人教A版高中數(shù)學(必修第二冊)同步培優(yōu)講義專題10.3 事件的相互獨立性（重難點題型精講）（教師版）

專題10.3事件的相互獨立性（重難點題型精講）1．事件的相互獨立性(1)定義

對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.(2)性質(zhì)

若事件A與B相互獨立，則SKIPIF1<0與B，A與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0也相互獨立.

(3)應用

因為“A與B相互獨立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要條件，所以如果已知兩個事件是相互獨立的，則由它們各自發(fā)生的概率可以迅速得到它們同時發(fā)生的概率.在實際問題中，我們常常依據(jù)實際背景去判斷事件之間是否存在相互影響，若認為事件之間沒有影響，則認為它們相互獨立.

(4)推廣

兩個事件的相互獨立性可以推廣到n(n>2，n∈SKIPIF1<0)個事件的相互獨立性，即若事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互獨立，則這n個事件同時發(fā)生的概率P(SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0)=P(SKIPIF1<0)P(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0P(SKIPIF1<0).2．互斥事件與相互獨立事件的辨析(1)互斥事件與相互獨立事件都描述的是兩個事件間的關(guān)系，但互斥事件強調(diào)不可能同時發(fā)生，相互獨立事件則強調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.用表格表示如下：相互獨立事件互斥事件判斷方法一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.兩個事件不可能同時發(fā)生，即AB=SKIPIF1<0.概率公式若事件A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B).若事件A與B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.(2)已知事件A，B發(fā)生的概率分別為P(A)，P(B)，我們有如下結(jié)論：事件表示概率（A，B互斥）概率（A，B相互獨立）A，B中至少有一個發(fā)生P(A∪B)P(A)+P(B)1SKIPIF1<0P(SKIPIF1<0)P(SKIPIF1<0)或P(A)+P(B)SKIPIF1<0P(AB)A，B都發(fā)生P(AB)0P(A)P(B)A，B都不發(fā)生P(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)1SKIPIF1<0[P(A)+P(B)]P(SKIPIF1<0)P(SKIPIF1<0)A，B恰有一個發(fā)生P(ASKIPIF1<0∪SKIPIF1<0B)P(A)+P(B)P(A)P(SKIPIF1<0)+P(SKIPIF1<0)P(B)A，B中至多有一個發(fā)生P(SKIPIF1<0SKIPIF1<0∪ASKIPIF1<0∪SKIPIF1<0B)11SKIPIF1<0P(A)P(B)【題型1獨立性的判斷】【方法點撥】(1)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以準確地判斷兩個事件是否相互獨立.(2)定性法：直觀地判斷一個事件發(fā)生與否對另一個事件的發(fā)生的概率是否有影響，若沒有影響就是相互獨立事件.【例1】（2022·全國·高三專題練習）下列事件中A，B是相互獨立事件的是（

）A．一枚硬幣擲兩次，A=“第一次為正面”，B=“第二次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”C．擲一枚骰子，A=“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B=“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D．A=“人能活到20歲”，B=“人能活到50歲”【解題思路】利用相互獨立事件的概念，對四個選項逐一分析排除，從而得出正確選項.【解答過程】解：對于A中，把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結(jié)果不受先后影響，故A是獨立事件；對于B：兩個事件是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨立；對于C，事件A，B應為互斥事件，不相互獨立；對于D是條件概率，事件B受事件A的影響．故選：A．【變式1-1】（2023·高一課時練習）袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，則A1與AA．相互獨立事件 B．不相互獨立事件C．互斥事件 D．對立事件【解題思路】根據(jù)相互獨立事件的含義即可判斷.【解答過程】由題意可得A2即A2故每次是否摸到白球互不影響,故事件A1與A由于A1與A故選：A.【變式1-2】（2022秋·廣東梅州·高二階段練習）拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下股子朝上面的點數(shù).用x表示紅色股子的點數(shù)，用y表示綠色骰子的點數(shù)，用x,y表示一次試驗的結(jié)果.定義事件：A=“x+y為奇數(shù)”，事件B=“x=y”，事件C=“x>4”，則下列結(jié)論不正確的是（

A．PA=3PB B．AC．B與C獨立 D．A與B獨立【解題思路】A選項，利用古典概型求概率公式得到PA,PB，從而得到PA=3PB；由PA∩B=0得到B正確；求出【解答過程】由題意得：當x,y一奇一偶時，x+y為奇數(shù)，若x為奇數(shù)，y為偶數(shù)，有3×3=9種情況，同理若x為偶數(shù)，y為奇數(shù)，有3×3=9種情況，則共有2×3×3=18種情況則PAPB=6因為當x,y一奇一偶時，x+y為奇數(shù)，故x≠y，同理當x=y時，x+y一定是偶數(shù)，故PA∩B=0，“x>4”包含x=5或6，而y可能取值為6種，故共有2×6=12種情況，故P而事件B∩C包含兩種情況，即5,5,6,6，故由PBC=PB?PC因為PAB=0≠PAPB故選：D.【變式1-3】（2023秋·浙江紹興·高三期末）數(shù)字1，2，3，4，5，6組成沒有重復數(shù)字的的六位數(shù)，A表示事件“1和2相鄰”，B表示事件“偶數(shù)不相鄰”，C表示事件“任何連續(xù)兩個位置奇偶性都不相同”，D表示事件“奇數(shù)按從小到大的順序排列”．則（

）A．事件A與事件B相互獨立 B．事件A與事件C相互獨立C．事件A與事件D相互獨立 D．事件B與事件C相互獨立【解題思路】根據(jù)排列組合分別計算概率，進而根據(jù)相互獨立事件滿足的概率公式即可求解.【解答過程】P(A)=A2對于A，P(AB)=C對于B，P(AC)=C對于C，P(AD)=C對于D，PBC故選：C.【題型2相互獨立事件的概率】【方法點撥】利用相互獨立事件的概率乘法公式，進行求解即可.【例2】（2023秋·山東濟寧·高二期末）假設(shè)PA=0.3,PB=0.4，且A與B相互獨立，則A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.88【解題思路】根據(jù)獨立事件的并事件的概率公式計算.【解答過程】由A與B相互獨立，則PA∪B故選：B．【變式2-1】（2022·高一課時練習）已知事件A，B相互獨立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，給出下列四個式子：①P(AB)＝0.12；②P(AB)＝0.18；③P(AB)＝0.28；④P(AB)＝0.42.其中正確的有()A．4個 B．2個C．3個 D．1個【解題思路】根據(jù)獨立事件的概率公式，進行求解即可.【解答過程】根據(jù)事件A，B相互獨立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，知在①中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正確；在②中，P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正確；在③中，P(A)＝P(A)P()＝0.4×0.7＝0.28，故③正確；在④中P()＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42，故④正確，故選A.【變式2-2】（2022春·安徽安慶·高一期末）設(shè)事件A，B相互獨立，PA=0.6，PB=0.3，則A．0.36 B．0.504 C．0.54 D．0.9【解題思路】根據(jù)獨立事件的概率計算公式，結(jié)合題意，帶值求解即可.【解答過程】根據(jù)題意，AB與AB互斥，A，B相互獨立，B，A故PAB=0.6×0.7+0.4×0.3=0.54.故選：C.【變式2-3】（2022春·山西太原·高一期末）設(shè)A，B，C是一個隨機試驗中的三個事件，且PA>0，PB①若A與B互斥，則PAB②若A與B獨立，則PA∪B③若A，B，C兩兩獨立，則PABC④若PABC=PAPBPC則其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)互斥事件、對立事件以及相互獨立事件的性質(zhì)逐個判定即可【解答過程】對A，若A與B互斥，則根據(jù)互斥事件不能同時發(fā)生可得PAB=0，又PA對B，若A與B獨立，則PA∪B對C，若A，B，C兩兩獨立，且PABC=PAPBPC對D，若PABC=PAPBPC，則事件AB與C故選：B.【題型3事件相互獨立的應用】【方法點撥】實際問題中，計算相互獨立事件同時發(fā)生的概率，先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件.對于計算問題：將題中所求事件轉(zhuǎn)化為若干個獨立事件的交事件，利用獨立事件的性質(zhì)和推廣求解.【例3】（2022·高一單元測試）甲、乙、丙三人能獨立解決某一問題的概率分別是15，14，13A．160 B．320 C．13【解題思路】設(shè)此三人至少有一個人把此問題解決為事件A，計算出三人都沒有把此問題解決的概率，再由間接法可得答案.【解答過程】設(shè)此三人至少有一個人把此問題解決為事件A，三人都沒有把此問題解決的概率是1?1則此三人至少有一個人把此問題解決的概率是PA故選：D.【變式3-1】（2022·高二單元測試）一個袋子中有4個紅球，n個綠球，采用不放回的方式從中依次隨機地取出2個球，若取出第二個球是紅球的概率為0.4，那么n的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【解題思路】結(jié)合已知條件，分類討論第一個球的顏色，按照獨立事件的乘法公式即可求解.【解答過程】若取出的第一個球為紅色，則第二個球也是紅色的概率P1若取出的第一個球為綠色，則第二個球是紅色的概率P2所以取出第二個球是紅色的概率P=P解得，n=6.故選：C.【變式3-2】（2022春·黑龍江綏化·高二期中）某學校餐廳就餐刷卡器是由三個電子元件按如圖所示的方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則刷卡器能正常工作.如果各個元件能否正常工作相互獨立，元件1、元件2正常工作的概率都是35，元件3正常工作的概率是2527，那么該刷卡器能正常工作的概率為（A．23 B．79 C．8【解題思路】利用對立事件的概率求出元器件1和2至少一個正常工作的概率，再由相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式求刷卡器正常工作的概率即可.【解答過程】該刷卡器能正常工作需要元器件1和2至少有一個正常工作，同時元器件3正常工作，所以刷卡器能正常工作的概率P=(1?2故選：B.【變式3-3】（2022·高一單元測試）高一年級某同學參加了學?！皵?shù)學社”“物理社”“話劇社”三個社團的選拔，該同學能否成功進入這三個社團是相互獨立的．假設(shè)該同學能夠進入“數(shù)學社”“物理社”“話劇社”三個社團的概率分別為m，n，15，該同學進入兩個社團的概率為320，且三個社團都進不了的概率為25，則m+n=A．712 B．112 C．8【解題思路】利用相互獨立事件的概率乘法公式，列出關(guān)于m，n的方程組，求解即可．【解答過程】解：由題意可知，該同學可以進入兩個社團的概率為320則mn?(1?15又三個社團都進不了的概率為310所以(1?m)(1?n)(1?15由①②可得，m+n=7故選：A．【題型4互斥事件、事件的相互獨立性的綜合應用】【方法點撥】閱讀題目，分析事件之間的關(guān)系，一般將問題劃分為若干個彼此互斥的事件，然后運用互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式求解.【例4】（2022秋·陜西榆林·高二階段練習）甲乙兩運動員進行乒乓球比賽，采用7局4勝制．在一局比賽中，先得11分的運動員為勝方，但打到10：10平后，先多得2分者為勝方．在10：10平后，雙方實行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個球．若在某局比賽中，甲發(fā)球時甲得分的概率為35，乙發(fā)球時甲得分的概率為13，各球的結(jié)果相互獨立，在雙方10：10平后，甲先發(fā)球，則甲以13：11贏下此局的概率為（A．425 B．225 C．8【解題思路】由題意，分為乙分別在第一二場勝兩種情況，結(jié)合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.【解答過程】由題意，此局分兩種情況：（1）后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為：35（2）后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為：25所以，所求事件概率為225故選：C.【變式4-1】（2022·高一單元測試）甲、乙兩人比賽，每局甲獲勝的概率為13，各局的勝負之間是獨立的，某天兩人要進行一場三局兩勝的比賽，先贏得兩局者為勝，無平局．若第一局比賽甲獲勝，則甲獲得最終勝利的概率為（

A．13 B．59 C．2【解題思路】分兩種情況（甲第二局獲勝或甲第二局負，第三局獲勝）討論得解.【解答過程】解：根據(jù)題意知只需考慮剩下兩局的情況，（1）甲要獲勝，則甲第二局獲勝，此時甲獲得最終勝利的概率為13（2）甲要獲勝，則甲第二局負，第三局獲勝，所以甲獲得最終勝利的概率為23故甲獲得最終勝利的概率為13故選：B.【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習）2021年神舟十二號、十三號載人飛船發(fā)射任務都取得圓滿成功，這意味著我國的科學技術(shù)和航天事業(yè)取得重大進步．現(xiàn)有航天員甲、乙、丙三個人，進入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項試驗任務，工作時間不超過10分鐘，如果10分鐘內(nèi)完成任務則試驗成功結(jié)束任務，10分鐘內(nèi)不能完成任務則撤