn)F，如圖．易知．∵，∴．又，∴．∵，∴．又，∴，∴又，，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴．2．已知，求證：，．【答案】見解析【分析】延長DC至點(diǎn)E使CE=AD，先證明△BAD≌△BCE，再證明△BDE是等邊三角形，可證結(jié)論成立．【解析】證明：延長DC至點(diǎn)E使CE=AD，∵，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠BCE，在△BAD和△BCE中，∴△BAD≌△BCE，∴BD=BE，∠ABD=∠CBE，∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴BD=DE，∵DC+CE=DE，∴；作BF⊥DE于點(diǎn)F，則∠EBF=30°，EF=DF=DE=BE，∴BF==，∴S△DBE=DE×BF=×BE×=，∴．．3．五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．【答案】見解析【分析】延長DE至F，使得，連接AC，易證△ABC≌△AEF，得到，然后證明△ADC≌△ADF即可解決問題．【解析】延長DE至F，使得，連接AC.∵，，∴∵，，∴△ABC≌△AEF．∴，∵，∴，∴△ADC≌△ADF，∴即AD平分∠CDE．4．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，把∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)DF⊥AC時，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）是，2.【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可求∠DEA=90°，根據(jù)“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可證BE=CF；（2）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，易證△MBD≌△NCD，則有BM=CN，DM=DN，進(jìn)而可證到△EMD≌△FND，則有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【解析】（1）∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，則有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS）BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA）∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.5．回答問題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由見解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推導(dǎo)得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：如圖1，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，∴∠B=∠ADG=90°，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF=180°-∠DAB．證明：如圖3，在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-∠DAB．6．感知：如圖①，平分，，．判斷與的大小關(guān)系并證明．探究：如圖②，平分，，，與的大小關(guān)系變嗎？請說明理由．應(yīng)用：如圖③，四邊形中，，，，則與差是多少（用含的代數(shù)式表示）【答案】感知：，證明見詳解；探究：與的大小關(guān)系不變，理由見詳解；應(yīng)用：與差是．【分析】感知：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可求證；探究：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC延長線于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DE=DF，由題意可得∠B=∠DCF，進(jìn)而可證△DEB≌△DFC，然后問題可求證；應(yīng)用：過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，DG⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)G，連接AD，由題意易證△DHB≌△DGC，則有DH=DG，進(jìn)而可得AG=AH，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，則有，最后問題可求解．【解析】感知：，理由如下：∵，，∴，即，∵平分，∴；探究：與的大小關(guān)系不變，還是相等，理由如下：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC延長線于點(diǎn)F，則∠DEB=∠DFC=90°，如圖所示：∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；應(yīng)用：過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，DG⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)G，連接AD，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB與△DGC都為等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．7．在內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為，．且，點(diǎn)，分別在邊和上．（1）如圖1，若，請說明；（2）如圖2，若，，猜想，，具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析【分析】（1）根據(jù)題目中的條件和，可以證明，從而可以得到；（2）作輔助線，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，從而可以得到，然后即可得到，，再根據(jù)題目中的條件可以得到，即可得到，然后即可得到，，具有的數(shù)量關(guān)系．【解析】解：（1），，，在和中，．；（2），理由：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在和中，，，，．，，．，．在和中，，．，．8．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）思路梳理將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點(diǎn)F，D，G三點(diǎn)共線，易證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為__；（2）類比引申如圖2，在圖1的條件下，若點(diǎn)E，F(xiàn)由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC延長線上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接寫出DE的長為________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF?BE；證明見解析；（3）.【分析】（1）將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，首先證明F，D，G三點(diǎn)共線，求出∠EAF＝∠GAF，然后證明△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADE'，首先證明E'，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求出∠EAF＝∠E'AF，然后證明△AFE≌△AFE'，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（3）將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，同（1）可證△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解析】解：（1）將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠FDG＝180°，即點(diǎn)F，D，G三點(diǎn)共線，∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；（2）EF＝DF?BE；證明：將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADE'，則△ABE≌ADE'，∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠E'AF＝∠BAD?（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD?（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD?∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠E'AF，在△AEF和△AE'F中，，∴△AFE≌△AFE'（SAS），∴FE＝FE'，又∵FE'＝DF?DE'，∴EF＝DF?BE；（3）將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，同（1）可證△AED≌AED'，∴DE＝D'E．∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，∴∠ECD'＝90°，在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，故答案為：．9．探究問題：(1)方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠BAF＝45°，連接EF，求證DE＋BF＝EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵

∠EAF＝45°∴

∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵

∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴

△GAF≌△________．∴

_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法遷移：如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF.【分析】（1）利用角之間的等量代換得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；（2）將△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，再證明△AGF≌△AEF，即可得出答案；【解析】解：（1）如圖①所示；根據(jù)等量代換得出∠GAF=∠FAE，利用SAS得出△GAF≌△EAF，∴GF=EF，故答案為FAE；△EAF；GF；(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假設(shè)∠BAD的度數(shù)為m，將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，m°得到△ABG，如圖，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：

AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，

∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，

因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．

∵

，

∴

．∵

∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝．

即∠GAF＝∠EAF．∵在△AGF和△AEF中，，∴

△GAF≌△EAF（SAS）．

∴

GF＝EF．又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴

DE＋BF＝EF．10．我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫作“完美四邊形”．（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是（請?zhí)钚蛱枺?；?）在“完美”四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，連接AC．①如圖1，求證：AC平分∠BCD；小明通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下兩種想法，證明AC平分∠BCD：想法一：通過∠B+∠D=180°，可延長CB到E，使BE=CD，通過證明△AEB≌△ACD，從而可證AC平分∠BCD；想法二：通過AB=AD，可將△ACD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△AEB，可證C,B,E三點(diǎn)在條直線上，從而可證AC平分∠BCD．請你參考上面的想法，幫助小明證明AC平分∠BCD；②如圖2，當(dāng)∠BAD=90°，用等式表示線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②BC+CD=AC．【分析】（1）根據(jù)“完美四邊形”的定義可以判斷出正方形是完美四邊形；（2）①想法一：通過∠B+∠D=180°，可延長CB到E，使BE=CD，通過證明△AEB≌△ACD，從而可證AC平分∠BCD；想法二：通過AB=AD，可將△ACD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△AEB，可證C,B,E三點(diǎn)在條直線上，從而可證AC平分∠BCD；②②延長CB使BE=CD，連接AE，可得△ACE為等腰三角形，因?yàn)椤螧AD=90°得∠EAC=90°，由勾股定理可得AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系.【解析】（1）根據(jù)“鄰等對補(bǔ)四邊形”的定義，正方形一定是“鄰等對補(bǔ)四邊形”．故答案為④．（2）想法一：延長CB使BE=CD，連接AE∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABE．∵AD=AB，∴△ADC≌△ABE．∴∠ACD=∠AEB;AC=AE．∴∠ACB=∠AEB．∴∠ACD=∠ACB．即AC平分∠BCD想法二：將△ACD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD邊與AB邊重合，得到△ABE，∴△ADC≌△ABE．∴∠ADC=∠ABE;∠ACD=∠AEB;AC=AE．∵∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABE+∠ABC=180°．∴點(diǎn)C,B,E在一條直線上．∵AC=AE，∴∠ACB=∠AEB．∴∠ACD=∠ACB．即AC平分∠BCD．②延長CB使BE=CD，連接AE，由①得△ADC≌△ABE∴AC=AE∴△ACE為等腰三角形．∵∠BAD=90°，∴∠EAC=90°．∴．∴．∴BC+CD=AC．11．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時（如圖1），請證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時（如圖2），請你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請直接寫出的長為．【答案】（1）證明見解析；（2）．證明見解析；（3）．【分析】（1）把△DBM繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“邊角邊”證明△MND和△QND全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=QN，再根據(jù)AQ+AN=QN整理即可得證；（2）把△DAN繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DN=DP，AN=BP，根據(jù)∠DAN=∠DBP=90°可知點(diǎn)P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“邊角邊”證明△MND和△MPD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=MP，從而得證；（3）過點(diǎn)M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以證明△BMG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BM=MG=BG，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠QND=∠MND，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根據(jù)等角對等邊可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角邊”證明△ANE和△GHE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=GE，再根據(jù)BG=AB-AE-GE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出BG，從而得到BM的長．【解析】解：（1）證明：把△DBM繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，則DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴點(diǎn)Q在直線CA上，∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；（2）：.理由如下：如圖，把△DAN繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，則DN=DP，AN=BP，∵∠DAN=∠DBP=90°，∴點(diǎn)P在BM上，∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；（3）如圖，過點(diǎn)M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等邊三角形，∴△BMG是等邊三角形，∴BM=MG=BG，根據(jù)（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根據(jù)MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案為：2.812．問題探究（（1）如圖①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，則∠BCD的大小為___________；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，對角線BD=6．求四邊形ABCD的面積；小明這樣來計(jì)算．延長DC，使得CE=AD，連接BE，通過證明△ABD≌△CBE，從而可以計(jì)算四邊形ABCD的面積．請你將小明的方法完善．并計(jì)算四邊形ABCD的面積；問題解決（3）如圖③，四邊形ABCD是正在建設(shè)的城市花園，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．請計(jì)算出對角線BD的長度．【答案】（1）115°；（2）S四邊形ABCD=18；（3）對角線BD的長度為米．【分析】（1）利用外角的性質(zhì)可求解；（2）延長DC，使得CE=AD，連接BE，通過證明△ABD≌△CBE，從而可以計(jì)算四邊形ABCD的面積；（2）將△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAF，連接FD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，由三角形內(nèi)角和定理可求∠FAD=90°，由勾股定理可求解．【解析】解：（1）如圖1，延長BC交AD于E，∵∠BCD=∠BED+∠D，∠BED=∠A+∠ABC，∴∠BCD=∠A+∠ABC+∠D=45°+30°+40°=115°，故答案為：115°；（2）延長DC，使得CE=AD，連接BE，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠BCE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE，∴BE=BD，∠ABD=∠CBE，S△ABD=S△CBE，∵∠ABC=90°，即∠ABD+∠DBC=90°，∴∠CBE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，

∵BD=BE=6，∠DBE=90°，∴S△BDE=×BE×BD=18，∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四邊形ABCD=18；（4）如圖，將△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAF，連接FD，∴△BCD≌△BAF，∠FBD=60°，∴BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，∴△BFD是等邊三角形，∴BF=BD=DF，∵∠ADC=30°，∴∠ADB+∠BDC=30°，∴∠BFA+∠ADB=30°，∵∠FBD+∠BFA+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠AFD+∠ADF=90°，∴∠FAD=90°，∴DF=，∴BD=(米)．答：對角線BD的長度為米．13．問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長到G，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形中，，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形中，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的A處艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進(jìn)，同時艦艇乙沿北偏東的方向以100海里/小時的速度前進(jìn)，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立．探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立．實(shí)際應(yīng)用：210海里．【分析】延長到G，使，連接，先證明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明，可得GF=EF，即可解題；探究延伸1：延長到G，使，連接，先證明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明，可得GF=EF，即可解題；探究延伸2：延長到G，使，連接，先證明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明，可得GF=EF，即可解題；實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長AE，BF相交于點(diǎn)C，然后與探究延伸2同理可得EF=AE+CF，將AE和CF的長代入即可．【解析】解：EF=AE+CF理由：延長到G，使，連接，在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立．理由：延長到G，使，連接，在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立．理由：延長到G，使，連接，∵，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長AE，BF相交于點(diǎn)C，∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的條件∴結(jié)論EF=AE+CF仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此時兩艦艇之間的距離為210海里．14．問題背景如圖（1），在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作一個角，角的兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)E