專題26.1 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）【十大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）

專題26.1反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)（一）【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1反比例函數(shù)概念辨析】 1【題型2反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征】 3【題型3由反比例函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)】 5【題型4由反比例函數(shù)經(jīng)過的象限求k】 7【題型5由反比例函數(shù)的增減性求k】 9【題型6由反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小】 11【題型7由反比例函數(shù)的圖象求k】 13【題型8由反比例函數(shù)k的幾何意義求面積】 16【題型9由圖形的面積求k】 21【題型10反比例函數(shù)與幾何的綜合】 27【知識點1反比例函數(shù)的定義】一般的，形如的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。其中是自變量，是函數(shù)。自變量的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。【題型1反比例函數(shù)概念辨析】【例1】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）已知壓力F、受力面積S、壓強P之間的關(guān)系是P=FS．則下列說法不正確的是（

）A．當壓強P為定值時，壓力F與受力面積S成正比函數(shù)關(guān)系；B．當壓強P為定值時，受力面積S越大，壓力F也越大；C．當壓力F為定值時，壓強P與受力面積S成正比例函數(shù)關(guān)系；D．當壓力F為定值時，壓強P與受力面積S成反比例函數(shù)關(guān)系．【答案】C【分析】由正比例函數(shù)關(guān)系和反比例函數(shù)關(guān)系的定義進行判斷即可．【詳解】解：A．在P=FS中，當壓強P為定值時，壓力F與受力面積B．在P=FS中，當壓強P為定值時，受力面積S越大，壓力C．在P=FS中，當壓力F為定值時，壓強P與受力面積D．在P=FS中，當壓力F為定值時，壓強P與受力面積故選：C．【點睛】此題考查了正比例函數(shù)關(guān)系和反比例函數(shù)關(guān)系，熟練掌握正比例函數(shù)關(guān)系和反比例函數(shù)關(guān)系的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·廣西賀州·九年級統(tǒng)考期末）當k時，關(guān)于x的函數(shù)y=k-1【答案】k≠1【分析】本劇反比例函數(shù)的定義解題即可．【詳解】∵函數(shù)y=k-1∴k-1≠0，解得：k≠1，故答案為k≠1．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的定義，掌握形如y=k【變式1-2】（2023春·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中，不是反比例函數(shù)的是（

）A．y=x-1 B．xy=5 C．y=x【答案】C【分析】由反比例函數(shù)的三種形式判斷即可．【詳解】解：反比例函數(shù)的三種形式為：①y=kx（k為常數(shù)，k≠0），②xy=k（k為常數(shù)，k≠0），③y=k由此可知：只有y=x故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的三種形式是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·湖南永州·九年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的反比例函數(shù)y=m-2xm-3，則【答案】-2【分析】由反比例函數(shù)的定義得到m-2≠0，m-3=-1，即可求得m【詳解】解：∵y=m-2∴m-2≠0，m-3=-1∴m=±2且m≠2，∴m=-2，故答案為：-2【點睛】此題考查了反比例函數(shù)，形如y=k【題型2反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征】【例2】（2023春·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期末）已知點-2,y1，3,y2，2,y3都在反比例函數(shù)y=6x的圖象上，那么A．y3<y1<y2 B．【答案】C【分析】分別把點-2,y1，3,y2，【詳解】解：∵點-2,y1，3,y2，∴y1=6-2∵-3<2<3，∴y1故選：C．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的特征，把點A、B、C的坐標代入解析式求出y1【變式2-1】（2023春·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期中）雙曲線y=-12x不會經(jīng)過的點是（A．2,-6 B．8,-32 C．-3,4 D【答案】D【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：A、當x=2時，y=-122=-6B、當x=8時，y=-128=-C、當x=-3時，y=-12-3=4D、當x=2時，y=-122=-6，過點2,-6故選：D．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．【變式2-2】（2023春·重慶江津·九年級校聯(lián)考期中）已知反比例函數(shù)y=8x的圖象經(jīng)過點Am，-4，則A關(guān)于y【答案】2,-4【分析】由反比例數(shù)的性質(zhì)求得A的坐標，由關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=8x的圖象經(jīng)過點∴-4m=8，解得：m=-2，∴A-2,-4則A關(guān)于y軸的對稱點A'坐標為2,-4故答案為：2,-4．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征，得出點A的坐標是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·福建龍巖·九年級校考期中）在平面直角坐標系中，我們把橫坐標、縱坐標都是整數(shù)的點叫做“格點”，已知點A在反比例函數(shù)y=6x第一象限的圖象上，若點A是格點，則A的坐標為【答案】(1，6)或(2，3)或(3，2)或(6，1)【分析】由題意寫出反比例函數(shù)y=6【詳解】解：由題意，反比例函數(shù)y=6x在第一象限的格點坐標有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，∴A點坐標為(1，6)或(2，3)或(3，2)或(6，1)，故答案為：(1，6)或(2，3)或(3，2)或(6，1)．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，理解“格點”坐標的含義以及掌握反例函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式是解題的關(guān)鍵．【知識點2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)】1、圖象：由兩條曲線組成（雙曲線）2、性質(zhì)：函數(shù)圖象所在象限增減性三象限在同一象限內(nèi)，隨的增大而減小四象限在同一象限內(nèi)，隨的增大而增大越大，函數(shù)圖象越遠離坐標原點【題型3由反比例函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)】【例3】（2023春·遼寧阜新·九年級?？计谀┮阎幢壤瘮?shù)y=-6x，下列說法中正確的是（A．該函數(shù)的圖象分布在第一、三象限 B．點2,3在該函數(shù)圖象上C．y隨x的增大而增大 D．該圖象關(guān)于原點成中心對稱【答案】D【分析】由反比例函數(shù)的解析式得出函數(shù)的圖象在第二、四象限，函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，再逐個判斷即可．【詳解】解：A．∵反比例函數(shù)y=-6x中-6＜∴該函數(shù)的圖象在第二、四象限，故本選項不符合題意；B．把（2，3）代入y=-6x得：左邊=3，右邊=-3，左邊所以點（2，3）不在該函數(shù)的圖象上，故本選項不符合題意；C．∵反比例函數(shù)y=-6x中-6＜∴函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故本選項不符合題意；D．反比例函數(shù)y=-6故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能熟記反比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·山東臨沂·九年級?？计谀╆P(guān)于反比例函數(shù)y=13x，下列說法錯誤的是（A．它的圖象是雙曲線 B．它的圖象在第一、三象限C．y的值隨x的值增大而減小 D．若點a,b在它的圖象上，則點b,a也在它的圖象上【答案】C【分析】由反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行分析，即可一一判定．【詳解】解：A、它的圖象是雙曲線，故該說法正確；B、∵k=13∴它的圖象在第一、三象限，故該說法正確；C、在每個象限內(nèi)，y的值隨x的值增大而減小，故該說法錯誤；D、若點a,b在它的圖象上，則點b,a也在它的圖象上，故該說法正確；故選：C．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握和靈活運用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．【變式3-2】（2023春·廣東中山·九年級廣東省中山市中港英文學(xué)校?？计谥校τ诜幢壤瘮?shù)y=-3A．圖像分布在第二、四象限B．當x>0時，y隨x的增大而增大C．圖像經(jīng)過點-1,3D．若點Ax1，y1，Bx2，y2【答案】D【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)分別判斷各選項即可解答．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=-3xA、∵k=-3<0，∴圖像布在第二、四象限，故此選項正確，不符合題意；B、∵k=-3<0，當x>0時，y隨x的增大而增大，故此選項正確，不符合題意；C、∵3=-3-1，∴圖像經(jīng)過點D、∵k=-3<0，∴y隨x的增大而減小，故此選項錯誤，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：反例函數(shù)y=kx

，當k>0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；當k<0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量【變式3-3】（2023春·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于反比例函數(shù)y=kA．函數(shù)圖象分別位于第一、三象限B．y隨x的增大而減小C．圖像與坐標軸沒有交點D．若點3，m【答案】B【分析】當k＞0時，圖象分別位于第一、三象限，在同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划攌＜0時，圖象分別位于第二、四象限，在同一個象限，【詳解】解：A、因為k＞0，所以反比例函數(shù)y=kx（B、反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象是雙曲線，經(jīng)過第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y的值隨C、該函數(shù)圖象與坐標軸無限接近，但無交點，故本選項不符合題意；D、若點3，m∴m=k3，∴m+n=0，故不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的性質(zhì)：①當k＞0時，圖象分別位于第一、三象限；當k＜0時，圖象分別位于第二、四象限．②當k＞0時，在同一個象限內(nèi)，y隨【題型4由反比例函數(shù)經(jīng)過的象限求k】【例4】（2023春·安徽淮南·九年級統(tǒng)考期末）下列反比例函數(shù)圖象一定在第一、三象限的是（

）A．y=m2+1x B．y=m+1x【答案】A【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)若位于一、三象限，則反比例函數(shù)系數(shù)k＞0，對各選項逐一判斷即可．【詳解】解：A、∵m2+1＞0，∴反比例函數(shù)圖象一定在一、三象限；B、不確定；C、不確定；D、不確定．故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，理解反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·河南鄭州·九年級?？计谥校┤綦p曲線y=2a+4x位于第一、三象限，則A．-4 B．-3 C．-2 D．-1【答案】D【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則可知系數(shù)2a+4＞【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=2a+4∴2a+解得：a>-2結(jié)合選項可知，只有-1符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，當k>0時，雙曲線的兩個分支在一，三象限，在每一分支上y隨x的增大而減小；當k<0時，雙曲線的兩個分支在二，四象限，在每一分支上y隨【變式4-2】（2023春·山西大同·九年級統(tǒng)考期末）反比例函數(shù)y=2m+1x（m為常數(shù)）的圖象在第二、四象限，那么m的取值范圍是（A．m<-12 B．m>-12 C．【答案】A【分析】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)：當k>0時，圖象過一、三象限；當k<0時，圖象過二、四象限可得到答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，∴2m+1<0，∴2m<-1，∴m<-1故選：A．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)中k的意義以及相對應(yīng)圖象所在象限的位置是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點A-2，3，B3，2，A．1 B．-1 C．-6 D．6【答案】B【分析】由已知條件得到點A-2,1在第二象限，求得點C-6,m一定在第三象限，由于反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過其中兩點，于是得到反比例函數(shù)y=【詳解】∵A-2,1在第二象限，B3,2在第一象限，且點A、B、又∵點C的橫坐標為-6，∴C-6,m∵反比例函數(shù)y=k∴B3,2，C∴解得k=6故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，推出點C在第三象限是解題的關(guān)鍵．【題型5由反比例函數(shù)的增減性求k】【例5】（2023春·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）反比例函數(shù)y=kxx>0圖像上有兩個點x1,y1，xA．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】由x1-x2y1-y【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=kxx>0圖像上有兩個點x1,∴x1-x2∴當x1<x2y1>y2或x1>∴-k<0，∴y=kx-k的圖像不經(jīng)過第二象限，故選：B．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)、一次函數(shù)圖像與性質(zhì)，熟記反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)、一次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·江西吉安·九年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數(shù)y=m-1xm2-2，當x>0時，y隨xA．1 B．-1 C．±1 D．2【答案】B【分析】反比例函數(shù)的自變量次數(shù)為-1，y隨x的增大而增大，說明反比例函數(shù)在第四象限，且m-1<0，據(jù)此列出方程與不等式即可求得m的值．【詳解】由題意得：m2-2=-1∴m=±1且m<1．∴m=-1．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義及其增減性，解題的關(guān)鍵由反比例函數(shù)的定義及增減性列出方程與不等式．【變式5-2】（2023春·海南省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期末）如果反比例函數(shù)y=a-2x（a是常數(shù)）的圖象所在的每一個象限內(nèi)，y隨x增大而減小，那么a的取值范圍是（A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0 C．a(chǎn)<2 D．a(chǎn)>2【答案】D【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)，k＞0時，圖象所在的每一個象限內(nèi)，y隨x增大而減小，建立不等式，求解即可．【詳解】∵反比例函數(shù)y=a-2x（a是常數(shù)）的圖象所在的每一個象限內(nèi)，y隨∴a-2＞0，解得a＞2，故選D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟記k＞0時，圖象所在的每一個象限內(nèi)，y隨x增大而減小是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·北京海淀·九年級北京市十一學(xué)校校考期末）在平面直角坐標系xOy中，若函數(shù)y=kxx<0的函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大，則函數(shù)y=A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】解：反比例函數(shù)y=kxx<0的函數(shù)值y所以雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，而x<0，則分支在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象是雙曲線；當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。划攌＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨【題型6由反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小】【例6】（2023春·河北唐山·九年級校聯(lián)考期中）（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）在反比例函數(shù)y＝-k2+1x圖象上有三個點A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3），若x1<0<x2<x3，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為【答案】y2＜y3＜y1【分析】因為k2+1>0，所以-（k2+1）<0，此函數(shù)分布在二，四象限，在各象限y隨x的增加而增大，即可判斷出y2＜y3＜y【詳解】∵k2+1>0∴-（k2+1）<0∴y＝-k2圖象在二，四象限，第二象限y為正，∴y1最大，第四象限內(nèi)y隨x增大而增大，所以y2最小，因此y2＜y3＜y故答案為：y2＜y3＜y1．【點睛】此題考查反比例函數(shù)圖像和系數(shù)k的關(guān)系，會數(shù)形結(jié)合是本題解題關(guān)鍵，學(xué)會利用圖像解題．【變式6-1】（2023·天津·模擬預(yù)測）在反比例函數(shù)y＝1x的圖象上有三點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1<0<x2<x3，則A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3【答案】A【分析】由反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：∵反比例函數(shù)y＝1x的圖象位于一、三象限，x＜0時y＜0，x＞0時y＞0∴y1∵x＞0時函數(shù)遞減，0<x∴y2∴y1故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：比例系數(shù)大于0時，函數(shù)的兩個分支分布在一、三象限，在每個象限內(nèi)，y都隨x的增大而減?。徽莆掌湫再|(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·山東東營·九年級統(tǒng)考期中）如圖是三個反比例函數(shù)y=k1x，y=k2x，y=k3x在x軸上方的圖象，由此觀察得到k1、A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2【答案】C【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y1═k3∴k3＞0．∵反比例函數(shù)y2=k2x，y1=∴k2＜0，k1＜0．∵y=k1∴k1＜k2，∴k3＞k2＞k1．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，熟知反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·遼寧沈陽·九年級校考階段練習(xí)）若點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函數(shù)y＝1x圖象上的點，且y1＜0＜y2＜y3A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1【答案】C【分析】利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到y(tǒng)1＝1x1，y2＝1x2，y3＝1x3，然后利用y1＜0＜y2＜y3比較x1、【詳解】解：∵點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函數(shù)y＝1x∴y1＝1x1，y2＝1x2，y∵y1＜0＜y2＜y3，∴x1＜x3＜x2．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y＝kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k【題型7由反比例函數(shù)的圖象求k】【例7】（2023春·河北邯鄲·九年級校考期末）在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=kx的圖象如圖所示，則k的值可以為（A．-4 B．-3 C．-2 D．2【答案】B【分析】由函數(shù)圖象確定k的取值范圍．【詳解】解：如圖所示，反比例函數(shù)y=kx的圖象位于第二、四象限，則又∵-2×2<k<1×(-2)，即-4<k<-2．∴觀察選項，只有選項B合題意．故選：B．【點睛】考查了反比例函數(shù)的圖象，由函數(shù)圖象確定k的符號以及k的取值范圍是解題的難點．【變式7-1】（2023春·九年級單元測試）雙曲線y=kx的部分圖象如圖所示，那么【答案】2【分析】由題圖可知雙曲線過點（1，2），然后用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】解：∵雙曲線過點（1，2），∴2=k1∴k=2.故答案為2.【點睛】本題考點：用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式.【變式7-2】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，符合圖像的解析式是．（填序號）①y=2x②y=-2x③y=2【答案】④【分析】由題干圖像為雙曲線，且圖像再第一象限和第二象限，得到y(tǒng)>0，逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：∵雙曲線圖像在第一象限和第二象限，∴y>0，∴應(yīng)選④，故答案為：④．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像，解題關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)y=kx的圖像是雙曲線，當k>0時，圖像位于第一、三象限；當【變式7-3】（2023春·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）反比例函數(shù)y=kx在第一象限的圖象如圖所示，則k的值可能是（A．3 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】由點（1，3）在反比例函數(shù)圖象下方，點（3，2）在反比例函數(shù)圖象上方可得出k的取值范圍，即可得答案.【詳解】∵點（1，3）在反比例函數(shù)圖象下方，∴k>3，∵點（3，2）在反比例函數(shù)圖象上方，∴k3<2，即k<6∴3<k<6，故選：B.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟記k=xy是解題關(guān)鍵.【題型8由反比例函數(shù)k的幾何意義求面積】【例8】（2023春·陜西西安·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形OABC的頂點O在坐標原點上，B在y軸上，頂點A在y=-5x上，頂點C在y=7x上，則平行四邊形【答案】12【分析】過點A作AE⊥y于點E，過點C作CD⊥y軸于點D，因為四邊形OABC是平行四邊形，可證得△AEO?△CDBAAS，△AEB?△CDOAAS，即S△AEO=S△CDB，【詳解】解：如圖所示，過點A作AE⊥y于點E，過點C作CD⊥y軸于點D，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA=BC，∵AE⊥y，∴∠AEO=∠CDB=90°，∴△AEO?△CDBAAS∴S△AEO同理可得：△AEB?△CDOAAS，S∵點A在反比例函數(shù)y=-5∴S∵點C在反比例函數(shù)y=7∴S∴平行四邊形OABC的面積為：52故答案為：12．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，在反比例函數(shù)的圖像上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是12【變式8-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，線段AB在x軸的正半軸上，過點A作x軸的垂線交反比例函數(shù)y=5x圖像于點P，連接PB，過點A作AC∥PB，交y軸于點C，若AB=CB=5

【答案】65【分析】連接OP，CP，由平行線的性質(zhì)得到S△ABC=S△APC=S△APO=k2=【詳解】解：連接OP，CP，

∵PA⊥x軸于A，∴∠PAO=∠COA=90°，∵PA∥∴S△APC∵AC∥∴S△ABC由12AB?OC=1∴OB=B∴OA=BO+AB=4，∴P4,54∴四邊形APBC的面積是S△ABC+S△ABP故答案為：6516【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義，由平行線的性質(zhì)得到S△ABC【變式8-2】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y=-x+b交反比例函數(shù)y=3xx＞0的圖像于點A，B（點A在B的左上方），分別交x軸，y軸于點C，D，AE⊥x軸于點E，交OB于點F．若圖中四邊形BCEF與△AOF的面積差為12，則【答案】5【分析】作BH⊥OC于點H，由反比例函數(shù)面積性質(zhì)及四邊形BCEF與△AOF的面積差為12推出△BCH面積為12，可求出OH=3,OC=4，確定直線AC解析式，得到A1，3，B3，【詳解】解：作BH⊥OC于點H，∵四邊形BCEF與△AOF的面積差為12，反比例函數(shù)∴S△BOH-S∴S△BCH∴12∴BH·CH=1．∵直線y=-x+b分別交x軸，y軸于點C，D，∴Cb,0∴CO=OD，∴∠OCD=∠ODC=45°，∴∠BCH=∠CBH=45°，∴BH=CH，∴BH=CH=1，∴OH=3∴直線y=-x+4，B3∴y=-x+4y=解得x=1y=3∴A1設(shè)直線OB的解析式為y=kx，∴1=k×3，解得k=1∴F1∴AF=3-1∵S△ABF∴S=1故答案為：52【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，待定系數(shù)法確定解析式，熟練掌握交點的意義，反比例函數(shù)的性質(zhì)和k的幾何意義，正確進行圖形分割是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·遼寧盤錦·校聯(lián)考二模）如圖，在x軸的正半軸上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，過點A1，A2，A3，A4，A5分別作x軸的垂線與反比例函數(shù)y=2xx≠0的圖像相交于點P1，【答案】1【分析】由OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A【詳解】解：由題意，設(shè)A1∴A2(2a,0)，A3(3a,0)，∴P1a,2a，P22a,2∴OA1=a，A1A2=a，A2AA1P1=2a，A2P2=2∴S1=12OA·A1P1=12×a×故答案為：12022【點睛】本題主要考查圖形的規(guī)律，理解圖示意思，理解點在反比例函數(shù)圖像上，求出各點坐標及對應(yīng)邊的長度是解題的關(guān)鍵．【知識點3反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義】如圖，在反比例函數(shù)上任取一點，過這一點分別作軸，軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積【題型9由圖形的面積求k】【例9】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=2x在第一象限的圖象上有一點A，過點A分別作x軸和y軸的平行線l1，l2．若反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象分別與l1，l2交于點B，C

【答案】6或-2【分析】設(shè)l1，l2分別與x軸和y軸交于點E和點F，Aa,2a，再分k>0和k<0兩種情況，求出點B和點C坐標，由△ABC【詳解】解：設(shè)l1，l2分別與x軸和y軸交于點E和點F，當k>0時，如圖，∵點A在y=2∴四邊形OEAF的面積為2，∵△ABC的面積為4，∴y=kxk≠0xA=xC=a得yC=k∴AC=ka-∴S△ABC解得：k=-2（舍）或k=6；

當k<0時，同理可得：AC=2a-∴S△ABC解得：k=-2或k=6（舍）；

綜上：k的值為6或-2，故答案為：6或-2．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合問題，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)表達式求出點的坐標，得到線段，表示面積．【變式9-1】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是5,0，函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過菱形OABC的頂點C，若菱形OABC的面積為20，則k

【答案】-12【分析】過點C作CD⊥OA，由點A的坐標，求出菱形的邊長，由菱形的面積，進而求出CD的長，再利用勾股定理求出OD的長，進而求出C點坐標，利用橫縱坐標之積，即可求出k的值．【詳解】解：如圖，過點C作CD⊥OA，

∵點A的坐標是5,0，四邊形OABC為菱形，∴OC=OA=5，∵菱形OABC的面積為20，∴OA?CD=20，∴CD=4，∴OD=O∴C3,-4∴k=3×-4故答案為：-12．【點睛】本題考查由圖形面積求k值．熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理，求出C點坐標，是解決本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，點Aa，3，Bb，6在反比例函數(shù)y=kxx>0【答案】12【分析】如圖所示，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，先由反比例函數(shù)的性質(zhì)得到k=3a=6b，則a=2b，再證明S梯形ACDB=S△AOB=9，然后【詳解】解：如圖所示，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，∵點Aa，3，B∴k=3a=6b，∴a=2b，∵S△AOB=S∴S梯形∵OC=a，∴6+32∴92∴b=2，∴k=12，故答案為：12．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，正確作出輔助線證明S梯形【變式9-3】（2023春·四川宜賓·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，點A是x軸上任意一點，BC∥x軸，分別交y=2xx>0，y=kxx<0的圖象于B，C兩點，若【答案】-4【分析】連接OB、OC，因為BC∥x軸，可以得出S△ABC=S△BOC，結(jié)合反比例函數(shù)【詳解】解：如圖所示：連接OB、OC，∵BC∥x軸，∴S△ABC∴S△BOC又∵△ABC的面積是3，∴12∴k=±4，又∵y=k∴k=-4．故答案為：-4．【點睛】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義常考的幾種類型是解題的關(guān)鍵．【題型10反比例函數(shù)與幾何的綜合】【例10】（2023·浙江·一模）如圖，正方形ABCD的頂點A,B分別在y軸和x軸的正半軸上，OA=OB,CD邊的中點正好在反比例函數(shù)y=1x(x>0)的圖象上，則正方形ABCD

【答案】2【分析】設(shè)CD的中點為E，連接OE交AB于點F，由對稱性得到∠AOF=∠BOF，進而求得E1,1，勾股定理求出OE=12+12=【詳解】如圖所示，設(shè)CD的中點為E，連接OE交AB于點F，

∵四邊形ABCD是正方形，OA=OB，CD邊的中點正好在反比例函數(shù)∴由對稱性可得，OE是∠AOB平分線∴∠AOF=∠BOF，∵點E在反比例函數(shù)y=1∴E1,1∴OE=1∵OA=OB，∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OF⊥AB，OF=BF，∴設(shè)OF=BF=x，∴AD=AB=2x，∵∠A=∠D=∠AFE=90°，∴四邊形AFED是矩形，∴EF=AD=2x，

∵OF+EF=OE，∴x+2x=2∴解得x=2∴正方形邊長為：2故答案為：22【點睛】此題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合題，正方形和矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．【變式10-1】（2023春·河北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A在函數(shù)y=3xx>0的圖象上，點B在函數(shù)y=kxx<0的圖象上，AB⊥y軸于點C.若A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】A【分析】設(shè)A的橫坐標為a，則縱坐標為3a，由題意得出點B