人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題7.5 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（重難點(diǎn)題型精講）（教師版）

專題7.5離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（重難點(diǎn)題型精講）1．離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：則稱E(X)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)對(duì)均值(期望)的理解求離散型隨機(jī)變量的期望應(yīng)注意：①期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.②E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài).③均值與隨機(jī)變量有相同的單位.2．均值的性質(zhì)若離散型隨機(jī)變量X的均值為E(X)，Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則Y也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.特別地，當(dāng)a=0時(shí)，E(b)=b；當(dāng)a=1時(shí)，E(X+b)=E(X)+b；當(dāng)b=0時(shí)，E(aX)=aE(X).3．離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為則稱D(X)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0為隨機(jī)變量X的方差，并稱SKIPIF1<0為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為SKIPIF1<0(X).(2)意義隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.4．方差的有關(guān)性質(zhì)當(dāng)a，b均為常數(shù)時(shí)，隨機(jī)變量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=SKIPIF1<0D(X).特別地，當(dāng)a=0時(shí)，D(b)=0；當(dāng)a=1時(shí)，D(X+b)=D(X)；當(dāng)b=0時(shí)，D(aX)=SKIPIF1<0D(X).5．兩點(diǎn)分布的均值與方差一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.【題型1均值的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)均值的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.【例1】（2022春·廣東廣州·高二期末）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，則E(2X?3)=（

）A．2 B．1 C．-1 D．-2【解題思路】套公式直接求出E(X)和E(2X?3).【解答過程】因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，所以EX所以E2X?3故選：C.【變式1-1】（2022春·北京大興·高二期末）已知離散型隨機(jī)變量X的期望EX=1，則E2X+1A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】直接利用期望的性質(zhì)即可得解.【解答過程】解：因?yàn)镋X所以E2X+1故選：C.【變式1-2】（2022春·河北保定·高二階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξξ>0滿足E2?3ξ+E2A．?1或4 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)均值的性質(zhì)可得E2?3ξ=3Eξ，則E【解答過程】因?yàn)镋2?3ξ+E解得Eξ=4或故選：D.【變式1-3】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）已知X的分布列為：X-101P11a設(shè)Y=2X+1，則Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)的值是(

)A．?16 B．16 C．【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算公式及性質(zhì)求解.【解答過程】由已知得12+1故選：C.【題型2方差的有關(guān)性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合方差的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】（2022春·重慶沙坪壩·高二階段練習(xí)）設(shè)X，Y為隨機(jī)變量，且E(X)=2,EX2=6,Y=2X?1，則D(Y)=A．9 B．8 C．5 D．4【解題思路】根據(jù)方差的公式求得DX，再根據(jù)方差的性質(zhì)求解D【解答過程】由題意，DX=E故選：B.【變式2-1】（2022春·山東淄博·高二期末）已知隨機(jī)變量X的方差為DX=3，則D1A．9 B．3 C．13 D．【解題思路】根據(jù)DaX+b【解答過程】∵D1故選：C．【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：236P11a則D(3X+2）的值為（

A．2 B．6 C．8 D．18【解題思路】根據(jù)概率之和等于1求得a，再根據(jù)期望公式和方差公式求出期望與方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)即可得解.【解答過程】解：根據(jù)分布列可知12+1EXDX所以D(3X+2）故選：D.【變式2-3】（2022春·河北·高二校聯(lián)考期中）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X?2012Pn11m若E(X)=0，則D(3X?1)=（

）A．6 B．7 C．20 D．21【解題思路】先由概率和為1以及E(X)=0求出m=16,n=13【解答過程】由題可知m+n+13+則D(X)=13×故選：D.【題型3離散型隨機(jī)變量的均值的求法】【方法點(diǎn)撥】第一步，理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X的所有可能取值；第二步，求X取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步，寫出X的分布列，由均值的定義來求均值.【例3】（2022秋·上海金山·高三期中）已知某隨機(jī)變量X的分布為X?101P0.30.2m則EX等于（

A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．無法確定【解題思路】利用分布列的性質(zhì)求得m，再利用隨機(jī)變量期望公式可求解.【解答過程】由分布列的性質(zhì)得0.3+0.2+m=1，所以m=0.5，根據(jù)隨機(jī)變量期望公式，得EX故選：C.【變式3-1】（2022春·北京順義·高二期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于（

）X012P0.2a0.5A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出a，再根據(jù)期望公式計(jì)算可得；【解答過程】解：依題意可得0.2+a+0.5=1，解得a=0.3，所以EX故選：D.【變式3-2】（2022春·江蘇徐州·高二期中）設(shè)a為正實(shí)數(shù)，若隨機(jī)變量X的分布列為PX=i=i2ai=1,2,3A．3 B．1 C．73 D．【解題思路】先由概率和為1，求出a，再求EX【解答過程】因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列為PX=i所以12a解得：a=3.所以EX故選：C.【變式3-3】（2022春·江蘇連云港·高二期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X012P0.64q21－2q則E(X)=（

）A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8【解題思路】由概率之和為1可求出q的值，再根據(jù)分布列直接計(jì)算均值..【解答過程】由題可得0.64+1?2q+q解得q=0.4或q=1.6，當(dāng)q=1.6時(shí)，1?2q=?2.2<0，不符合題意，舍去，∴q=0.4；所以可得分布列為X012P0.640.160.2∴E(X)=0×0.64+1×0.16+2×0.2=0.56，故選：A.【題型4離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差】【方法點(diǎn)撥】第一步，理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X的所有可能取值；第二步，求X取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步，寫出X的分布列，由均值的定義來求均值.第四步，利用方差的計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例4】（2022春·遼寧錦州·高二期末）隨機(jī)變量X的分布列是X?112Pab1若E2X+1=2，則DXA．1 B．4 C．117 D．【解題思路】根據(jù)E2X+1=2以及a+b+13=1【解答過程】依題意a+b+13EX=?a+b+23由①②解得a=512,b=所以DX故選：D.【變式4-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為：X12Pab則隨機(jī)變量X的方差DX的最大值為（

A．14 B．12 C．1【解題思路】由隨機(jī)變量X的分布列，求出DX【解答過程】解：由題意可得a+b=1，EX則DX當(dāng)b=12，DX故選：A．【變式4-2】（2022秋·遼寧·高三階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若EX=2，則DXX123P1mnA．23 B．43 C．【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)以及EX=2，列出方程，解得【解答過程】由題意可得m+n=2由EX=2得：兩式聯(lián)立解得m=1故DX故選:A.【變式4-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)0<m<1，隨機(jī)變量的分布列為：ξ0m1Pa12a?1則當(dāng)m在0,1上增大時(shí)（

）A．Dξ單調(diào)遞增，最大值為B．Dξ先增后減，最大值為C．Dξ單調(diào)遞減，最小值為D．Dξ先減后增，最小值為【解題思路】根據(jù)方差公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得.【解答過程】由題知a3+1所以E(ξ)=0+所以D=2由二次函數(shù)性質(zhì)可知，Dξ在0,12所以當(dāng)m=12時(shí)，Dξ故選：D.【題型5兩點(diǎn)分布的均值與方差】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)兩點(diǎn)分布的定義，結(jié)合均值、方差的性質(zhì)和計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若PX=1?PX=0=0.4，則A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【解題思路】由題意可得P(X=1)+P(X=0)=1，再結(jié)合PX=1?PX=0=0.4【解答過程】由題意得P(X=1)+P(X=0)=1，因?yàn)镻X=1所以解得P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3，所以EX故選：D.【變式5-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，滿足PX=0=29PX=1，且PA．13 B．12 C．2【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)分布的性質(zhì)可得PX=0+PX=1【解答過程】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，所以PX=0則PX=1+29PX=1又因PX=0所以PX=1=2所以EX故選：C.【變式5-2】（2022春·廣東中山·高二階段練習(xí)）某運(yùn)動(dòng)員罰球命中得1分，不中得0分，如果該運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球一次的得分X的方差為（

）A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.2【解題思路】直接利用期望公式與方差公式求解即可.【解答過程】∵P∴E∴D故選：B.【變式5-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和A，且P(A)=m，令隨機(jī)變量ξ=1,A發(fā)生0,A不發(fā)生，則ξ的方差A(yù)．m B．2m(1?m) C．m(m?1) D．m(1?m)【解題思路】先求得隨機(jī)變量ξ的分布列，結(jié)合期望和方差的公式，即可求解.【解答過程】由題意，隨機(jī)變量的分布列如下表：ξ01P1?mm則EDξ故選：D.【題型6均值與方差的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)審題，確定實(shí)際問題是哪一種概率模型以及可能用到的事件類型和公式.(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值、方差.(3)對(duì)照實(shí)際意義，回答概率、均值、方差等所表示的結(jié)論.【例6】（2023秋·安徽宿州·高二期末）我市擬建立一個(gè)博物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層師選，甲?乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo)．現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題，已知這6個(gè)招標(biāo)問題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為23，甲?(1)求甲公司至少答對(duì)2道題目的概率；(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲?乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大？【解題思路】(1)利用超幾何分布求出甲公司回答對(duì)2道題和回答對(duì)3道題的概率，即可求出結(jié)果.(2)分別求甲、乙兩家公司答對(duì)題數(shù)的分布列，再求兩個(gè)隨機(jī)變量的期望和方差，由此作出判斷.【解答過程】（1）由題意可知，甲公司至少答對(duì)2道題目可分為答對(duì)兩題或者答對(duì)三題；所求概率P=（2）設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為X，則X的取值分別為1,2,3．PX=1則X的分布列為：X123P131∴EXDX設(shè)乙公司正確完成面試的題為Y，則Y取值分別為0,1,2,3．PY=0=1PY=2=則Y的分布列為：Y0123P1248∴EYDY由EX【變式6-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為14,1(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．【解題思路】（1）由題意兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，然后求出相應(yīng)的概率即可；（2）確定ξ的所有可能取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，得出分布列，進(jìn)一步求解均值和方差即可．【解答過程】（1）兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，甲、乙兩人2小時(shí)以上且不超過3小時(shí)離開的概率分別為1－14－12＝14，1－16－兩人都付0元的概率為P1＝14×16＝兩人都付40元的概率為P2＝12×23＝兩人都付80元的概率為P3＝14×16＝則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝124＋13＋124（2）ξ的所有可能取值為0，40，80，120，160，則P(ξ＝0)＝14×16＝P(ξ＝40)＝14×23＋12×1P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14P(ξ＝120)＝12×16＋14×2P(ξ＝160)＝14×16＝所以ξ的分布列為ξ04080120160P11511E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×1D(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×【變式6-2】（2023·北京·高三專題練習(xí)）開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)、幫助家長(zhǎng)解決接送學(xué)生困難的重要舉措，是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)方案的支持情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取100個(gè)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學(xué)生支持方案二的條件下，該學(xué)生是女生的概率；(2)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)在（2）中，Y表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差DX與D【解題思路】（1）利用古典概型的概率公式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意可得X的可能取值為0,1,2，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可列出分布列，利用隨機(jī)變量的期望公式即可求解；（3）根據(jù)已知條件得出Y=2?X，再利用方差的性質(zhì)即可求解.【解答過程】（1）依題意支持方案二的學(xué)生中，男生有25人、女生35人，所以抽到的是女生的概率P=35（