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第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)
1.1集合
1.1.3集合的基本運(yùn)算第1課時(shí)交集與并集基礎(chǔ)知識(shí)可以看出,集合S中的元素既屬于集合P,又屬于集合M.一般地,給定兩個(gè)集合A,B,由既屬于A又屬于B的所有元素(即A和B的公共元素)組成的集合,稱(chēng)為A與B的交集,記作A∩B,讀作“A交B”。兩個(gè)集合的交集可用右圖所示的陰影部分形象地表示。因此,上述情境與問(wèn)題中的集合滿足P∩M=S.例如,{1,2,3,4,5}∩{3,4,5,6,8}={3,4,5};在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),x軸與y軸相交于坐標(biāo)原點(diǎn),用集合語(yǔ)言可以表示為{(x,y)|y=0}∩{(x,y)|x=0}=__________.{(0,0)}
從定義可以看出,A∩B表示由集合A,B按照指定的法則構(gòu)造出一個(gè)新集合,因此“交”可以看成集合之間的一種運(yùn)算,通常稱(chēng)為交集運(yùn)算。交集運(yùn)算具有以下性質(zhì),對(duì)于任意兩個(gè)集合A,B,都有:(1)A∩B=B∩A;(2)A∩A=A;(3)A∩?=?∩A=?;(4)如果A?B,則A∩B=A,反之也成立。思考1:兩個(gè)非空集合的交集可能是空集嗎?提示:兩個(gè)非空集合的交集可能是空集,即A與B無(wú)公共元素時(shí),A與B的交集仍然存在,只不過(guò)這時(shí)A∩B=?。反之,若A∩B=?,則A,B這兩個(gè)集合可能至少有一個(gè)為空集,也可能這兩個(gè)集合都是非空的,如:A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},此時(shí)A∩B=?.典例精析例1.求下列每對(duì)集合的交集:(1)A={1,-3},B={-1,-3};(2)C={1,3,5,7},D={2,4,6,8};(3)E=(1,3],F(xiàn)=[-2,2).解:(1)因?yàn)锳和B的公共元素只有-3,所以A∩B=_________(2)因?yàn)镃和D
沒(méi)有公共元素,所以C∩D=?(3)在數(shù)軸上表示出區(qū)間E
和F,如圖所示由圖可知E∩F=(1,2).{-3}
例2已知A={x|x是菱形},B={x|x是矩形},求A∩B.解:A∩B={x|x是菱形}∩{x|x是矩形}={x|x是正方形}我們經(jīng)常使用的“且”可以借助集合的交集來(lái)理解。例如,平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)(x,y)在第一象限的條件是:橫坐標(biāo)大于0且縱標(biāo)大于0,用集合的語(yǔ)言可以表示為{(x,y)|x>0}∩{(x,y)|y>0}={(x,y)|x>0,y>0},也就是說(shuō),為了保證點(diǎn)(x,y)在第一象限,條件橫坐標(biāo)大于0與縱坐標(biāo)大于0要同時(shí)成立。2.并集情境與問(wèn)題某班班主任準(zhǔn)備召開(kāi)一個(gè)意見(jiàn)征求會(huì),要求所有上一次考試中語(yǔ)文成績(jī)低于70分或英語(yǔ)成績(jī)低于70分的同學(xué)參加,如果記語(yǔ)文成績(jī)低于70分的所有同學(xué)組成的集合為M,英語(yǔ)成績(jī)低于70分的所有同學(xué)組成的集合為N,需要去參加意見(jiàn)征求會(huì)的同學(xué)組成的集合為P,那么這三個(gè)集合之間有什么聯(lián)系呢?可以看出,集合P中的元素,要么屬于集合M,要么屬于集合N.一般地,給定兩個(gè)集合A,B,由這兩個(gè)集合的所有元素組成的集合,稱(chēng)為A與B的并集,記作A∪B,讀作“A并B”兩個(gè)集合的并集可用下圖(1)或(2)所示的陰影部分形象地表示,由A,B構(gòu)造出A∪B,通常稱(chēng)為并集運(yùn)算。因此,上述情境與問(wèn)題中的集合滿足M∪N=P.例如,{1,3,5}∪{2,3,4,6}=
{1,2,3,4,5,6}.注意,同時(shí)屬于A和B
的元素,在A∪B中只出現(xiàn)一次。嘗試與發(fā)現(xiàn)類(lèi)比交集運(yùn)算的性質(zhì),探索得出并集運(yùn)算的性質(zhì),對(duì)于任意兩個(gè)集合A,B,都有:(1)A∪B=__________(2)A∪A=__________;(3)A∪?=?∪A=__________(4)如果A?B,則A∪B=__________,反之也成立。B∪AAAB例3已知區(qū)間A=(-3,1),B=[-2,3],求A∩B,A∪B.在數(shù)軸上表示出A和B,如圖所示.由圖可知A∩B=_____________,A∪B_____________.[-2,1)(-3,3]
典例精析我們經(jīng)常使用的“或”可以借助集合的并集來(lái)理解。例如,
x≥0的含義是x>0或x=0,這可以用集合語(yǔ)言表示為{x|x≥0}={x|x>0或x=0}={x|x>0}∪{x|x=0},也就是說(shuō),為了保證x≥0,條件x>0與x=0只要有一個(gè)成立即可.思考2:集合A∪B中的元素個(gè)數(shù)如何確定?提示:①當(dāng)兩個(gè)集合無(wú)公共元素時(shí),A∪B的元素個(gè)數(shù)為這兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)之和;②當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素時(shí),根據(jù)集合元素的互異性,同時(shí)屬于A和B的公共元素,在并集中只列舉一次,所以A∪B的元素個(gè)數(shù)為兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)之和減去公共元素的個(gè)數(shù)。交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的運(yùn)算性質(zhì)A∩B=B∩AA∪B=B∪AA∩A=AA∪A=AA∩?=?∩A=?A∪?=?∪A=A如果A?B,則__________,反之也成立如果A?B,則__________,反之也成立A∩B=A
A∪B=B
3.交集與并集的運(yùn)算性質(zhì)基礎(chǔ)自測(cè)1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},則M∪N=(
)A.{0,1}
B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2}
D.{-1,0,1}解析:M∪N={-1,0,1,2}.C
2.設(shè)集合M=(-3,2),N=[1,3],則M∩N=(
)A.[1,2)
B.[1,2]C.(2,3]
D.[2,3]A
3.已知集合M={x|x2=9},N={x|-3≤x<3,x∈Z},則M∩N=(
)A.? B.{-3}C.{-3,3}
D.{-3,-2,0,1,2}解析:由題意,得M={-3,3},由于N={-3,-2,-1,0,1,2},則M∩N={-3}.B
4.若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},則A∪B=________________,A∩B=________________.5.已知A={-1}且A∪B={-1,3},則所有滿足條件的集合B=________________.{x|-5<x<3}
{x|-3<x<2}
{3}或{-1,3}
交集的運(yùn)算典例剖析(1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},則A∩B=(
)A.{0,2}
B.{1,2}C.{0}
D.{-2,-1,0,1,2}(2)已知A={x|x≤-2或x>5},B={x|1<x≤7},則A∩B=_________.A
(5,7]
(3)集合A=[-2,5],集合B=[m+1,2m-1].①若B?A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;②若A∩B≠?,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.思路探究:(1)可直接根據(jù)集合運(yùn)算的含義分析求解。(2)(3)中將集合A和B在數(shù)軸上表示出來(lái),再結(jié)合集合運(yùn)算的定義求解。歸納提升:求兩個(gè)集合的交集的方法(1)對(duì)于元素個(gè)數(shù)有限的集合,逐個(gè)挑出兩個(gè)集合的公共元素即可。(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)無(wú)限的集合,一般借助數(shù)軸求交集,兩個(gè)集合的交集等于兩個(gè)集合在數(shù)軸上的相應(yīng)圖形所覆蓋的公共范圍,要注意端點(diǎn)值的取舍。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知集合P=(-∞,0),Q=(-∞,1],則P∩Q=__________.(2)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若A∩B={-3},求實(shí)數(shù)a的值.解析:(1)因?yàn)镻=(-∞,0),Q=(-∞,1],故P∩Q=(-∞,0).(-∞,0)
(2)因?yàn)锳∩B={-3},所以-3∈B.而a2+1≠-3,所以a-3=-3或2a-1=-3.①當(dāng)a-3=-3時(shí),a=0.A={0,1,-3},B={-3,-1,1},于是A∩B={-3,1},這樣與A∩B={-3}矛盾;②當(dāng)2a-1=-3時(shí),a=-1,符合A∩B={-3},綜上知a=-1.典例剖析并集的運(yùn)算設(shè)集合A={x|x+1>0},B={x|-2<x<2},求A∪B.思路探究:首先明確集合A中的元素,集合A是不等式x+1>0的解集,然后借助于數(shù)軸寫(xiě)出A∪B.歸納提升:求集合并集的方法(1)兩集合用列舉法給出:①依定義,直接觀察求并集;②借助維恩圖寫(xiě)并集。(2)兩集合用描述法給出:①直接觀察,寫(xiě)出并集;②借助數(shù)軸,求出并集。(3)一個(gè)集合用描述法,另一個(gè)用列舉法:①直接觀察,找出并集;②借助圖形,觀察寫(xiě)出并集。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.(1)設(shè)集合A={x|-4<x-1<2},B={x|2x∈N},則A∩B的元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)___.(2)已知集合M={0,1},則滿足M∪N={0,1,2}的集合N的個(gè)數(shù)是____.6
4
集合運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用典例剖析已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|mx-1=0},若A∪B=A,則實(shí)數(shù)m構(gòu)成的集合為_(kāi)____________.歸納提升:利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關(guān)注點(diǎn)(1)方法:利用集合的交集、并集性質(zhì)解
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