螺桿圓弧-圓弧包絡(luò)線的研究

螺桿圓弧-圓弧包絡(luò)線的研究

1螺桿轉(zhuǎn)子齒形的基本組成曲線圓弧是最常見的二次曲線，其形狀簡(jiǎn)單光滑。這是最初采用螺釘機(jī)械螺旋齒形的基本組成曲線。1878年,德國(guó)的HeinrichKrigar申請(qǐng)了2個(gè)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)專利,其結(jié)構(gòu)由一對(duì)2-2齒的等節(jié)圓的陰陽轉(zhuǎn)子組成。區(qū)別于羅茨柱狀轉(zhuǎn)子,陰陽轉(zhuǎn)子均呈180°扭角。雖然沒有內(nèi)壓縮過程,但其轉(zhuǎn)子首次呈螺旋狀,是螺桿壓縮機(jī)的起源。半個(gè)世紀(jì)后,瑞典的AlfLysholm在此基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)出有內(nèi)壓縮過程的3-3齒螺桿增壓器,并試驗(yàn)了各種齒形組合,同時(shí)初步解決了加工精度問題,在1935年提出了非對(duì)稱4-5齒轉(zhuǎn)子副。此后轉(zhuǎn)子齒形經(jīng)過微調(diào),螺桿壓縮機(jī)由此誕生。上述Krigar和Lysholm設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)子均以圓弧為齒形的基本組成曲線,與此后出現(xiàn)的轉(zhuǎn)子齒形相似,如圖1所示。圖1展示了4~6齒原始對(duì)稱圓弧齒形。陰轉(zhuǎn)子AB段與陽轉(zhuǎn)子DE段均為銷齒圓弧,圓心在節(jié)圓交點(diǎn)P處。陰轉(zhuǎn)子BC段與陽轉(zhuǎn)子FG段則為對(duì)滾圓弧,圓心在各自的轉(zhuǎn)子軸心處。陰轉(zhuǎn)子齒頂?shù)募恻c(diǎn)B與對(duì)應(yīng)生成的陽轉(zhuǎn)子擺線段EF嚙合。早期設(shè)計(jì)人員由于水平所限,將擺線段EF認(rèn)為是銷齒圓弧段DE的延伸(如圖1中虛線所示),故整個(gè)轉(zhuǎn)子副被認(rèn)為均由基本圓弧組成。轉(zhuǎn)子外徑取100mm時(shí),上述錯(cuò)誤設(shè)計(jì)帶來的齒面誤差可達(dá)0.2mm,但由于早期機(jī)械加工能力的低下,轉(zhuǎn)子加工后需要人工修齒,加工誤差也掩蓋了這個(gè)現(xiàn)象。此后,點(diǎn)-擺線嚙合副被正確認(rèn)識(shí),并廣泛應(yīng)用于齒形設(shè)計(jì)中,螺桿轉(zhuǎn)子齒形不再是純圓弧型線。圓弧與點(diǎn)-擺線嚙合副相互配合,是早期轉(zhuǎn)子副齒形的常見構(gòu)成形式。其中,圓弧作為最簡(jiǎn)單的光滑曲線段,被廣泛應(yīng)用于轉(zhuǎn)子副齒頂、齒根處的鈍邊處理,如圖1中的B點(diǎn),以避免轉(zhuǎn)子齒形過于尖銳,從而改善轉(zhuǎn)子磨損,提高轉(zhuǎn)子副效率,并利于轉(zhuǎn)子加工。隨著計(jì)算能力的大幅提高,圓弧-圓弧包絡(luò)線隨后被大量應(yīng)用于轉(zhuǎn)子型線,轉(zhuǎn)子齒形完全光滑,大大提高了壓縮機(jī)的效率、可靠性及轉(zhuǎn)子的加工性能。此時(shí)又出現(xiàn)了許多高效的純圓弧型線,并被沿用至今。隨后,其他二次曲線,如橢圓、拋物線、雙曲線、漸開線等也陸續(xù)被引入,與作為主體的圓弧段相配合,產(chǎn)生了大量先進(jìn)的現(xiàn)代齒形。圓弧-圓弧包絡(luò)線嚙合副貫穿了轉(zhuǎn)子齒形的發(fā)展過程,是轉(zhuǎn)子齒形最主要的基本組成曲線。本文闡述了圓弧-圓弧包絡(luò)線的展成原理和幾何特征,推導(dǎo)出其通用公式,并結(jié)合經(jīng)典代表型線,揭示了圓弧-圓弧包絡(luò)線嚙合副的組合方法,為轉(zhuǎn)子型線的進(jìn)一步改進(jìn)提供參考。2采用圓弧-圓交叉軌道法的匹配原理和方程求解2.1曲線族包絡(luò)線圓弧-圓弧包絡(luò)線嚙合副的嚙合原理如圖2所示。細(xì)實(shí)線表示的圓Σ1作為已知曲線,繞其共軛型線的軸心O2做行星運(yùn)動(dòng),得到一系列曲線族,其包絡(luò)線如圖2中的粗實(shí)線Σ2所示。包絡(luò)過程中,圓弧Σ1繞自身軸心O1作速度為ω1的逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),同時(shí)繞O2作速度為ω2的逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),ω1與ω2的比值與曲線Σ1、Σ2所在的瞬心線即節(jié)圓的半徑的比值成反比。利用這個(gè)原理,早期的歐洲齒形設(shè)計(jì)者用作圖法,實(shí)現(xiàn)了圓弧包絡(luò)線的圖解法求解,包括Reuleaux法、Pon-celet法等,利用一些手段,也能達(dá)到一定的精度。2.2包絡(luò)線s1b2圖2表示了圓弧包絡(luò)線的生成過程,由于圓弧的幾何特征,可以通過平面幾何的知識(shí)直接求解出圓弧包絡(luò)線的方程。對(duì)照?qǐng)D2,圖3中M點(diǎn)為圓弧與圓弧包絡(luò)線的瞬時(shí)接觸點(diǎn),其軌跡就形成了圓弧包絡(luò)線A2B2,即圖2中的Σ2。圖中虛線表示曲線所在節(jié)圓,半徑分別為rj1和rj2。圓弧A1B1繞O2逆時(shí)針轉(zhuǎn)過角度α,同時(shí)繞O1逆時(shí)針轉(zhuǎn)過角度β,兩者滿足由嚙合原理可得,瞬時(shí)接觸點(diǎn)的公法線必然通過瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心,即節(jié)點(diǎn)P,而圓弧A1B1的法線為其徑線,則P落在直線MO3上。過O2作MP的平行線O2D交O1O3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,并標(biāo)記γ如圖。其余細(xì)實(shí)線均為正交直線,即與橫軸、縱軸平行。標(biāo)記O1O2、O1O3、O3M的長(zhǎng)度分別為A、b、r。由各組相似三角形及公式(1),可得則有嚙合點(diǎn)M(x,y)在坐標(biāo)系O1xy中的坐標(biāo)為2.3轉(zhuǎn)子節(jié)圓半徑的測(cè)定隨著嚙合理論的提出和發(fā)展,基本曲線的包絡(luò)線通常由包絡(luò)嚙合原理確定求得。這個(gè)過程包括2個(gè)步驟,即求取包絡(luò)條件和實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)變換。文獻(xiàn)采用齒廓法線法求解嚙合條件,矩陣法表示坐標(biāo)變化,較傳統(tǒng)的微分幾何解析包絡(luò)法求解嚙合條件和動(dòng)靜坐標(biāo)系間解析表示坐標(biāo)變化,過程更簡(jiǎn)潔方便,更適合現(xiàn)代計(jì)算軟件模塊化運(yùn)算。本文將采用文獻(xiàn)的方法求解嚙合方程。螺桿轉(zhuǎn)子中采用的基本曲線段必須結(jié)合螺桿轉(zhuǎn)子的齒數(shù)比,置于各自的坐標(biāo)系中進(jìn)行嚙合。圖4是螺桿轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)計(jì)算中所采用的坐標(biāo)系,其中Ofxfyf表示固接于機(jī)殼的機(jī)架坐標(biāo)系,O1x1y1表示固接于陽轉(zhuǎn)子的坐標(biāo)系,O2x2y2表示固接于陰轉(zhuǎn)子的坐標(biāo)系;rj1、rj2分別表示陽、陰轉(zhuǎn)子的節(jié)圓半徑,A為中心距。陽、陰轉(zhuǎn)子的齒形分別在坐標(biāo)系O1x1y1和O2x2y2中確定。圖2中從O1x1y1到O2x2y2的坐標(biāo)變換基于矩陣方程式中Z1、Z2分別為陽、陰轉(zhuǎn)子的齒數(shù)。同理,從O2x2y2到O1x1y1的坐標(biāo)變換基于矩陣方程根據(jù)齒廓法線法,可知在已知曲線所在的坐標(biāo)系內(nèi),接觸點(diǎn)的公法線必然通過其瞬時(shí)瞬心點(diǎn),即瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心,表示為方程(6)中的各表達(dá)式均落在坐標(biāo)系O2x2y2中,接觸點(diǎn)(x2,y2)與對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心(X2,Y2)連線的矢量方向與接觸點(diǎn)的法向一致。Nx2,Ny2為接觸點(diǎn)法向量的水平和垂直分量,由下式確定式中r2(t)為所求齒廓型線的矢量方程,前面的微分項(xiàng)為該齒廓在接觸點(diǎn)處的切向量,k2為轉(zhuǎn)子軸線的單位向量,兩者叉乘即可求得接觸點(diǎn)的法向量。首先將圓弧段置于圖5(b)所示位置,則在坐標(biāo)系O2x2y2中,該曲線表示如下則其切向量、法向量分別為由圖4可得,陰轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系中,瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)表示如下將方程(8)、(10)、(11)代入方程(6),可得并進(jìn)一步化簡(jiǎn)得方程(12)是嚙合條件的數(shù)學(xué)表達(dá),即建立了被包絡(luò)曲線的曲線參數(shù)t和回轉(zhuǎn)角準(zhǔn)2(t)的一一映射關(guān)系。將方程(8)代入方程(5),就得到了在坐標(biāo)系O1x1y1中的圓弧包絡(luò)線的方程表達(dá)式更特殊的兩種情況是:(a)當(dāng)b=rj2,即圓心落在節(jié)圓上,產(chǎn)生了銷齒圓弧,方程(12)、(13)分別退化為(b)當(dāng)b=0,即圓心落在節(jié)圓圓心上,產(chǎn)生了對(duì)滾圓弧,方程(12)、(13)分別退化為同理,若圓弧位于陽轉(zhuǎn)子上,如圖5(a)所示,則圓弧表示如下:與其共軛的圓弧包絡(luò)線表示如下當(dāng)t取負(fù)值時(shí),圖5(a)中圓弧則位于第二象限,與圖3一致,公式(19)也與公式(3)一致。其中,φ1=β,t=α+β+γ。兩者可相互驗(yàn)證,但由于其他二次基本曲線沒有圓弧特征,所以不適用幾何法求解包絡(luò)線;且由于計(jì)算模塊的通用性,采用本節(jié)介紹的基于齒廓法線法求解嚙合條件和矩陣法進(jìn)行坐標(biāo)變化的方法最為簡(jiǎn)捷方便。2.4轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系的包絡(luò)線嚙合線是嚙合副在嚙合運(yùn)動(dòng)中,其接觸點(diǎn)的軌跡,也是兩個(gè)共軛的螺桿轉(zhuǎn)子三維空間上的接觸點(diǎn)在端面的投影。嚙合線是研究嚙合副的一個(gè)重要指標(biāo),可以標(biāo)識(shí)接觸線長(zhǎng)度、泄漏三角形面積等影響轉(zhuǎn)子副效率的重要參數(shù)。圖6中,∑1是固接于陽轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系的圓弧,∑2是與∑1共軛的固接于陰轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系的圓弧包絡(luò)線,兩者在初始位置嚙合于點(diǎn)M。包絡(luò)過程中,∑1繞O1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)φ1到∑1′,相應(yīng)的∑2繞O2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)φ2到∑2′,嚙合于點(diǎn)M′。φ1、φ2滿足方程(4)。嚙合點(diǎn)的軌跡即嚙合副的嚙合線,在圖6中標(biāo)記為粗實(shí)線。嚙合線的求解過程類似于包絡(luò)線的求解過程。只需把轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系中的圓弧方程轉(zhuǎn)化到機(jī)架坐標(biāo)系中即可,嚙合方程則相同。若圓弧在坐標(biāo)系O1x1y1中(圖5(a)),則需從坐標(biāo)系O1x1y1轉(zhuǎn)換到Ofxfyf,采用如下變換可推得若基本曲線在坐標(biāo)系O2x2y2中(圖5(b)),則需從坐標(biāo)系O2x2y2轉(zhuǎn)換到Ofxfyf,嚙合線方程如下當(dāng)圓弧為銷齒圓弧時(shí),其包絡(luò)線也是銷齒圓弧,同時(shí),嚙合線也是其銷齒圓弧本身;當(dāng)圓弧為對(duì)滾圓弧時(shí),其包絡(luò)線也是對(duì)滾圓弧,而嚙合線是轉(zhuǎn)子節(jié)圓交點(diǎn),即節(jié)點(diǎn)。3采用圓弧-圓弧包絡(luò)線匹配副材料3.1接觸相切的圓弧型線轉(zhuǎn)子型線是由若干基本曲線段組合而成的,基本曲線段都是自身光滑連續(xù)的,則須考察相鄰曲線段的過渡點(diǎn)。型線上的尖點(diǎn),會(huì)造成磨損加速,影響嚙合、加速泄漏、降低效率;且不利于加工,加速刀具刃形磨損。現(xiàn)代型線基本都保證齒形的光滑連續(xù),即要保證相鄰組成曲線段在過渡點(diǎn)處光滑連接。圓弧間的組合可分為以下2種方式:(1)圓弧與另一圓弧相接;(2)圓弧與另一圓弧包絡(luò)線相接,如圖7所示。圖7(a)表示了圓弧間的光滑相接,已知圓弧半徑為r1,用粗實(shí)線表示。半徑為r2的圓弧與其內(nèi)切相接,半徑為r3的圓弧與其外切相接。由圓弧的幾何特征可知,兩個(gè)圓弧若相切,則其圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線,即圖中O1、O2、M或O1、O3、M共線。利用這一性質(zhì),可以通過已知的相切過渡點(diǎn)M直接定位待求的相鄰相切圓弧。這種組合要求的計(jì)算量小,廣泛的應(yīng)用于早期的型線設(shè)計(jì)中。特別是陰轉(zhuǎn)子齒頂?shù)膶?duì)滾圓弧與齒側(cè)的銷齒圓弧組合、陽轉(zhuǎn)子齒底的對(duì)滾圓弧與齒側(cè)的銷齒圓弧組合、陽轉(zhuǎn)子齒頂?shù)匿N齒圓弧與相鄰的圓弧組合等。除了后期的二次曲線組合型線,絕大多數(shù)轉(zhuǎn)子副的型線都至少有一對(duì)這樣的圓弧組合。圖7(b)表示了相對(duì)較晚出現(xiàn)的圓弧-圓弧包絡(luò)線組合,其表現(xiàn)為陰、陽轉(zhuǎn)子齒形都由一個(gè)圓弧和一個(gè)圓弧包絡(luò)線相切。兩組基本嚙合副可直接組成轉(zhuǎn)子副齒形中密封側(cè)的型線,該經(jīng)典組合廣泛應(yīng)用于近現(xiàn)代型線中,如復(fù)盛Fusheng型線、漢鐘精機(jī)Hyper型線、日立Hitachi型線等,這一時(shí)期的主流轉(zhuǎn)子型線都是基本組成曲線段數(shù)量較少,且密封側(cè)型線都一致采用圖7(b)的形式。在定義了α2或β2(兩者之比與所在轉(zhuǎn)子的齒數(shù)比成反比)中的一個(gè)角度參數(shù),和R2或R3中的一個(gè)半徑參數(shù),即可求解出所有組成曲線段的型線方程。其中的約束條件為圓弧B1C1與圓弧包絡(luò)線A1B1內(nèi)切于點(diǎn)B1,或者圓弧A2B2與圓弧包絡(luò)線B2C2外切于點(diǎn)B2。具體解法可參考文獻(xiàn),限于篇幅,不再展開。3.2高效型線srm-d型線瑞典的SRM公司是世界上最早把螺桿壓縮機(jī)產(chǎn)品化的公司,其轉(zhuǎn)子型線技術(shù)最全面、最先進(jìn),擁有最多的型線專利,其中多種經(jīng)典型線被各大轉(zhuǎn)子生產(chǎn)商廣泛制造,并沿用至今。本文選用了其中兩種應(yīng)用最廣泛的干、濕式成功型線,以展示圓弧-圓弧包絡(luò)線嚙合副的實(shí)際應(yīng)用。圖8展示了SRM對(duì)稱圓弧齒形,至今仍被廣泛應(yīng)用,特別是干式壓縮工藝氣體領(lǐng)域。表1解釋了各基本組成曲線段的特征。SRM對(duì)稱圓弧齒形是從早期原始對(duì)稱圓弧齒形發(fā)展而來,如圖1所示,陰轉(zhuǎn)子齒側(cè)頂部過于尖銳,且不利于制造、儲(chǔ)運(yùn)和運(yùn)行,所以采用銷齒圓弧作為鈍邊曲線,修棱后就形成了圖8所示的轉(zhuǎn)子齒形。值得指出的是,在早期介紹螺桿型線的資料中,通常把其中的小段擺線B2C2忽略,而認(rèn)為陰轉(zhuǎn)子齒側(cè)頂部的銷齒圓弧A2B2直接延伸到陰轉(zhuǎn)子節(jié)圓上與銷齒圓弧C2D2相接,這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。陰轉(zhuǎn)子銷齒圓弧A2B2在陰轉(zhuǎn)子節(jié)圓外,而陽轉(zhuǎn)子銷齒圓弧A1B1在陽轉(zhuǎn)子節(jié)圓內(nèi),按上述錯(cuò)誤結(jié)論,由節(jié)圓的曲率走向,可以直接判斷出銷齒圓弧A2B2、A1B1的圓心角分別為鈍角和銳角,這與銷齒圓弧對(duì)完全重合相矛盾。事實(shí)上,外擺線B2C2與圓心角為銳角的銷齒圓弧A2B2組成了上述的圓心角為鈍角的曲線段。這個(gè)錯(cuò)誤廣泛存在于早期的陰轉(zhuǎn)子齒側(cè)頂部的銷齒圓弧靠近陰轉(zhuǎn)子節(jié)圓處,包括不對(duì)稱齒形中,甚至存在于SRM-A型線的構(gòu)造中。SRM對(duì)稱圓弧型線是早期直接利用圓弧的幾何性質(zhì),而避開嚙合理論設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子齒形的典型例子。這種設(shè)計(jì)方法計(jì)算量小,設(shè)計(jì)方便,但是設(shè)計(jì)的型線不光滑,效率低,加工性能差,可靠性差。隨著計(jì)算水平的提高,利用上述的嚙合理論,可以更任意的組合圓弧和圓弧包絡(luò)線,設(shè)計(jì)兼顧轉(zhuǎn)子效率和加工性能的光滑型線。圖9是SRM公司發(fā)明的高效型線SRM-D型線,表2解釋了各基本組成曲線段的特征。如圖9所示,除了銷齒圓弧E1F1與圓弧F1G1、圓弧D1E1,對(duì)滾圓弧H2I2與圓弧H2G2、圓弧A2B2,其余基本曲線段間均為圓弧和圓弧包絡(luò)線的光滑過渡。這種銜接,保證了轉(zhuǎn)子型線的光滑性和傳遞扭矩的接觸點(diǎn)處的大曲率半徑,兼顧了泄漏三角形的大小和接觸線的長(zhǎng)度,并改善了加工刀具的壽命和轉(zhuǎn)子的加工性能。在傳力側(cè)再增加若干銷齒圓弧,可進(jìn)一步減少泄漏線長(zhǎng)度,根據(jù)這種設(shè)計(jì)方法,SRM公司陸續(xù)又推出了SRM-G型等先進(jìn)型線。4圓弧-圓弧包絡(luò)線的組合及改進(jìn)過