等差數(shù)列的概念課件2-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.2.1等差數(shù)列的概念1、等差數(shù)列的概念3、等差中項(xiàng)

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，即an+1-an=d(n≥2)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.

這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.

由三個(gè)數(shù)a、A、b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=a+b.4、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d2、數(shù)列{kn+b}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為(k+b)，公差為k.復(fù)習(xí)回顧典型例題3、某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值為220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過(guò)程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值就會(huì)減少d(d為正常數(shù))萬(wàn)元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過(guò)10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定d的取值范圍.解：設(shè)使用n年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值為an萬(wàn)元，則可得數(shù)列{an}.由已知條件，得an=an-1-d(n≥2).由于d是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列是一個(gè)公差為-d的等差數(shù)列.因?yàn)橘?gòu)進(jìn)設(shè)備的價(jià)值為220萬(wàn)元，所以a1=220-d于是an=a1+(n-1)(-d)=220-nd根據(jù)題意，得

解這個(gè)不等式組，得19<d≤20.9所以，d的取值范圍為19<d≤20.9.典型例題4、已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d=8，在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng)？若是，它是{an}的第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由.解：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d′.由題意可知，b1=a1=2，b5=a2=10，于是b5-b1=a2-a1=8∵b5-b1=4d′，所以4d′=8，∴d′=2.∴bn=2+(n-1)×2=2n.所以，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn=2n.典型例題4、已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d=8，在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng)？若是，它是{an}的第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由.解：(2)∵b29=2×29=58，

令an=2+8(n?1)=58，

解得n=8.

所以，b29是數(shù)列{an}的第8項(xiàng).典型例題4、已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d=8，在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng)？若是，它是{an}的第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由.解：(2)[解法二]數(shù)列{an}的各項(xiàng)依次是數(shù)列{bn}的第1，5，9，13，…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列{cn}則cn=4n?3.令4n?3=29，解得n=8.∴b29是數(shù)列{an}的第8項(xiàng).1、等差數(shù)列的性質(zhì)探究新知

在例4第(2)問(wèn)的解法中，教科書(shū)的解法是“數(shù)列{an}的各項(xiàng)依次是數(shù)列的第1，5，9，13，…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列{cn}，則cn=4n?3.”.其實(shí)這種解法蘊(yùn)含的是等差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)(等距離項(xiàng)性質(zhì))：若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則數(shù)列{ak+(n-1)m}：ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行思考并推導(dǎo)!2、由等差數(shù)列衍生的新數(shù)列探究新知(等距離項(xiàng)性質(zhì))：若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則數(shù)列{ak+(n-1)m}：ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．1、若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則下列數(shù)列：(1){a2n}，{a2n-1}是公差為

的等差數(shù)列；(2){c＋an}(c為任一常數(shù))是公差為

的等差數(shù)列；

(3){c·an}(c為任一常數(shù))是公差為

的等差數(shù)列；

(4){an＋an＋k}(k為常數(shù)，k∈N*)是公差為

的等差數(shù)列．2、若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為

的等差數(shù)列2ddcd2dpd1＋qd2隨堂練習(xí)1、已知等差數(shù)列a1，a2，a3，?，an的公差為d，則ca1+k，ca2+k，ca3+k，…，can+k(c為常數(shù)且c≠0，k∈R)是(

)A．公差為d的等差數(shù)列 B．公差為cd+k的等差數(shù)列C．非等差數(shù)列 D．公差為cd的等差數(shù)列解：由題意，可得(can+1+k)﹣(can+k)＝can+1﹣can＝c(an+1﹣an)＝cd，∴ca1+k，ca2+k，ca3+k，…，can+k是公差為cd的等差數(shù)列，故選：D．典型例題5、已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，且p+q=s+t.

求證ap+aq=as+at

.證明：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則ap=a1+(p?1)d，aq=a1+(q?1)d，as=a1+(s?1)d，at=a1+(t?1)d.所以，ap+aq=2a1+(p+q?2)d，as+at=2a1+(s+t?2)d.因?yàn)閜+q=s+t，所以，ap+aq=as+at.下標(biāo)性質(zhì)1、等差數(shù)列的性質(zhì)探究新知下標(biāo)性質(zhì)：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，若p+q=s+t.

那么：ap+aq=as+at

.特別地，若p+q=2k，那么ap+aq=2ak.推廣：隨堂練習(xí)2、在等差數(shù)列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5＝15，那么a3＝

．解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝15，所以a3＝3．3、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2+a8+a14＝2，則a4+a12＝

．解：因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2+a8+a14＝3a8＝2，所以a8＝

，則a4+a12＝2a8＝隨堂練習(xí)4、在等差數(shù)列{an}中，若a1+a2+a3+a4+a5＝120，則2a5﹣a7＝

．解：根據(jù)題意，因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中，有a1+a5＝a2+a4＝2a3，則有a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝120，變形可得a3＝24，又a3+a7＝2a5，所以2a5﹣a7＝a3＝24．故答案為：24．5、等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10＝_______隨堂練習(xí)6、已知{an}是等差數(shù)列，且滿(mǎn)足am＝n，an＝m(m≠n)，則am+n等于

．解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知，得∴am+n＝a1+(m+n﹣1)d＝(m+n﹣1)﹣(m+n﹣1)＝0．故答案為：0．1、等差數(shù)列的性質(zhì)探究新知等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d，且n，m∈N*，則an=am+(n-m)d

.解：an=a1+(n-1)d

①am=a1+(m-1)d

②令②-①，可得an-am=(n-m)d移項(xiàng)可得：an=am+(n-m)d推廣：由an=am+(n-m)d，得到公差(n，m∈N*，n≠m).隨堂練習(xí)7、已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，且a15＝8，a60＝20，求a75課后練習(xí)1、如果數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2，a2=1，且數(shù)列

是等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的第2021項(xiàng)等于______.解：∵數(shù)列

是等差數(shù)列，∴其公差2、數(shù)列{an}中，a3=2，a7=1，若數(shù)列

是等差數(shù)列，則a8=______.解：設(shè)數(shù)列

的公差為d.因?yàn)閍3＝2，a7＝1，課后練習(xí)3、數(shù)列{an}中，a1=2，

，則an=______.解：依題意可知數(shù)列

是等差數(shù)列，其公差d=1.3n-1課后練習(xí)∴an=3n-14、若m≠n，數(shù)列m，a1，a2，n和數(shù)列m，b1，b2，b3，n都是等差數(shù)列，那么