大學生數(shù)學建模有關傳染病論文

2023上學期數(shù)學論2023上學期數(shù)學論姓名：楊麗香、涂蓉學號：〔02〕、〔04〕學院：湖南信息職業(yè)技術學院專業(yè)：計算機網(wǎng)絡指導教師:祝文達2023年06月06日傳染病一、摘要:描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預報傳染病高潮到來的時刻，預防傳染病蔓延的手段，按照傳播過程和一般規(guī)律，建立模型。利用了數(shù)學、力學、物理等學科中的定理來建立微分方程模型。利用的定理與規(guī)律尋找微元之間的關系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導數(shù)應用規(guī)律。在我們的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性并不是很清楚，如果有所了解也是極其復雜的，建模時在不同的假設中去模擬實際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微積分方程，然后從數(shù)學上去求解或分析所建的方程及其解的性質(zhì)，再去與實際情況相比照，檢驗此模型能否刻畫模擬了某些實際現(xiàn)象。二、問題重述問題:有一種傳染病〔如SARS、甲型H1N1〕正在流行。現(xiàn)在希望建立適當?shù)臄?shù)學模型，利用已經(jīng)掌握的一些數(shù)據(jù)資料對該傳染病進行有效地研究，以期對其傳播蔓延進行必要的控制，減少人民生命財產(chǎn)的損失。考慮如下的幾個問題，建立適當?shù)臄?shù)學模型，并進行一定的比擬分析和評價展望。1、不考慮環(huán)境的限制，設單位時間內(nèi)感染人數(shù)的增長率是常數(shù)，建立模型求t時刻的感染人數(shù)。2、假設環(huán)境條件下所允許的最大可感染人數(shù)為。單位時間內(nèi)感染人數(shù)的增長率是感染人數(shù)的線性函數(shù)，最大感染時的增長率為零。建立模型求t時刻的感染人數(shù)。3、現(xiàn)有衛(wèi)生防疫部門采集到的某地區(qū)一定時間內(nèi)一定間隔區(qū)間的感染人數(shù)數(shù)據(jù)〔見下表〕，利用該數(shù)據(jù)確定上述兩個模型中的相關參數(shù)，并將它們的預測值與實際數(shù)據(jù)進行比擬分析〔計算仿真偏差〕并對兩個模型進行適當?shù)脑u價?！沧ⅲ涸搯栴}中，設最大可感染人數(shù)為2000人〕4、假設總人口可分為傳染病患者和易感染者，易感染者因與患病者接觸而得病，而患病者會因治愈而減少且對該傳染病具有很強的免疫功能，建立模型分析t時刻患病者與易感染者的關系，并對傳染情況〔如流行趨勢，是否最終消滅〕進行預測。三、模型假設模型一：1)、感染人數(shù)是時間的連續(xù)可微函數(shù)；2)、單位時間內(nèi)感染人數(shù)的增長是常數(shù)，或單位時間內(nèi)感染人數(shù)的增長量與當時的感染人數(shù)成正比。模型二：1)、感染人數(shù)是時間的連續(xù)可微函數(shù)；感染人數(shù)受環(huán)境條件的限制，有一個最大的可感染人數(shù)。3)、單位時間內(nèi)感染人數(shù)的增長率和感染人數(shù)有關，是其線性函數(shù)，最大感染時對應增長率為零。四、模型建立與求解模型建立模型一：設t時刻的感染人數(shù)為，初始時刻(t=0)的感染者人數(shù)為，感染者的增長率為r，根據(jù)單位時間內(nèi)感染人數(shù)的增長率是常數(shù)的假設，t到時間內(nèi)感染人數(shù)的增量為:因此，滿足如下的微分方程：MATLAB>>dsolve(‘Dx=r0*(1-x/xm)*x’,’x(0)=x0’)ans=xm/(1+exp(-r0*t)*(xm-x0)/x0)X=[39,53,72,96,129,171,232,314,386,502,629,760,920,1065,1232]x1=dsolve('Dx=r1*x','x(0)=39')r1=log(53/39)r1=0.3067模型二：仍然設t時刻的感染人數(shù)為，初始時刻的感染者人數(shù)為0，感染者人數(shù)為0時，感染人數(shù)的增長率為。根據(jù)單位時間內(nèi)感染人數(shù)的增長率和感染人數(shù)有關，是其線性函數(shù)的假設，可得增長率關于感染者人數(shù)的線性函數(shù)關系式：進一步，由最大感染時對應的增長率為零可確定參數(shù)k的值為：因此，在該模型的假設下，感染人數(shù)應滿足如下的微分方程：MATLAB>>dsolve(‘Dx=r0*(1-x/xm)*x’,’x(0)=x0’ans=xm/(1+exp(-r0*t)*(xm-x0)/x0)模型求解這是一個非線性微分方程，利用微分方程中的別離變數(shù)法，求得其解為：=X=[39,53,72,96,129,171,232,314,386,502,629,760,920,1065,1232];r1=0.3067;t=0:14;X1=39*exp(r1*t)r2=r2=-log(75933/103933);r2=-log(75933/103933);ans=0.3139;五、模型分析及評價模型分析根據(jù)前述微分方程作出dx/dt~x的曲線圖，見圖1-1，這是一條拋物線。由該圖可看出感染人數(shù)增長率隨感染人數(shù)的變化規(guī)律：增長率隨著感染人數(shù)的增加而先增后減，在xm/2時到達最大。這預示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關注和需要密切注意的時刻。因為感染人數(shù)增長率在一定程度上代表了醫(yī)療衛(wèi)生水平，增長率越小衛(wèi)生水平越高。所以改善保健設施、提高衛(wèi)生水平可以推遲傳染病高潮的到來 將問題所給出表中t=0時刻和t=1時刻的數(shù)據(jù)代入所建立的兩個模型中，確定模型中的未知參數(shù)r和，然后再利用它們得到t=2到t=14時刻的仿真數(shù)據(jù)，進一步地可以得到兩個模型的仿真誤差百分比。兩個模型仿真效果和性能可以從下面的表和圖中清晰地看出。實際感染人數(shù)與按兩個模型計算的感染人數(shù)的比擬表X=[39,53,72,96,129,171,232,314,386,502,629,760,920,1065,1232]x1=dsolve('Dx=r1*x','x(0)=39')r1=log(53/39)x2=dsolve('Dx=r2*x-r2/2000*x^2','x(0)=39')r2=solve('78000/(39+1961*exp(-r2))=53')r1=0.3067;t=0:14;X1=39*exp(r1*t)r2=-log(75933/103933);fort=0:14;X2(1,t+1)=78000/(39+1961*exp(-r2*t));end;Y1=(X1-X)./X*100;Y2=(X2-X)./X*100;XX=[X;X1;X2;Y1;Y2];Y2=abs(Y1);a=1:15;plot(a,X,'r--',a,X1,'b+-',a,X2,'g.:');legend('原始數(shù)據(jù)','模型1的仿真數(shù)據(jù)','模型2的仿真數(shù)據(jù)','Location','NorthWest');ylabel('感染人數(shù)');xlabel('時間');axis([1,15,0,3000]);x22=dsolve('Dx=r22*x-r22/2500*x^2','x(0)=39')r22=solve('97500/(39+2461*exp(-r22))=53')r22=-log(95433/130433);fort=0:14;X22(1,t+1)=97500/(39+2461*exp(-r22*t));end;a=1:15;plot(a,X,'r--',a,X1,'b+-',a,X2,'g.:',a,X22,'m-.');legend('原始數(shù)據(jù)','模型1的仿真數(shù)據(jù)','模型2的仿真數(shù)據(jù),xm=2000','模型2的仿真數(shù)據(jù),xm=2500','Location','NorthWest');ylabel('感染人數(shù)');xlabel('時間');axis([1,15,0,3000]);模型評價：建立數(shù)學模型，通常是要根據(jù)所做出的假設，利用適當?shù)臄?shù)學工具，建立各量之前的等試或不等試關系，列出表格，畫出圖像等表達式用于描述事物的特征。1〕通過上述分析說明，第一個模型用于短期感染者估計有較好的近似效果，但不能用于傳染病的長期預報；第二個模型較為符合實際情況。2〕同時說明，感染者人數(shù)的增