專題06 函數(shù)的概念、性質(zhì)及應用（2）（原卷版）

【原卷版】專題06函數(shù)的概念、性質(zhì)及應用（2）第5章函數(shù)的概念、性質(zhì)及應用【課本目錄】5.1函數(shù)：5.1.1函數(shù)；5.1.2函數(shù)的表示方法；5.2函數(shù)的基本性質(zhì)：5.2.1函數(shù)的奇偶性；5.2.2函數(shù)的單調(diào)性；5.2.3函數(shù)的最值；5.3函數(shù)的應用：5.3.1函數(shù)關(guān)系的建立；5.3.2用函數(shù)觀點求解方程與不等式；5.3.3用二分法求函數(shù)的零點；*5.4反函數(shù)：5.4.1反函數(shù)的概念；5.4.2反函數(shù)的圖像；本章內(nèi)容提要1.函數(shù)的概念：（1）設(shè)集合是一個非空的實數(shù)集，對內(nèi)的任意給定的實數(shù)，按照某種法則,都有唯—確定的實數(shù)值與之對應，這種對應關(guān)系稱為集合上的一個函數(shù).（2）定義域和對應法則是函數(shù)的兩個重要要素.函數(shù)的值域由其定義域和對應法則決定.兩個函數(shù)的定義域和對應法則都相同（未必形式相同）時，兩個函數(shù)是相同的.（3）函數(shù)的圖像是表示兩數(shù)性質(zhì)的直觀有力的工具.2.函數(shù)的性質(zhì)：（1）如果對定義域中的任一給定的，均成立，則稱，是一個偶函數(shù)；如果對定義域中的任一給定的，均成立，則稱，是一個奇函數(shù).奇性及偶性分別刻畫了函數(shù)圖像關(guān)于原點及軸的對稱性.（2）對于定義在上的函數(shù)，設(shè)區(qū)間是上的任意給定的兩個自變量的值，當時，如果總成立,就稱函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)；如果總成立,就稱函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù).這種單調(diào)性刻畫了函數(shù)圖像上升或下降的趨勢.（3）設(shè)函數(shù)在處的函數(shù)值是.如果對于定義域內(nèi)任意給定的，都成立不等式,那么叫做函數(shù)的最小值；如果對于定義域內(nèi)任意給定的，都成立不等式，那么叫做函數(shù)的最大值.最大值與最小值分別為函數(shù)圖像的最高點與最低點的縱坐標.3.函數(shù)的應用：（1）在建立函數(shù)關(guān)系時，需要注意其定義域.（2）零點是指函數(shù)圖像與軸交點的橫坐標，對于圖像是連續(xù)曲線的函數(shù)，二分法是求近似零點的有效手段.（3）依靠函數(shù)，可以用動態(tài)的觀點來考察方程的求解，以及不等式的求解.*4.反函數(shù)：（1）反函數(shù)來源于解關(guān)于的方程所得到的對應關(guān)系.（2）如果函數(shù)在定義域上不同的處所取到的函數(shù)值也不相同，那么就有反函數(shù).在定義域上嚴格單調(diào)的函數(shù)必存在反函數(shù).（3）函數(shù)的圖像與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線軸對稱。題型1、函數(shù)關(guān)系的建立與初步應用例1、（1）某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是()A.16小時 B.20小時 C.24小時 D.28小時（2）一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減．①求t年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達式；②由求出的函數(shù)表達式，求這種放射性元素的半衰期(結(jié)果精確到0.1)．【說明】以上主要考查函數(shù)模型在實際中的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，考查應用能力和計算能力；函數(shù)模型的應用實例主要包括三個方面：(1)利用給定的函數(shù)模型解決實際問題；(2)建立確定性的函數(shù)模型解決實際問題；(3)建立擬合函數(shù)模型解決實際問題；題型2、函數(shù)的零點及其求法例2、（1）函數(shù)f(x)＝(lgx)2－lgx的零點為（2）判斷下列函數(shù)零點的個數(shù)．①f(x)＝x2－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,8)；②f(x)＝lnx＋x2－3.又f(x)在(0，＋∞)上是遞增的，所以零點只有一個；【說明】1、探究函數(shù)零點的兩種求法：（1）代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根，若存在實數(shù)根，則函數(shù)存在零點，否則函數(shù)不存在零點；（2）幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點；2、判斷函數(shù)零點個數(shù)的四種常用方法：（1）利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個不同的實數(shù)根就有幾個零點．（2）畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù)．（3）結(jié)合單調(diào)性，利用函數(shù)零點存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數(shù)．（4）轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題；題型3、判斷或證明函數(shù)零點的存在性例3、（1）證明：函數(shù)f(x)＝2x＋x在R上有零點.（2）求證：函數(shù)f(x)＝x3－3x＋2至少有一個零點.【說明】1、若函數(shù)的零點易求，可直接求出零點，否則利用函數(shù)零點存在定理判斷；2、利用函數(shù)零點存在定理時，關(guān)鍵在于找準區(qū)間，且只能判定在區(qū)間上零點的存在性，但需注意，不滿足定理的條件，也可能存在零點，另外要判定有幾個零點，需結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)或圖象進行判定；題型4、判斷零點所在的區(qū)間例4、（1）f(x)＝ex＋x－2的零點所在的區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)（2）若方程xlg(x＋2)＝1的實根在區(qū)間(k，k＋1)(k∈Z)上，則k等于【說明】確定函數(shù)f(x)零點所在區(qū)間的常用方法：1、解方程法：當對應方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．2、利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(bf(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．3、數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷；題型5、對二分法概念的理解例5、（1）下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是()（2）用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間(1，3)內(nèi)的根，取區(qū)間的中點為x0＝2，那么下一個有根的區(qū)間是________.【說明】運用二分法求函數(shù)的零點應具備的條件：1、函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷；2、在該零點左右兩側(cè)函數(shù)值異號；只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數(shù)零點；題型6、會用二分法求方程的近似解例6、（1）用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一個正實數(shù)近似解(精確度是0.1)．（2）用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1，1.5]內(nèi)的一個零點(精確到0.1)；【說明】1、用二分法求函數(shù)零點的近似值應遵循的原則：（1）需依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計值的方法完成)；（2）取區(qū)間端點的平均數(shù)c，計算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的兩個端點符合要求，終止計算，得到函數(shù)零點的近似值；2、利用二分法求方程的近似解的步驟：（1）構(gòu)造函數(shù)，利用圖象確定方程的解所在的大致區(qū)間，通常取區(qū)間(n，n＋1)，n∈Z；（2）利用二分法求出滿足精確度的方程的解所在的區(qū)間M；（3）區(qū)間M內(nèi)的任一實數(shù)均是方程的近似解，通常取區(qū)間M的一個端點；題型7、已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍例7、（1）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A.[－1，0) B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)（2）若f(x)＝2x(x－a)－1在(0，＋∞)內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍是題型8、由一元二次方程根的分布確定參數(shù)的取值范圍例8、（1）已知方程x2＋2mx＋2m＋1＝0的兩不等實數(shù)根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍為________.（2）已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有兩個實數(shù)根，其中一個根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍；題型9、對反函數(shù)概念的理解與求解例9、（1）已知，則=【說明】反函數(shù)的定義；當然，先求，再求也可，但不如利用互為反函數(shù)的對應法則之間的關(guān)系簡單。（2）已知函數(shù)，則=；=；【說明】1、對反函數(shù)關(guān)聯(lián)的進一步了解；并由上題解答或從互為反函數(shù)兩者間的聯(lián)系，則可歸納得；；2、求反函數(shù)的步驟（1）明確原函數(shù)的定義域；（2）原函數(shù)的值域；（3）解關(guān)于的方程，得；（4）交換與.得到；標明反函數(shù)的定義域，即（2）中求出的值域.；題型10、對反函數(shù)圖象特征與性質(zhì)的理解例10、（1）若函數(shù)的圖像過點，則的圖像經(jīng)過點【說明】本題主要考查了原函數(shù)與反函數(shù)的圖像特征；就是：兩點關(guān)于直線對稱的數(shù)量特征；（2）設(shè)，其中常數(shù)；①設(shè)，，求函數(shù)()的反函數(shù)；②求證：當且僅當時，函數(shù)為奇函數(shù)；【說明】本題考查反函數(shù)的求法和奇函數(shù)的判定與性質(zhì)，涉及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)運算；關(guān)鍵是要注意通過求原函數(shù)的值域確定反函數(shù)的定義域，再就是注意（2）中的證明的邏輯方向是雙向的，證明為奇函數(shù)，必有時可以使用多種方法，要靈活運用；題型11、與函數(shù)應用相關(guān)的新穎題新高考下，高考數(shù)學命題遵循課程標準，深化基礎(chǔ)性考查，注重數(shù)學本質(zhì)與創(chuàng)造性思維，深入考查核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，加強情境化設(shè)計，增強題目的開放性．新情境、新設(shè)問、新題型等都成為新高考的一個特色．機械刷題、套路解題已遠遠達不到新高考的要求，減少刷題、減少套路，重思維、提能力；例11、設(shè)a是函數(shù)f(x)＝2x－logeq\f(1,2)x的零點，若x0>a，則f(x0)的值滿足()A.f(x0)＝0 B.f(x0)<0C.f(x0)>0 D.f(x0)的符號不確定例12、已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序為()A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.b>a>c例13、若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是____________________例14、[x]表示不超過xx0是方程lnx＋3x－15＝0的根，則[x0]＝()A.2B.3 C.4 D.5例15、在26枚嶄新的金幣中，其中有一枚外表與它們完全相同的假幣(質(zhì)量不同，假幣較輕)，現(xiàn)在只有一臺天平，請問：你最少稱多少次能保證一定可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣？題型12、與函數(shù)應用相關(guān)的綜合題例16、若函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|x－1|＋m有零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)C．[－1,0) D．(0，＋∞)例17、設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有兩個不同的零點，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”．若f(x)＝x2－3x＋4與g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2)) B．[－1,0]C．(－∞，－2] D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，＋∞))例18、若方程|x2－4x|－a＝0有四個不相等的實根，則實數(shù)a的取值范圍是________．例19、已知函數(shù)f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零點依次為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是________________________例20、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x|，x≤m，,|lgx|＋1，x>m，))其中0≤m<1；（1）當m＝0時，求函數(shù)y＝f(x)－2的零點個數(shù)；（2）當函數(shù)y＝f2(x)－3f(x)的零點恰有3個時，求實數(shù)m的取值范圍；一、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1、某商人將彩電先按原價提高40%，然后在廣告上寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果是每臺彩電比原價多賺了270元，則每臺彩電的原價為________元.2、小婷經(jīng)營一花店，每天的房租、水電等固定成本為100元，每束花的進價為6元，若日均銷售量Q(束)與銷售單價x(元)的關(guān)系為Q＝100－5x，則當該店每天獲利最大時，每束花應定價為元3、用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2，4)上的唯一零點的近似值時，驗證f(2)f(4)<0，取區(qū)間(2，4)的中點x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，計算得f(2)f(x1)<0，則此時零點x0所在的區(qū)間是_______________4、已知函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個零點是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點是________．5、函數(shù)f(x)＝x2－2x在R上的零點個數(shù)是________．6、若abc≠0，且b2＝ac，則函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的零點的個數(shù)是________________7、函數(shù)的反函數(shù)為8、已知14C的半衰期為5730年(是指經(jīng)過5730年后，14C的殘余量占原始量的一半).設(shè)14C的原始量為a，經(jīng)過x年后的殘余量為b，殘余量b與原始量a的關(guān)系如下：b＝ae－kx，其中x表示經(jīng)過的時間，k14C的殘余量約占原始量的76.7%.請你推斷一下馬王堆漢墓的大致年代為距今_____________年(已知log20.767≈－0.4).9、函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是10、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4，0<x≤1，,x2－4x＋3，x>1))和函數(shù)g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)是二、選擇題（共4小題每小題4分，滿分16分）11、二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的部分對應值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在區(qū)間是（）A.(－3，－1)和(2，4)B.(－3，－1)和(－1，1)C.(－1，1)和(1，2)D.(－∞，－3)和(4，＋∞)12、函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點的個數(shù)是()A.0B.1 C.2 D.313、已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，則f(x)零點的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別為()A．4，4 B．3，4C．5，4 D．4，314、已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不間斷的，有如下的x，f(x)對應值表x1234