2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納（全國通用）：12 全等模型-角平分線模型（教師版）

PAGE專題12全等模型-角平分線模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點(diǎn)，需要掌握其各類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)C作.結(jié)論：、≌.圖1圖2常見模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過點(diǎn)D作.結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，還有.）圖3常見模型2（鄰等對補(bǔ)型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過點(diǎn)C作CD⊥OA、CE⊥OB。結(jié)論：①；②；③.例1．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．【答案】1【分析】作于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)推出，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)F，∵平分，，，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，通過作輔助線求出三角形ACD中AC邊的高是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案.【詳解】解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM＝PN＝PF是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·廣東中山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，中，、的角平分線、交于點(diǎn)P，延長、，，，則①平分；②；③；④．上述結(jié)論中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理即可判斷①結(jié)論；證明，，得出，，進(jìn)而得到，再利用四邊形內(nèi)角和，即可判斷②結(jié)論；根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，即可判斷③結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可判斷④結(jié)論．【詳解】解：①如圖，過點(diǎn)作于，

平分，，，，平分，，，，，，，平分，①結(jié)論正確；②，，，，在和中，，，，同理可得，，，，，，，②結(jié)論正確；③平分，，，，，平分，，，，③結(jié)論正確；④由②可知，，，，，，，④結(jié)論正確，正確的結(jié)論是①②③④，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的平分線的判定定理和性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵．例4．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)求證：．

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，可得，從而求出，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可；（2）利用，證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，可得，同理可得，然后求出，再根據(jù)垂直的定義即可證明；（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，可得，，然后根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作于，

∵，平分，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴平分；（2）證明：在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；（3）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．例5．（2022·河北·九年級專題練習(xí)）已知OP平分∠AOB，∠DCE的頂點(diǎn)C在射線OP上，射線CD交射線OA于點(diǎn)F，射線CE交射線OB于點(diǎn)G．（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，請直接寫出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，見解析【分析】（1）結(jié)論CF=CG，由角平分線性質(zhì)定理即可判斷．（2）結(jié)論：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，證明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：（1）結(jié)論：CF=CG；證明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）；（2）CF=CG．理由如下：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，∴CM=CN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分線的性質(zhì)），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，∴∠MCO=90°-60°=30°，∠NCO=90°-60°=30°，∴∠MCN=30°+30°=60°，∴∠MCN=∠DCE，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，在△MCF和△NCG中，∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形對應(yīng)邊相等）．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練證明三角形全等．模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長BA，CE交于點(diǎn)F.結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。例1．（2023·山東淄博·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)在內(nèi)部，平分，且，連接．若的面積為，則的面積為．

【答案】4【分析】延長交于，由證明，得出，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：延長交于，如圖所示：

平分，垂直于，，，在和中，，)，，，∴，∵的面積為，∴的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，中線的性質(zhì)，證明三角形全等得出是解題關(guān)鍵．例2．（2022秋·湖北黃岡·八年級?？计谥校┤鐖D，中，是的角平分線，；若的最大值為，則長為．【答案】【分析】延長和相交于點(diǎn)，構(gòu)造出，從而求出的值；根據(jù)當(dāng)時(shí)，有最大值求解即可；【詳解】解：延長和相交于點(diǎn)，如圖：∵是的角平分線∴∵∴，當(dāng)時(shí)，有最大值；此時(shí)，即：更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義；通過角平分線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．例3．（2022·綿陽市·九年級期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）BD=2CE，理由見解析；（3）FM=2CE．【分析】(1)由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可證△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延長CE，交BA的延長線于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可證△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可證△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．【詳解】證明(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°，∴BD垂直平分AF．（2）BD=2CE，理由如下：延長CE，交BA的延長線于G，∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）FM=2CE，理由如下：作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH，∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線是解題關(guān)鍵．例4．（2022·安徽黃山·九年級期中）如圖，在中，，，是邊上一動點(diǎn)，于．（1）如圖（1），若平分時(shí)，①求的度數(shù)；②延長交的延長線于點(diǎn)，補(bǔ)全圖形，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖（2），過點(diǎn)作于點(diǎn)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）①，②BD=2EC，理由見詳解；（2）BE=CE+2AF，理由見詳解．【分析】（1）①由題意易得∠ABC=∠ACB=45°，則有∠CBD=∠ABD=22.5°，進(jìn)而可求∠ECD=∠DBA，則問題得解；②由題意易得CE=EF，則可證△ABD≌△ACF，進(jìn)而可得BD=CF，最后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解；（2）在BE上截取BH=CE，連接AH，則易證△BHA≌△CEA，則有AE=AH，∠BAH=∠CAE，進(jìn)而可得∠HAE=90°，然后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=22.5°，①∵∠ABD+∠BDA=∠CDE+∠ECD=90°，∠CDE=∠BDA，∴∠ABD=∠ECD=22.5°；②BD=2EC，理由如下：如圖所示：∵，∴∠CEB=∠FEB=90°，∵BE=BE，∴△CEB≌△FEB（ASA），∴CE=FE，∵∠DBA+∠F=90°，∠FCA+∠F=90°，∴∠DBA=∠FCA，∵∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE；（2）BE=CE+2AF，理由如下：在BE上截取BH=CE，連接AH，如圖，由（1）易得∠HBA=∠ECA，∵AB=AC，∴△BHA≌△CEA（SAS），∴AH=AE，∠BAH=∠CAE，∵∠BAH+∠HAC=90°，∴∠EAC+∠HAC=90°，即∠HAE=90°，∵AF⊥BE，∴AF=HF=FE，∵BE=BH+HF+FE，∴BE=CE+2AF．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形斜邊中線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形斜邊中線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．【答案】（1）；（2），見解析；（3）44°或104°；詳見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，由此即可解題；（2）在AC邊上取一點(diǎn)M使AM=AB，構(gòu)造，根據(jù)即可得出答案；（3）畫出圖形，根據(jù)點(diǎn)E的位置分四種情況，當(dāng)點(diǎn)E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，可得，設(shè)，則；根據(jù)∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，可得，可證（SAS），得出，利用還有，列方程；當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，得出，設(shè)，則；∠BAC＝24°，根據(jù)AD為△ABC的角平分線，得出，證明（SAS），得出，利用三角形內(nèi)角和列方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，∵，，∴，∵AD為△ABC的角平分線，即，∴；∴（2）如圖2，在AC邊上取一點(diǎn)M使AM=AB，連接MP，更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：在和中，，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴；（3）如圖，點(diǎn)E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；如圖，點(diǎn)E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∵∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度數(shù)為44°或104°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解一元一次方程，根據(jù)角平分線模型構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．例2．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，是的平分線，延長至點(diǎn)，，試求的度數(shù)．【答案】40°【分析】在上截取，連接，通過證明，可得，再通過證明，即可求得【詳解】解：如圖，在上截取，連接，是的平分線，，在和中，，，，∴DE=DF，，又，，，，在和中，，故．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·北京九年級專題練習(xí)）在四邊形中，是邊的中點(diǎn)．（1）如圖（1），若平分，，則線段、、的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為______；（直接寫出答案）；（2）如圖（2），平分，平分，若，則線段、、、的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，證明見解析．【分析】（1）在AE上取一點(diǎn)F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可證得△ACB≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根據(jù)三角形全等的判定證得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由線段的和差可以得出結(jié)論；（2）在AE上取點(diǎn)F，使AF＝AB，連結(jié)CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG＝ED，連結(jié)CG，根據(jù)全等三角形的判定證得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性質(zhì)證得CF＝CG，進(jìn)而證得△CFG是等邊三角形，就有FG＝CG＝BD，從而可證得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖（1），在AE上取一點(diǎn)F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案為：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD．證明：如圖（2），在AE上取點(diǎn)F，使AF＝AB，連結(jié)CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG＝ED，連結(jié)CG．∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴CB＝CD＝BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．同理可證：△ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF．∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°?120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．∴△FGC是等邊三角形．∴FG＝FC＝BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：例4．（2022·湖北十堰·九年級期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE，易證AB＝AC＋CD．

（1）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；（2）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．【答案】（1）；證明見解析；（2）；證明見解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，連接DE，易證△ADE≌△ADC（SAS），則可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易證DE＝CD，則可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延長線上截取AE＝AC，連接ED，易證△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易證DE＝EB，則可求得AC＋AB＝CD．【詳解】（1）猜想：．證明：如圖②，在上截取，連結(jié)，∵為的角平分線時(shí)，∴，∵，∴，∴，，∵，∴．∵，∴，∴，∴．（2）猜想：．證明：在的延長線上截取，連結(jié)．∵平分，∴．在與中，，，，∴．∴，．∴．又，，．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查三角形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022秋·福建廈門·九年級?？计谥校┤鐖D，（是常量）．點(diǎn)P在的平分線上，且，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的兩邊分別與，相交于M，N兩點(diǎn)，若始終與互補(bǔ)，則以下四個(gè)結(jié)論：①；②的值不變；③四邊形的面積不變；④點(diǎn)M與點(diǎn)N的距離保持不變．其中正確的為（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③【答案】B【分析】如圖作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，只要證明，即可一一判斷．【詳解】解：如圖所示：作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，在和中，，，，故①正確，，定值，故③正確，定值，故②正確，的位置是變化的，之間的距離也是變化的，故④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．2．（2022·江蘇常州·一模）如圖，已知四邊形的對角互補(bǔ)，且，，．過頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．2【答案】B【分析】要求值，主要求出AE和BE的長即可，注意到AC是角平分線，于是作CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F，可以證得兩對全等三角形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)可以求得AE和BE的長，從而解決問題．【詳解】解：作CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F，則∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CFD=∠CEB=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF，∵四邊形ABCD對角互補(bǔ)，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△CBE和△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，在△AEC和△AFC中，，∴△AEC≌△AFC（AAS），∴AE=AF，設(shè)BE=a，則DF=a，

∵AB=15，AD=12，∴12+2a=15，得，∴AE=12+a=，BE=a=，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造全等三角形進(jìn)而得出等量關(guān)系．更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：3．（2023·成都·中考模擬）已知，如圖，BC=DC，∠B+∠D=180°．連接AC，在AB，AC，AD上分別取點(diǎn)E，P，F(xiàn)，連接PE，PF．若AE=4，AF=6，△APE的面積為4，則△APF的面積是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長，取，連接，先證明，由全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，得到，結(jié)合等邊對等角得到，再由角平分線的性質(zhì)證得，最后根據(jù)三角形面積公式解題即可.【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長，取，連接，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對等角、角平分線的性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度一般，作出正確的輔助線、掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.4．（2023·福建廈門·九年級校考期中）如圖，（是常量）．點(diǎn)P在的平分線上，且，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的兩邊分別與，相交于M，N兩點(diǎn)，若始終與互補(bǔ)，則以下四個(gè)結(jié)論：①；②的值不變；③四邊形的面積不變；④點(diǎn)M與點(diǎn)N的距離保持不變．其中正確的為（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③【答案】B【分析】如圖作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，只要證明，即可一一判斷．【詳解】解：如圖所示：作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，在和中，，，，故①正確，，定值，故③正確，定值，故②正確，的位置是變化的，之間的距離也是變化的，故④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．5．（2022·安徽合肥·一模）如圖，中，AD平分，E是BC中點(diǎn)，，，，則DE的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】延長BD交AC于點(diǎn)F，先證明，得到BD=DF，D是BF的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：延長BD交AC于點(diǎn)F，如圖AD平分，D是BF的中點(diǎn)，E是BC中點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6．（2022·福建·福州一模）如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點(diǎn)B，交CD于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH交BE于點(diǎn)G，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF為等腰三角形；④S四邊形ADGE=S四邊形GHCE．其中正確的有_________（寫出所有正確結(jié)論序號）．【答案】①②③【分析】證明△ACD≌△FBD（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AC＝BF．則①正確；證明△ABE≌△CBE（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CE，則可得出②正確；證出∠DGF＝∠DFG，由等腰三角形的判定可得出③正確．過G作GM⊥BD于點(diǎn)M，由直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)得出S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE，故④錯(cuò)誤．【詳解】解：①∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDF＝90°，∠DBF＋∠DFB＝180°?∠BDF＝90°，又∵BE⊥AC，∴∠BEA＝90°，∴∠DBF＋∠DAC＝180°?∠BEA＝90°，∴∠DAC＝∠DFB，又∵∠ABC＝45°，∴∠DCB＝180°?∠ABC?∠BDF＝45°，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，∴在△ACD和△FBD中，，∴△ACD≌△FBD（AAS），故①正確；②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，故②正確；③∵∠HBG＋∠BGH＝180°?∠GHB＝90°，∠DBF＋∠DFG＝180°?∠BDF＝90°，∠HBG＝∠DBF，∴∠BGH＝∠DFG，∵∠BGH＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG，∴△DGF為等腰三角形．故③正確；④如圖所示，過G作GM⊥BD于點(diǎn)M，∵H為等腰直角△BCD斜邊BC的中點(diǎn)，∴DH⊥BC，即∠GHB＝90°，又∵BE平分∠ABC，GM⊥BD，∴GM＝GH，又∵BD＞BH，∴S△BDG＞S△BGH，又∵△ABE≌△CBE，∴S△ABE＝S△CBE，∴S四邊形ADGE＝S△ABE?S△BDG，S四邊形GHCE＝S△CBE?S△BGH，∴S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE，故④錯(cuò)誤；綜上所述：正確的有①②③．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，證明△ABE≌△CBE是解題的關(guān)鍵．更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，，為上一點(diǎn)，連接，，，若，則線段的長為．【答案】【分析】如下圖，先構(gòu)造并證明，從而得出，再根據(jù)可推導(dǎo)出，最后在Rt△ACM中求解．【詳解】解析：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，，，．設(shè)，則，．．設(shè)，則，，，在中，由勾股定理得解得．．【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造并證明全等三角形、勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是利用進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化，得到邊．8．（2023·達(dá)州·?？家荒＃┤鐖D，已知四邊形中，平分，，求證：．【答案】見解析【分析】過分別作，交的延長線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則由角平分線的性質(zhì)得AE=AF，再證Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，得∠EDA=∠B，再由鄰補(bǔ)角性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】證明：過分別作，交的延長線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵CA平分，，，，在和中，，∴Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，∴∠EDA=∠B，∵∠EDA+∠ADC=180°∴∠B+∠ADC=180°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，過分別作，交的延長線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2022·安徽蕪湖·九年級期中）如圖，已知，是的平分線，且交的延長線于點(diǎn)E．求證：．【答案】見解析【分析】延長與的延長線相交于點(diǎn)F，可以證明，再證明，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，延長與的延長線相交于點(diǎn)F，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵是的平分線，∴．在和中，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，能夠想到延長CE、BA相交于點(diǎn)F，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)過點(diǎn)作，垂足為．若的周長為56，，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)84【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)證即可求證；（2）作，由即可求解；（1）證明：在中，∵，∴，∵分別平分，，∴，在和中，∵∴，∴，∴．（2）如圖，作，∵的周長為56，∴，∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·湖北武漢·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABE中，D、C分別在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于點(diǎn)H．(1)求證：；(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得證；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，再根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，據(jù)此建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，，∴，在與中，，∴，，，．（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）已證：，，設(shè)，則，，，在和中，，，，，解得，即的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．12．（2023·寧夏銀川·?？级＃﹩栴}提出（1）如圖①，已知，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)C，畫射線，連接，則圖①中與全等的是___________；

問題探究（2）如圖②，在中，平分，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，連接，，若，求證：；問題解決（3）如圖③，工人劉師傅有塊三角形鐵板，，他需要利用鐵板的邊角裁出一個(gè)四邊形，并要求，．劉師傅先在紙稿上畫出了三角形鐵板的草圖，再用尺規(guī)作出的平分線交于點(diǎn)D，作的平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，得到四邊形．請問，若按上述作法，裁得的四邊形是否符合要求？請證明你的結(jié)論．【答案】（1）；（2）見解析；（3）裁得的四邊形符合要求，理由見解析【分析】（1）利用證明即可求解；（2）過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)N，證明，推出，結(jié)合已知推出，再證明，據(jù)此即可求解；（3）作出如圖的輔助線，利用角平分線的定義結(jié)合四邊形的內(nèi)角和定理推出，證明，據(jù)此即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1），理由如下：由作法知，，，又，∴，故圖①中與全等的是，故答案為：；（2）如圖，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)N，

∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，，∴，∴，∴；（3）符合要求，證明：如圖，過點(diǎn)F分別作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)K，

∵分別是的平分線，∴，∵，∴在四邊形中，∵，，在中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴裁得的四邊形符合要求．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造全等三角形的解題的關(guān)鍵．13．（2022·江蘇·一模）如圖，已知，AE，BD是的角平分線，且交于點(diǎn)P．（1）求的度數(shù)．（2）求證：點(diǎn)在的平分線上．（3）求證：①；②．【答案】（1）；（2）見解析；（3）①見解析，②見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，作，，分別垂直于，，，即可得解；（3）①根據(jù)（2）所做圖像，證明全等即可得解；②在AB上取，證明，，得到，證明，得到，證明，得到，再結(jié)合圖像即可證明．【詳解】解：（1）已知，，又AE，BD是的角平分線，，；（2）作，，分別垂直于，，如圖，AE，BD是的角平分線，，在的平分線上；（3）①：如圖所示，在四邊形中，，（對頂角），，，又，，，；②：在AB上取，，，同理可證，，，又，，，，又，，又，．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)；掌握好相關(guān)的基本性質(zhì)定理，熟練地使用全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．14．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)C作射線CB′，使∠ACB′=∠ACB（點(diǎn)B′與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè)）點(diǎn)D是射線CB′上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD與的位置關(guān)系是______，若，則CD的長為______；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段BE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由見解析；②BE=CD+DE，理由見解析【分析】（1）先證明∠ADC=90°，再過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形內(nèi)角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，進(jìn)一步計(jì)算即可求解；②在BC上截取BG=CD，先后證明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE(SAS)，即可求解．（1）解：∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′；過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB=AC，∴CF=BF=BC=，∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF=AD，∴△ADC≌△AFC(HL)，∴CD=CF=，故答案為：AD⊥CB′；；（2）解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：設(shè)∠ACB′=∠ACB=α=∠B，∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°-∠DAE=α，∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE；②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD，∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE，在△GAE和△DAE中，，∴△GAE≌△DAE(SAS)，∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2022·重慶·二模）已知：如圖1，四邊形ABCD中，，連接AC、BD，交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)B作，交DC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，求線段GF的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)A作AP⊥BD于點(diǎn)P，AF⊥BC，交CB的延長線于點(diǎn)F，可證四邊形APBF是正方形，可得AP＝AF，根據(jù)“HL”可證，可得∠DAP＝∠FAC，即可得∠DAC＝90°；（2）過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BD于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CP⊥BF于點(diǎn)P，在BD上截取DH＝BC，連接AH，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得FN＝FM，根據(jù)S△DBF＝2S△CBF，可得BD＝2BC，即BH＝DH＝BC，通過全等三角形的判定和性質(zhì)可得AG＝GC；（3）由全等三角形的性質(zhì)可得BG＝PG＝，根據(jù)勾股定理可求GC，DC，PF的長，即可求GF的長．(1)解：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥BD于點(diǎn)P，AF⊥BC，交CB的延長線于點(diǎn)F，∵AP⊥BD，AF⊥BC，BD⊥BC∴四邊形APBF是矩形∵∠ABC＝135°，∠DBC＝90°，∴∠ABP＝45°，且∠APB＝90°，∴AP＝PB，∴四邊形APBF是正方形∴AP＝AF，且AD＝AC，∴，∴∠DAP＝∠FAC，∵∠FAC+∠PAC＝90°∴∠DAP+∠PAC＝90°∴∠DAC＝90°(2)如圖，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BD于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CP⊥BF于點(diǎn)P，在BD上截取DH＝BC，連接AH，∵∠ABC＝135°，∠ABF＝90°，∴∠CBF＝45°，且∠DBC＝90°，∴∠DBF＝∠CBF，且FN⊥BD，F(xiàn)M⊥BC，∴FN＝FM，∵S△DBF＝2S△CBF，∴×2，∴BD＝2BC，∴BH＝BD﹣DH＝BD﹣BC＝BC，∵∠AED＝∠BEC，∠DAC＝∠DBC＝90°，∴∠ADH＝∠ACB，且AD＝AC，DH＝BC，∴△ADH≌△ACB（SAS），∴∠AHD＝∠ABC＝135°，AH＝AB，∴∠AHB＝∠ABD＝45°，∴∠HAB＝90°，∵BC＝BH，∠HAB＝∠BPC，∠AHB＝∠FBC＝45°，∴△AHB≌△PBC（AAS），∴AB＝PC，∵AB＝PC，且∠ABP＝∠BPC，∠AGB＝∠CGP，∴△AGB≌△CGP（AAS），∴AG＝GC(3)解：如圖，∵AB＝3＝PC，∠PBC＝45°，PC⊥BF，∴BP＝PC=3，∵△AGB≌△CGP，∴BG＝PG＝，在中，CG＝＝，∴AG＝GC＝∴AC＝AD＝2AG＝3在中，CD＝＝，∵S△DBF＝2S△CBF，∴DF＝2FC∵DF+FC＝DC∴FC＝在中，PF＝＝1∴FG＝PG+PF＝1+＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形．16．（2022·陜西西安·一模）如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數(shù)；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）18.23cm【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．從而可證∠DBC＝∠ABE．即可利用“SAS”可證明△DBC≌△ABE，得出結(jié)論AE＝DC．（2）過點(diǎn)B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF．再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可求出∠FDA+∠DAF＝120°，進(jìn)而求出∠DFA＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”證明△BEH≌△BCN，得出結(jié)論BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．（3）延長BF至Q，使FQ＝AF，連接AQ．根據(jù)所作輔助線可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即證明△AFQ是等邊三角形，得出結(jié)論AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°．又可證明∠DAF＝∠BAQ．利用“SAS”可證明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．【詳解】（1）證明：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，∵在△DBC和△ABE中，，∴△DBC≌△ABE（SAS），∴AE＝DC；（2）解：如圖，過點(diǎn)B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．∵△DBC≌△ABE，∴∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF，∵△ABD是等邊三角形，∴∠BDA+∠BAD＝120°，∴∠FDA+∠DAF＝120°，∴∠DFA＝180°-120°＝60°，∴∠DFE＝180°-60°＝120°，在△BEH和△BCN中，，∴△BEH≌△BCN（AAS），∴BH＝BN，∴BF平分∠DFE，∴∠BFE＝∠DFE＝×120°＝60°；（3）解：如圖，延長BF至Q，使FQ＝AF，連接AQ．則∠AFQ＝∠BFE＝60°，∴△AFQ是等邊三角形，∴AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°，∵△ABD是等邊三角形，∴AD＝AB，∠DAB＝60°，∴∠DAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAQ，即∠DAF＝∠BAQ，在△DAF和△BAQ中，，∴△DAF≌△BAQ（SAS），∴DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，∴CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題．考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的判定和性質(zhì)．正確的作出輔助線也是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022·自貢市九年級月考）根據(jù)圖片回答下列問題．(1)如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．(2)如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求證：DB=DC．【答案】（1）=；（2）見解析；【分析】（1）利用HL判斷出△ADC≌△ADC，即可得出結(jié)論；（2）先構(gòu)造出△ACD≌△AED，得出DC=DE，∠AED=∠C，在判斷出DE=DB，即可得出結(jié)論；【詳解】解：證明：（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠C=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∵AD=AD，∴△ACD≌△ABD（AAS），∴BD=CD；（2）如圖②，在AB邊上取點(diǎn)E，使AC=AE，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵AD=AD，AC=AE，∴△ACD≌△AED（SAS），∴DC=DE，∠AED=∠C，∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，∴∠DEB=∠B，∴DE=DB，∴DB=DC；【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．18．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材96頁的部分內(nèi)容．已知：如圖13.5.4，是的平分線，P是上任意一點(diǎn)，，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．求證：．分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等便可證得【問題解決】請根據(jù)教材分析，結(jié)合圖①寫出證明的過程．【類比探究】（1）如圖②，是的平分線，P是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)分別在和上，連接和，若，求證：；（2）如圖③，的周長是12，分別平分和于點(diǎn)D，若，則的面積為．【答案】【問題解決】見解析；【類比探究】（1）見解析；（2）18【分析】[問題解決]利用角角邊定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；[類比探究]（1）過點(diǎn)P作于于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）過O作與于F，利用角平分線的性質(zhì)可得，然后再利用面積的計(jì)算方法可得答案．【詳解】[問題解決]證明：∵∴在和中，,∴(AAS)，∴；[類比探究]（1）證明：如圖②，過點(diǎn)P作于E，于F，∵是的平分線，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）過O作與E，于F，∵分別平分和，∴，∵，∴，∵的周長是，∴，∴的面積：，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．（2023·安徽·九年級期末）如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．【答案】（1）見詳解；（2）108°；（3）見詳解【分析】（1）如圖1，過D作DM⊥AB于M，由CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝AM，于是得到結(jié)論；（2）如圖2，設(shè)∠ACB＝α，則∠CAB＝∠CBA＝90°?α，在AB上截取AK＝AC，連結(jié)DK，根據(jù)角平分線的