鄂州高中高三下學(xué)期月月考數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精鄂州高中2019—2020高三下學(xué)期3月月考理數(shù)一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1。已知集合，，若，則的子集個(gè)數(shù)為（）A。2 B。4 C。6 D.8【答案】D【解析】分析】先求出集合，再求出,即可得解。【詳解】，即,,子集個(gè)數(shù)為個(gè)。故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算和子集的概念，屬于基礎(chǔ)題.2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（)A.第一象限 B。第二象限 C。第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】試題分析：在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第三象限,故選C．考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及幾何意義．3.設(shè)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則(）A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得解?！驹斀狻坑深}意.故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)函數(shù)值的求法和函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4。設(shè)｛an｝為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，則S11＝（)A。20 B.30 C.44 D.88【答案】C【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,由a2＝1,a10＝16列式求得q2,進(jìn)一步求出a6，可得b6，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解S11.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an｝的公比為q，由a2＝1，a10＝16，得，得q2＝2。∴，即a6＝b6＝4，又Sn為等差數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和,∴。故選:C?！军c(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題.5。設(shè)α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是兩條不同的直線，下列說(shuō)法正確的是()A.若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，則n⊥βB.若α⊥β，n∥α,則n⊥βC。若m∥α,m∥β，則α∥βD。若m⊥α,m⊥β，n⊥α,則n⊥β【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線、平面平行垂直的關(guān)系進(jìn)行判斷．【詳解】由α、β是兩個(gè)不同平面，m、n是兩條不同的直線，知：在A中，若α⊥β,α∩β＝m，m⊥n，則n與β相交、平行或n?β,故A錯(cuò)誤；在B中,若α⊥β，n∥α，則n與β相交、平行或n?β，故B錯(cuò)誤；在C中，若m∥α，m∥β,則α與β相交或平行，故C錯(cuò)誤；在D中，若m⊥α，m⊥β，則α∥β，∴若n⊥α,則n⊥β，故D正確。故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的益關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力,是中檔題。6.如圖是數(shù)學(xué)界研究的弓月形的一種，是以為直徑的圓的內(nèi)接正六邊形的三條鄰邊，四個(gè)半圓的直徑分別是，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）A B。 C。 D。【答案】A【解析】【分析】由題意分別算出陰影部分的面積和總面積后即可得解?！驹斀狻坎环猎O(shè)六邊形的邊長(zhǎng)為1,由題意得，,.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的解析式可以為（）A。 B。C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由圖可得即可求出,圖像過(guò)點(diǎn)即可求出，即可得解?！驹斀狻坑蓤D像可知即，，，。又圖像過(guò)點(diǎn)即，，,當(dāng)時(shí)，。則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)解析式的確定和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題。8.已知向量，向量在方向上的投影為，若,則實(shí)數(shù)的值為(）A。 B。 C。 D。3【答案】A【解析】【分析】設(shè)，轉(zhuǎn)化條件得,，整體代換即可得解?！驹斀狻吭O(shè),在方向上的投影為，即。又,即，即,解得。故選：A。【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于中檔題.9.已知雙曲線的一條漸近線與軸所形成的銳角為,則雙曲線的離心率為（）A。 B. C.2 D.或2【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件得，再利用即可得解?！驹斀狻坑深}意可知雙曲線的漸近線為，又漸近線與軸所形成的銳角為,，雙曲線離心率。故選：C。【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。10。設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間距離的最小值為()A。 B. C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】本道題結(jié)合直線與平面平行判定，證明距離最短即為計(jì)算與OE的距離,計(jì)算，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖形結(jié)合題意可知OE是三角形中位線，題目計(jì)算距離最短，即求OE與兩平行線的距離，，所以距離d，結(jié)合三角形面積計(jì)算公式可得,解得，故選B．【點(diǎn)睛】本道題考查了直線與平面平行的判定，難度較大．11.已知直線與直線相交于點(diǎn),線段是圓的一條動(dòng)弦,且，則的最大值為（）A。 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得點(diǎn)的軌跡為,將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到弦的中點(diǎn)的距離的兩倍，利用圖形即可得解?！驹斀狻坑深}意得圓的圓心為，半徑,易知直線恒過(guò)點(diǎn)，直線恒過(guò),且，點(diǎn)的軌跡為，圓心為，半徑為，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn),位置關(guān)系如圖：。連接，由易知。，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系以及向量的線性運(yùn)算，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.12.已知不等式(,且）對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則的最大值為(）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件得,求出的最小值后即可得，可得，最后求出的最大值即可得解.【詳解】由題意得恒成立，令，則，若,，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞增,所以最小值為。,，令，則，當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，即的最大值為.故選：B。【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和恒成立問(wèn)題的解決方法，考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想，屬于難題.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13。已知，則的結(jié)果為_(kāi)___。【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件得，，求出后即可得解.【詳解】,即，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用和二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)樣本數(shù)據(jù)的方差是5，若，則的方差為_(kāi)______【答案】20.【解析】【分析】利用方差的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差是5，若，所以的方差為.故答案為：20【點(diǎn)睛】本題考查了方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15.某單位在慶祝新年的聯(lián)歡晚會(huì)中，要安排一個(gè)有6個(gè)節(jié)目的節(jié)目單，要求歌曲和舞蹈相鄰，且歌曲要排在舞蹈的前面；歌曲和舞蹈不相鄰,且歌曲和舞蹈均不排在最后，則這6個(gè)節(jié)目的排法有____種.【答案】36【解析】【分析】先用捆綁法把歌曲和舞蹈看成一個(gè)整體，再和其他兩個(gè)節(jié)目全排列,最后把歌曲和舞蹈插空即可得解.【詳解】把歌曲排在舞蹈前面后把兩個(gè)節(jié)目看成一個(gè)整體，再和其他兩個(gè)節(jié)目全排列，有種排法，再用歌曲和舞蹈插空且均不排在最后，有種排法.所以共有種排法.故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。16.在邊長(zhǎng)為的菱形中，,沿對(duì)角線折起，使二面角的大小為，這時(shí)點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為_(kāi)___?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥咳〉闹悬c(diǎn)，連接、，可知外接球的球心在面中，再作,分別求出與的長(zhǎng)度后即可得解.【詳解】如圖1，取的中點(diǎn),連接、,由已知易知面面,則外接球的球心在面中。由二面角的大小為可知.在面中,設(shè)球心為，作,連接，易知在面上的投影即為，平分，為的中心，,,，。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形外接球體積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題。三、解答題（共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答)（—）必考題：共60分。17.已知向量,，設(shè)函。在中，角的對(duì)邊分別是,.（1）求的大小;（2)若,，求的大小?！敬鸢浮?1）（2）【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化條件得，由即可得解;（2）轉(zhuǎn)化條件得,利用正弦定理可得，利用余弦定理即可得解.【詳解】根據(jù)題意得。（1）因?yàn)?，且，所以?)因?yàn)?所以,所以.因?yàn)?，所以。根?jù)正弦定理得。又由余弦定理，得，即，解得?！军c(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算、三角恒等變換和解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.18。如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A，B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DC垂直于半圓O所在的平面,DC∥EB,DC＝EB＝1，AB＝4。(1)證明：平面ADE⊥平面ACD;（2)當(dāng)C點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)時(shí)，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值?！敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析(2）【解析】【分析】（1）由BC⊥AC,BC⊥CD得BC⊥平面ACD，證明四邊形DCBE是平行四邊形得DE∥BC，故而DE平面ACD，從而得證面面垂直;（2）建立空間坐標(biāo)系,求出兩半平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角得出二面角的大小?！驹斀狻?1）證明：∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC,∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC,∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD,∵DC∥EB,DC＝EB，∴四邊形DCBE是平行四邊形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE?平面ADE,∴平面ACD⊥平面ADE。（2）當(dāng)C點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)時(shí)，AC＝BC＝2，以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CD為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示：則D（0，0，1）,E(0，2，1）,A(2,0，0），B（0，2,0）,∴（﹣2，2,0),（0，0，1）,（0，2，0），（2，0，﹣1），設(shè)平面DAE的法向量為（x1，y1,z1），平面ABE的法向量為（x2，y2，z2）,則,,即，，令x1＝1得（1，0，2），令x2＝1得（1，1，0）.∴cos?！叨娼荄﹣AE﹣B是鈍二面角,∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值為?！军c(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定，空間向量與二面角的計(jì)算,屬于中檔題。19。2019年是中華人民共和國(guó)成立70周年．為了讓人民了解建國(guó)70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段:，,…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1)現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談，用表示年齡在）內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為．當(dāng)最大時(shí)，求的值．【答案】（1)分布列見(jiàn)解析,（2)【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù)，結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù)；的可能取值為0，1,2,由離散型隨機(jī)變量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列；由數(shù)學(xué)期望公式即可求得其數(shù)學(xué)期望。（2）先求得年齡在內(nèi)的頻率,視為概率。結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì),表示出，令，化簡(jiǎn)后可證明其單調(diào)性及取得最大值時(shí)的值．【詳解】（1）按分層抽樣的方法拉取的8人中，年齡在的人數(shù)為人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為人．年齡在內(nèi)的人數(shù)為人．所以的可能取值為0,1，2．所以,,,所以的分市列為012．（2)設(shè)在抽取的20名市民中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為,服從二項(xiàng)分布．由頻率分布直方圖可知，年齡在內(nèi)的頻率為，所以，所以．設(shè),若，則，；若,則，．所以當(dāng)時(shí)，最大，即當(dāng)最大時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考差了離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.20.已知橢圓G:的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，直線與l不與坐標(biāo)軸平行,若AB的中點(diǎn)為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線ON交直線x＝3于點(diǎn)M。(1）求證：MF⊥l;(2）求的最大值，【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由題意的方程可得右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，由題意設(shè)直線l的方程與橢圓聯(lián)立可得兩根之和,求出AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線ON的斜率，求出直線ON的方程，令x＝3可得M的縱坐標(biāo)，即求出M的坐標(biāo)，求出直線MF的斜率可證得與直線l的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以可證得MF垂直直線l；（2）由（1）MF，AB的值，求出兩者之比,由均值不等式可得的最大值?！驹斀狻浚?)由橢圓的方程開(kāi)發(fā)右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)(2,0），有題意設(shè)直線AB的方程為x＝my+2，設(shè)A（x1，y2),B(x2，y2），整理可得（3+m2)y2+4my﹣2＝0，y1+y2，y1y2，所以AB的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)yN，代入直線AB的方程可得N的橫坐標(biāo)xN2,即N（,），所以kON，所以直線ON的方程為:yx，令x＝3，所以y＝﹣m,即M（3，﹣m），所以kMFm，而，所以kMF?＝﹣1,所以MF⊥l；（2）由（1)可得|MF|，|AB|｜y1﹣y2|，所以,當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝±1時(shí)取等號(hào)。所以的最大值為?！军c(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)的求法，即兩條直線的交點(diǎn)的求法和直線垂直的求法，即直線與橢圓的綜合，解題中使用了設(shè)而不求的思想方法,這是直線與圓錐曲線相交問(wèn)題中常用方法，本題屬于中檔題.21。已知函數(shù).(1）若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）已知函數(shù)，，若是的極大值點(diǎn),求的取值范圍.【答案】(1)（2）【解析】【分析】(1）轉(zhuǎn)化條件得，利用導(dǎo)數(shù)求出在區(qū)間上的最小值即可；（2）求導(dǎo)得,由極大值可得可知且，則,利用導(dǎo)數(shù)求出在的值域即可得解?！驹斀狻?1)若不等式在上有解，則。因?yàn)?，所?令，，則易知在上單調(diào)遞減，且,。故存在，使得在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減。所以，當(dāng)時(shí)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為。（2)由題意知，所以,.記，則，所以,僅在在區(qū)間上單調(diào)遞減。若是的極大值點(diǎn)，則,且,所以，記，則.所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增,易知,，，所以，當(dāng)時(shí)，,所以,，即取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和存在問(wèn)題的解決方法,考查了轉(zhuǎn)化劃歸思想和計(jì)算能力，屬于難題。(二）選考題：