專題17 圓錐曲線的綜合應(yīng)用（原卷版）

專題17圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、知識(shí)速覽二、考點(diǎn)速覽知識(shí)點(diǎn)1直線與橢圓的位置關(guān)系1、直線與橢圓的位置判斷設(shè)直線方程為，橢圓方程為聯(lián)立消去y得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．2、直線與橢圓相交的弦長公式（1）定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．（2）求弦長的方法=1\*GB3①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．=2\*GB3②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：知識(shí)點(diǎn)2直線與雙曲線的位置關(guān)系1、直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，（1）當(dāng)，即，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)，即，設(shè)該一元二次方程的判別式為，若，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相離，沒有公共點(diǎn)；注意：直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可能相交或相切.2、直線與雙曲線弦長求法若直線與雙曲線（，）交于，兩點(diǎn)，則或（）．（具體同橢圓相同）知識(shí)點(diǎn)3直線與拋物線的位置關(guān)系1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況相交（有兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)）；相切（有一個(gè)公共點(diǎn)）；相離（沒有公共點(diǎn)）.2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，若，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；若，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)既是原點(diǎn)又是切點(diǎn)；若，直線與拋物線沒有交點(diǎn).（2）直線的斜率存在.設(shè)直線，拋物線，直線與拋物線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方程組，的解的個(gè)數(shù)，即二次方程（或）解的個(gè)數(shù).①若，則當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，有個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn).②若，則直線與拋物線相交，有一個(gè)公共點(diǎn).3、直線與拋物線相交弦長問題（1）一般弦長設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點(diǎn)為.=1\*GB3①弦長公式：（為直線的斜率，且）.=2\*GB3②,推導(dǎo)：由題意，知，①②由①②，得，故，即.=3\*GB3③直線的方程為.（2）焦點(diǎn)弦長如圖，是拋物線過焦點(diǎn)的一條弦，設(shè)，，的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，根據(jù)拋物線的定義有，，故.又因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，所以，從而有下列結(jié)論；=1\*GB3①以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.=2\*GB3②(焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)關(guān)系)=3\*GB3③.=4\*GB3④若直線的傾斜角為，則.=5\*GB3⑤，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積均為定值，即，.=6\*GB3⑥為定值.一、直線與圓錐曲線位置關(guān)系1、直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到．2、直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切．【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線l：與橢圓C：的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．不能確定【典例2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交B．相切C．相離D．不能確定【典例3】（2023·四川成都·高三模擬預(yù)測(cè)）已知命題p：，命題q：直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【典例4】（2023上·江西南昌·高三校考階段練習(xí)）已知直線與雙曲線，若直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.二、直線與圓錐曲線的弦長問題設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式．（1）若在直線上，代入化簡，得；（2）若所在直線方程為，代入化簡，得（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．【典例1】（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長為．【典例2】（2023·四川樂山·高三統(tǒng)考二模）已知直線與拋物線交于點(diǎn)、，以線段為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【典例3】（2023·新疆喀什·高三校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.三、求解圓錐曲線中的定點(diǎn)問題的兩種方法1、特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點(diǎn)，再證明定點(diǎn)與變量無關(guān)．2、直接推理法：①選擇一個(gè)參數(shù)建立直線系方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常量當(dāng)成變量，將變量x，y當(dāng)成常量，將原方程轉(zhuǎn)化為kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根據(jù)直線過定點(diǎn)時(shí)與參數(shù)沒有關(guān)系(即直線系方程對(duì)任意參數(shù)都成立)，得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn)，若定點(diǎn)具備一定的限制條件，可以特殊解決．【典例1】（2022·江蘇泰州·高三統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．（1）求直線的斜率k的取值范圍；（2）若線段，的中點(diǎn)分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【典例2】（2023·吉林·通化一中高三校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線E上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)的距離與Q到定直線的距離之比為．（1）求曲線E的軌跡方程；（2）斜率為的直線l交曲線E于B，C兩點(diǎn)，線段BC的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M在x軸下方，直線OM交曲線E于點(diǎn)N，交直線于點(diǎn)D，且滿足（O為原點(diǎn)）．求證：直線l過定點(diǎn)．【典例3】（2022上·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在拋物線上，圓（1）若，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段長度的最小值；（2）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，過的直線與圓相切，分別交拋物線于（異于點(diǎn)），求證：直線過定點(diǎn)．四、圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略1、求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值；2、求點(diǎn)到直線的距離為定值：利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡變形求得；3、求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡變形即可求得．【典例1】（2023上·四川·南江中學(xué)高三校聯(lián)考階段練習(xí)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于兩點(diǎn)．證明在軸上存在兩點(diǎn)，使得是定值，并求此定值．【典例2】（2023上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上一動(dòng)點(diǎn)，兩直線，，已知于點(diǎn)，位于第一象限；于點(diǎn)，位于第四象限.若四邊形的面積為2.（1）若動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程.（2）設(shè)，過點(diǎn)分別作直線，交于點(diǎn)，.若與的傾斜角互補(bǔ)，證明直線的斜率為一定值，并求出這個(gè)定值.【典例3】（2023·河北衡水·高三模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，直線分別與軸相交于點(diǎn).（1）當(dāng)弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3時(shí)，求的一般方程;（2）設(shè)為原點(diǎn)，若，求證:為定值.五、圓錐曲線中的范圍、最值問題的解題方法（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【典例1】（2022上·江蘇宿遷·如東中學(xué)高三?？计谥校┮阎獮闄E圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若存在，使得，求的取值范圍.【典例2】（2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考二模）已知雙曲線實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小值.【典例3】（2023·全國·高三模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線與拋物線的另一交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，求的取值范圍．六、圓錐曲線中的證明問題1、圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點(diǎn)共線等．在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接法證明，但有時(shí)也會(huì)用到反證法．【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓過和兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q（不同于B，A）.證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi).【典例2】（2023上·福建泉州·高三校考階段練習(xí)）點(diǎn)是拋物線：（）的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)、是拋物線上異于、兩點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，證明：、、三點(diǎn)共線．七、圓錐曲線中的探索性問題“肯定順推法”解決探索性問題，即先假設(shè)結(jié)論成立，用待定系數(shù)法列出相應(yīng)參數(shù)的方程，倘若相應(yīng)方程有解，則探索的元素存在(或命題成立)，否則不存在(或不成立)．【典例1】（2023下·河南開封·通許一中高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)和．（1）求C的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率成等比數(shù)列．在上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【典例2】（2023上·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）若，證明：直線過定點(diǎn)．（2）已知，直線在直線的右側(cè)，，與之間的距離，交于，兩點(diǎn)，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【典例3】（2023上·重慶·南開中學(xué)高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線距離為1，直線與C左右兩支分別交于P，Q，且點(diǎn)在雙曲線C上.記和面積分別為，，，的斜率分別為，（1）求雙曲線C的方程；（2）若，試問是否存在實(shí)數(shù)，使得，，.成等比數(shù)列，若存在，求出的值，不存在說明理由.易錯(cuò)點(diǎn)2忽視直線與雙曲線相交的特殊性點(diǎn)撥：直線與雙曲線的位置關(guān)系分為：相交、相離、相切三種。其判定方法有兩種一是將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，（1）若，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；若，直線與漸進(jìn)線平行，有一個(gè)交點(diǎn)（2）若，直線與雙曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）若，直線與雙曲線相離，沒有公共點(diǎn)；二是可以利用數(shù)形結(jié)合的思想【典例1】（2023·重慶·統(tǒng)考高三二模）已知點(diǎn)和雙曲線，過點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）A．2條B．3條C．4條D．無數(shù)條【典例2】（2022·吉林·東北師大附中高三?？寄M預(yù)測(cè)）過點(diǎn)且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）條．A．0B．2C．3D．4易錯(cuò)點(diǎn)2忽視特殊性誤判直線與拋物線的位置關(guān)系點(diǎn)撥：在直線與拋物線的位置關(guān)系中存在特殊情況，即直線與拋物線對(duì)稱軸平行時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)。在解題時(shí)要注意，不要忘記其特殊性．【典例1】（2023·全國·高三校聯(lián)考期末）過點(diǎn)作直線，使它與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（）A．1條B．2條C．3條D．4條【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為.易錯(cuò)點(diǎn)3解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)忽視對(duì)直線斜率不存在的討論點(diǎn)撥：解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，常規(guī)的方法是設(shè)出直線方程，然后與