浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

絕密★啟用前寧波市2023學(xué)年第一學(xué)期高考模擬考試高三數(shù)學(xué)試卷全卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知（，為虛數(shù)單位），若是實(shí)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法及復(fù)數(shù)的虛部為0計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，故選：A2.設(shè)集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)集合的交集、并集、補(bǔ)集求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，，因?yàn)?，所以，故選：B3.若是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價(jià)轉(zhuǎn)換為，從而即可求解.【詳解】由題意有，又因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.故選：B4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A.的最小值為50 B.的最大值為50C.的最小值為10 D.的最大值為10【答案】C【解析】【分析】寫出的表達(dá)式，利用基本不等式即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在等比數(shù)列中，，設(shè)公比為，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為10，故選：C.5.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷小于1，大于1，再由數(shù)形結(jié)合判斷即可.【詳解】令，可得，所以，即；令，可得，即，所以，即；令，可得，由此可得，所以，即，作的圖象，如圖，由圖象可知，，所以.故選：D6.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用余弦定理可得，再由向量表示可知，即可得；聯(lián)立即可求得.【詳解】如下圖所示：不妨設(shè)，根據(jù)橢圓定義可得，；由余弦定理可知；又因?yàn)?，所以，又，即可得，解得；又，即；所以可得；故選：C7.已知二面角的大小為，球與直線相切，且平面、平面截球的兩個(gè)截面圓的半徑分別為、，則球半徑的最大可能值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在平面、平面內(nèi)的射影點(diǎn)分別為、，設(shè)球切于點(diǎn)，連接、、，分析可知，、、、四點(diǎn)共圓，利用二面角的定義可得或，利用余弦定理求出的長(zhǎng)，分析可知，球半徑的最大值即為外接圓的直徑，結(jié)合正弦定理求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)在平面、平面內(nèi)的射影點(diǎn)分別為、，設(shè)球切于點(diǎn)，連接、、，如下圖所示：因?yàn)槠矫?，平面，則，由球的幾何性質(zhì)可知，，因?yàn)椋?、平面，則平面，同理可知，平面，因?yàn)檫^點(diǎn)作直線的垂面，有且只有一個(gè)，所以，平面、平面重合，因?yàn)槠矫?，平面，則，同理可知，，所以，、、、四點(diǎn)共圓，由已知條件可知，，，因平面，、平面，則，，所以，二面角的平面角為或其補(bǔ)角.①當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，故，易知，為外接圓的一條弦，所以，球半徑的最大值即為外接圓的直徑，即為；②當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得故，易知，為外接圓的一條弦，所以，球半徑的最大值即為外接圓的直徑，即為.綜上所述，球的半徑的最大可能值為.故選：D.8.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對(duì)有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無數(shù)個(gè)【答案】B【解析】【分析】由題意有，通過分析得到，是滿足題意的唯一解，注意檢驗(yàn).【詳解】由題意若不等式在上恒成立，則必須滿足，即，由，兩式相加得，再由，兩式相加得，結(jié)合（4），（5）兩式可知，代入不等式組得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，，有，，滿足在上恒成立，綜上所述：滿足要求的有序數(shù)對(duì)為：，共一個(gè).故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是首先得到，進(jìn)一步由不等式的性質(zhì)通過分析即可求解.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式通式以及賦值法即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，取,則，則A正確；對(duì)B，根據(jù)二項(xiàng)式展開通式得的展開式通項(xiàng)為，即，其中所以，故B正確；對(duì)C，取，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，取，則，將其與作和得，所以，故D正確；故選：ABD.10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過圓的圓心且交圓于兩點(diǎn)，則（）A. B.C.的面積為 D.【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，整理圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，明確圓心與半徑，可得答案；對(duì)于B，由題意，將圓心代入直線方程，求得參數(shù)，可得答案；對(duì)于C，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得三角形的高，結(jié)合三角形的面積公式，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)兩點(diǎn)求得斜率，利用垂直直線斜率的關(guān)系，可得答案.【詳解】由圓的方程，則，所以圓心，半徑，易知，故A錯(cuò)誤；將代入直線方程，則，解得，故B正確；將代入直線方程，整理可得直線方程，原點(diǎn)到直線的距離，且此為底上的高，所以，故C正確；由與，則直線的斜率，由直線方程，則直線斜率，由，則與不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.若函數(shù)在區(qū)間上沒有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及對(duì)稱軸求出函數(shù)解析式，由函數(shù)的平移判斷A，根據(jù)單調(diào)性判斷B，由函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷CD.【詳解】由題意且，可得，，故當(dāng)時(shí)，，.對(duì)A，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，故函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上沒有最小值，則需，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由C，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則，即，故D錯(cuò)誤.故選：AB12.已知函數(shù)：，對(duì)任意滿足的實(shí)數(shù)，均有，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.是周期函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】由條件等式通過賦值可判斷AC選項(xiàng)；進(jìn)而令，可得，可設(shè)，滿足，進(jìn)而驗(yàn)證BD選項(xiàng)是否滿足，即可判斷.【詳解】由，令，則，即，因?yàn)?，所以，故A正確；令，，則，即，即，所以，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故C正確；令，則，由AC選項(xiàng)，不妨設(shè)，則，，滿足，而BD選項(xiàng)不滿足，故BD錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上賦值，再不斷變換求解即可.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，則___________.【答案】【解析】【分析】由題意并結(jié)合三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意結(jié)合三角函數(shù)定義可知，從而由誘導(dǎo)公式有.故答案為：.14.已知圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為1和2，體積為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為___________.【答案】【解析】【分析】利用圓臺(tái)體積公式可得其高為，即可知母線長(zhǎng)為，利用側(cè)面展開圖面積求出圓臺(tái)的側(cè)面積為.【詳解】根據(jù)題意可知，圓臺(tái)上底面面積為，下底面面積為；設(shè)圓臺(tái)的高為，由體積可得，解得，所以可得圓臺(tái)母線長(zhǎng)為，根據(jù)側(cè)面展開圖可得圓臺(tái)側(cè)面積為.故答案為：15.第33屆奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行.某田徑運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備參加100米?200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運(yùn)動(dòng)員100米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，200米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，兩項(xiàng)比賽都未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)，則他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率是___________.【答案】##0.6【解析】【分析】設(shè)出事件，根據(jù)事件的關(guān)系得到，進(jìn)而求出，再利用條件概率公式求出答案.【詳解】設(shè)在200米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)為事件，在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)為事件，則，，，，則，則，故.故答案為：16.已知拋物線Γ：與直線圍成的封閉區(qū)域中有矩形，點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C，D在直線上，則矩形對(duì)角線長(zhǎng)度的最大值是___________.【答案】4【解析】【分析】由題意首先畫出圖形，不妨設(shè)，結(jié)合圖形以及分別算出參數(shù)的范圍以及目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，從而即可求解.【詳解】如圖所示：聯(lián)立，解得或，得拋物線Γ與直線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，由題意四邊形是矩形，故，且注意到所以不妨設(shè)，又，所以，所以由圖可知，聯(lián)立，因此，而，由兩平行線間的距離公式可知，從而，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度取最大值是.故答案為：4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是合理設(shè)參，并通過數(shù)形結(jié)合求出參數(shù)的范圍也是很重要的，至于求出目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式只需仔細(xì)計(jì)算即可.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）證明：；（2）若，，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出，求出的取值范圍，可得出，即可證得結(jié)論成立；（2）由可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，故，因?yàn)?、，所以，則，所以，，所以，或（舍），因此.【小問2詳解】解：因?yàn)?，故，由，因?yàn)?，故，所?18.已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)m，n都有（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，可得，用累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由題意分是偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可用分組求和以及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，利用n為偶數(shù)的結(jié)論即可求解.【小問1詳解】由對(duì)任意整數(shù)均有，取，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以.【小問2詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，若，則，且當(dāng)時(shí)，滿足.綜上所述：.19.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E滿足，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，點(diǎn)G滿足（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）法1：取中點(diǎn)，分別連接，先證明四邊形為平行四邊形，則，再根據(jù)相似比可得，則，即可得出結(jié)論；法2：以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，證明即可；（2）利用向量法求解即可.【小問1詳解】法1：如圖，取中點(diǎn)，分別連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，由知，由知，所以，所以，所以，所以四點(diǎn)共面；法2：如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，所以，所以，所以四點(diǎn)共面；【小問2詳解】由（1）知，，設(shè)平面法向量為，由，即，可取，平面的法向量，則有，可取，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面EFG與平面夾角的余弦值為.20.已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分類討論，分別判斷的符號(hào)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為求證，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值即可得解.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由可得，故時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1）知，，只需證，即證，設(shè)，則，故時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，又，故，即成立，所以原不等式成立.21.某中學(xué)在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計(jì)時(shí)的趣味性比賽，并對(duì)學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表：性別速度合計(jì)快慢男生65女生55合計(jì)110200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)？（2）現(xiàn)有n根繩子，共有2n個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束.（i）當(dāng)，記隨機(jī)變量X為繩子圍成的圈的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）求證：這n根繩子恰好能圍成一個(gè)圈的概率為附：0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635【答案】（1）有的把握，認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)（2）（i）分布列見解析，；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）利用計(jì)算卡方進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）（i）依題意，先得到的所有可能取值，再依次求得對(duì)應(yīng)的概率即可得解；（ii）利用分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合數(shù)列的累乘法與古典概型的概率公式即可得解.【小問1詳解】依題意，完善列聯(lián)表如下，性別速度合計(jì)快慢男生6535100女生4555100合計(jì)11090200所以.故有的把握，認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān).【小問2詳解】（i）由題知，隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，所以的分布列為123所以.（ii）不妨令繩頭編號(hào)為，可以與繩頭1打結(jié)形成一個(gè)圓的繩頭除了1，2外有種可能，假設(shè)繩頭1與繩頭3打結(jié)，那么相當(dāng)于對(duì)剩下根繩子進(jìn)行打結(jié)，令根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為，那么經(jīng)過一次打結(jié)后，剩下根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為，由此可得，，所以，所以，顯然，故；另一方面，對(duì)個(gè)繩頭進(jìn)行任意2個(gè)繩頭打結(jié)，總共有；所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二小問第二步的解決關(guān)鍵是利用分步計(jì)數(shù)原理得到數(shù)列的遞推式，從而利用數(shù)列的累乘法求得結(jié)果.22.已知雙曲線C：的焦距為6，其中一條漸近線的斜率為，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ上與端點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M且與平行的直線分別交另一條漸近線和C于點(diǎn)（1）求C的方程；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由漸近線斜率得，結(jié)合求得得雙曲線方程；（2）設(shè).直線的方程為，代入雙曲線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，同時(shí)由兩