專題17 圓錐曲線的綜合應用（原卷版）

專題17圓錐曲線的綜合應用一、知識速覽二、考點速覽知識點1直線與橢圓的位置關系1、直線與橢圓的位置判斷設直線方程為，橢圓方程為聯(lián)立消去y得一個關于x的一元二次方程①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．2、直線與橢圓相交的弦長公式（1）定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．（2）求弦長的方法=1\*GB3①交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求．=2\*GB3②根與系數(shù)的關系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：知識點2直線與雙曲線的位置關系1、直線與雙曲線的位置關系判斷將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去得到關于的一元二次方程，（1）當，即，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個交點；（2）當，即，設該一元二次方程的判別式為，若，直線與雙曲線相交，有兩個公共點；若，直線與雙曲線相切，有一個公共點；若，直線與雙曲線相離，沒有公共點；注意：直線與雙曲線有一個公共點時，可能相交或相切.2、直線與雙曲線弦長求法若直線與雙曲線（，）交于，兩點，則或（）．（具體同橢圓相同）知識點3直線與拋物線的位置關系1、直線與拋物線的位置關系有三種情況相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）.2、以拋物線與直線的位置關系為例：（1）直線的斜率不存在，設直線方程為，若，直線與拋物線有兩個交點；若，直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；若，直線與拋物線沒有交點.（2）直線的斜率存在.設直線，拋物線，直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，即二次方程（或）解的個數(shù).①若，則當時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；當時，直線與拋物線相切，有個公共點；當時，直線與拋物線相離，無公共點.②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點.3、直線與拋物線相交弦長問題（1）一般弦長設為拋物線的弦，，，弦AB的中點為.=1\*GB3①弦長公式：（為直線的斜率，且）.=2\*GB3②,推導：由題意，知，①②由①②，得，故，即.=3\*GB3③直線的方程為.（2）焦點弦長如圖，是拋物線過焦點的一條弦，設，，的中點，過點，，分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為點，，，根據拋物線的定義有，，故.又因為是梯形的中位線，所以，從而有下列結論；=1\*GB3①以為直徑的圓必與準線相切.=2\*GB3②(焦點弦長與中點關系)=3\*GB3③.=4\*GB3④若直線的傾斜角為，則.=5\*GB3⑤，兩點的橫坐標之積，縱坐標之積均為定值，即，.=6\*GB3⑥為定值.一、直線與圓錐曲線位置關系1、直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數(shù)形結合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到．2、直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切．【典例1】（2023·全國·高三專題練習）直線l：與橢圓C：的位置關系是（）A．相交B．相切C．相離D．不能確定【典例2】（2023·高三課時練習）直線與拋物線的位置關系為（）A．相交B．相切C．相離D．不能確定【典例3】（2023·四川成都·高三模擬預測）已知命題p：，命題q：直線與拋物線有兩個公共點，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【典例4】（2023上·江西南昌·高三?？茧A段練習）已知直線與雙曲線，若直線與雙曲線左支交于兩點，求實數(shù)的取值范圍.二、直線與圓錐曲線的弦長問題設，根據兩點距離公式．（1）若在直線上，代入化簡，得；（2）若所在直線方程為，代入化簡，得（3）構造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為．【典例2】（2023·四川樂山·高三統(tǒng)考二模）已知直線與拋物線交于點、，以線段為直徑的圓經過定點，則（）A．B．C．D．【典例3】（2023·新疆喀什·高三?？寄M預測）已知雙曲線C兩條準線之間的距離為1，離心率為2，直線l經過C的右焦點，且與C相交于A、B兩點.（1）求C的標準方程；（2）若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.三、求解圓錐曲線中的定點問題的兩種方法1、特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點，再證明定點與變量無關．2、直接推理法：①選擇一個參數(shù)建立直線系方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常量當成變量，將變量x，y當成常量，將原方程轉化為kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根據直線過定點時與參數(shù)沒有關系(即直線系方程對任意參數(shù)都成立)，得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程組的解為坐標的點就是直線所過的定點，若定點具備一定的限制條件，可以特殊解決．【典例1】（2022·江蘇泰州·高三統(tǒng)考模擬預測）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．（1）求直線的斜率k的取值范圍；（2）若線段，的中點分別為M，N，證明直線經過一個定點，并求出此定點的坐標．【典例2】（2023·吉林·通化一中高三校聯(lián)考模擬預測）已知曲線E上任意一點Q到定點的距離與Q到定直線的距離之比為．（1）求曲線E的軌跡方程；（2）斜率為的直線l交曲線E于B，C兩點，線段BC的中點為M，點M在x軸下方，直線OM交曲線E于點N，交直線于點D，且滿足（O為原點）．求證：直線l過定點．【典例3】（2022上·江蘇蘇州·蘇州中學高三校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點在拋物線上，圓（1）若，為圓上的動點，求線段長度的最小值；（2）若點的縱坐標為4，過的直線與圓相切，分別交拋物線于（異于點），求證：直線過定點．四、圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略1、求代數(shù)式為定值：依題意設條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值；2、求點到直線的距離為定值：利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設條件化簡變形求得；3、求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據條件對解析式進行化簡變形即可求得．【典例1】（2023上·四川·南江中學高三校聯(lián)考階段練習）以坐標原點為對稱中心，坐標軸為對稱軸的橢圓過點．（1）求橢圓的方程．（2）設是橢圓上一點（異于），直線與軸分別交于兩點．證明在軸上存在兩點，使得是定值，并求此定值．【典例2】（2023上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）點是平面直角坐標系上一動點，兩直線，，已知于點，位于第一象限；于點，位于第四象限.若四邊形的面積為2.（1）若動點的軌跡為，求的方程.（2）設，過點分別作直線，交于點，.若與的傾斜角互補，證明直線的斜率為一定值，并求出這個定值.【典例3】（2023·河北衡水·高三模擬預測）已知點在拋物線上，過點的直線與相交于兩點，直線分別與軸相交于點.（1）當弦的中點橫坐標為3時，求的一般方程;（2）設為原點，若，求證:為定值.五、圓錐曲線中的范圍、最值問題的解題方法（1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【典例1】（2022上·江蘇宿遷·如東中學高三?？计谥校┮阎獮闄E圓的左?右焦點，點為其上一點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線與橢圓相交于兩點，與軸交于點，若存在，使得，求的取值范圍.【典例2】（2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考二模）已知雙曲線實軸的一個端點是，虛軸的一個端點是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與曲線有兩個不同的交點是坐標原點，求的面積最小值.【典例3】（2023·全國·高三模擬預測）已知是拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于、兩點，且．（1）求拋物線的方程；（2）若為坐標原點，過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線與拋物線的另一交點為，的中點為，求的取值范圍．六、圓錐曲線中的證明問題1、圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關系方面的，如證明相切、垂直、過定點等；數(shù)量關系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點共線等．在熟悉圓錐曲線的定義和性質的前提下，要多采用直接法證明，但有時也會用到反證法．【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓過和兩點.（1）求橢圓C的方程；（2）如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q（不同于B，A）.證明：點B在以為直徑的圓內.【典例2】（2023上·福建泉州·高三?？茧A段練習）點是拋物線：（）的焦點，為坐標原點，過點作垂直于軸的直線，與拋物線相交于，兩點，，拋物線的準線與軸交于點．（1）求拋物線的方程；（2）設、是拋物線上異于、兩點的兩個不同的點，直線、相交于點，直線、相交于點，證明：、、三點共線．七、圓錐曲線中的探索性問題“肯定順推法”解決探索性問題，即先假設結論成立，用待定系數(shù)法列出相應參數(shù)的方程，倘若相應方程有解，則探索的元素存在(或命題成立)，否則不存在(或不成立)．【典例1】（2023下·河南開封·通許一中高三?？茧A段練習）已知橢圓過點和．（1）求C的方程；（2）不過原點的直線與交于不同的兩點，且直線的斜率成等比數(shù)列．在上是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【典例2】（2023上·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）已知拋物線經過點，直線與交于，兩點（異于坐標原點）．（1）若，證明：直線過定點．（2）已知，直線在直線的右側，，與之間的距離，交于，兩點，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【典例3】（2023上·重慶·南開中學高三校考階段練習）已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，漸近線方程為，焦點到漸近線距離為1，直線與C左右兩支分別交于P，Q，且點在雙曲線C上.記和面積分別為，，，的斜率分別為，（1）求雙曲線C的方程；（2）若，試問是否存在實數(shù)，使得，，.成等比數(shù)列，若存在，求出的值，不存在說明理由.易錯點2忽視直線與雙曲線相交的特殊性點撥：直線與雙曲線的位置關系分為：相交、相離、相切三種。其判定方法有兩種一是將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程，（1）若，直線與雙曲線相交，有兩個交點；若，直線與漸進線平行，有一個交點（2）若，直線與雙曲線相切，有且只有一個公共點；（3）若，直線與雙曲線相離，沒有公共點；二是可以利用數(shù)形結合的思想【典例1】（2023·重慶·統(tǒng)考高三二模）已知點和雙曲線，過點且與雙曲線只有一個公共點的直線有（）A．2條B．3條C．4條D．無數(shù)條【典例2】（2022·吉林·東北師大附中高三?？寄M預測）過點且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有（）條．A．0B．2C．3D．4易錯點2忽視特殊性誤判直線與拋物線的位置關系點撥：在直線與拋物線的位置關系中存在特殊情況，即直線與拋物線對稱軸平行時只有一個交點。在解題時要注意，不要忘記其特殊性．【典例1】（2023·全國·高三校聯(lián)考期末）過點作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（）A．1條B．2條C．3條D．4條【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)a的值為.易錯點3解決直線與圓錐曲線位置關系時忽視對直線斜率不存在的討論點撥：解決直線與圓錐曲線位置關系時，常規(guī)的方法是設出直線方程，然后與