本溪高中2023-2024學年度高考適應性測試（一）數(shù)學試題（含答案）

高三數(shù)學第高三數(shù)學第頁絕密★使用前本溪高中2023-2024學年度高考適應性測試（一）高三數(shù)學考生注意：1.本試卷共150分,考試時間120分鐘。分四大題，22小題，共4頁2.請將各題答案填寫在答題卡上。3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容一、單選題（每題只有一個選項是正確答案，每題5分，共40分）1．甲烷分子式為，其結構抽象成的立體幾何模型如圖所示，碳原子位于四個氫原子的正中間位置，四個碳氫鍵長度相等，且任意兩個氫原子等距排列，用表示碳原子的位置，用表示四個氫原子的位置，設，則（

）A． B． C． D．2．設函數(shù)是定義在上周期為的函數(shù)，且對任意的實數(shù)，恒，當時，．若在上有且僅有三個零點，則的取值范圍為A． B． C． D．3．已知a，b，，且，，，則（

）A． B． C． D．4．如圖所示，圓錐的軸截面是以為直角頂點的等腰直角三角形，，為中點．若底面所在平面上有一個動點，且始終保持，過點作的垂線，垂足為．當點運動時，①點在空間形成的軌跡為圓②三棱錐的體積最大值為③的最大值為2④與平面所成角的正切值的最大值為上述結論中正確的序號為（

）．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③5．若橢圓上的點到右準線的距離為，過點的直線與交于兩點，且，則的斜率為A． B． C． D．6．函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．37．已知函數(shù)，有且只有一個負整數(shù)，使成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．若平面向量，，滿足，，，且，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．二、多選題（每題至少有一個選項為正確答案，少選且正確得3分，每題5分，共20分）9．若直線與曲線滿足下列兩個條件：（1）直線在點處與曲線相切；（2）曲線在點附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點處“切過”曲線.下列結論正確的是（

）A．直線在點處“切過”曲線B．直線在點處“切過曲線C．直線在點處“切過”曲線D．直線在點處“切過”曲線10．在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，A1A=A1C．E，F(xiàn)分別是線段AC，A1B1上的點．下列結論成立的是（

）A．若AA1=AC，則存在唯一直線EF，使得EF⊥A1CB．若AA1=AC，則存在唯一線段EF，使得四邊形ACC1A1的面積為C．若AB⊥BC，則存在無數(shù)條直線EF，使得EF⊥BCD．若AB⊥BC，則存在線段EF，使得四邊形BB1C1C的面積為BC·EF11．疫情當下，通過直播帶貨來助農(nóng)，不僅為更多年輕人帶來了就業(yè)崗位，同時也為當?shù)剞r(nóng)民銷售出了農(nóng)產(chǎn)品，促進了當?shù)氐慕?jīng)濟發(fā)展.某直播平臺的主播現(xiàn)要對6種不同的臍橙進行選品，其方法為首先對這6種不同的臍橙（數(shù)量均為1），進行標號為1~6，然后將其放入一個箱子中，從中有放回的隨機取兩次，每次取一個臍橙，記第一次取出的臍橙的標號為，第二次為，設，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則（

）A． B．事件與互斥C． D．事件與對立12．過直線上一點作拋物線的兩條切線，設切點分別為，記是線段的中點，則（

）A．直線經(jīng)過該拋物線的焦點B．直線軸C．線段的中點在該拋物線上D．以線段為直徑的圓與拋物線的準線相交三、填空題（每題5分，共20分）13．已知，對于任意的實數(shù)，在區(qū)間上的最大值和最小值分別為和，則的取值范圍為.14．如圖，正方形ABCD的邊長為，O是BC的中點，E是正方形內(nèi)一動點，且，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)至線段DF，若，則的最小值為.15．已知常數(shù)，函數(shù)、的表達式分別為、．若對任意，總存在，使得，則a的最大值為．16．已知正的邊長為1，為該三角形內(nèi)切圓的直徑，在的三邊上運動，則的最大值為.四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17．已知數(shù)列滿足，(1)令，求，及的通項公式；(2)求數(shù)列的前2n項和.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.為的中點，點在上，且.(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得點到平面的距離為，若存在求出點的位置，不存在請說明理由.19．如圖,某小區(qū)為美化環(huán)境,建設美麗家園,計劃在一塊半徑為R（R為常數(shù)）的扇形區(qū)域上,建個矩形的花壇CDEF和一個三角形的水池FCG.其中,O為圓心,,C,G,F在扇形圓弧上,D,E分別在半徑OA,OB上,記OG與CF,DE分別交于M,N,.（1）求△FCG的面積S關于的關系式,并寫出定義域；（2）若R=10米,花壇每平方米的造價是300元,試問矩形花壇的最高造價是多少？（?。?0．某疫苗生產(chǎn)單位通過驗血的方式檢驗某種疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，需要檢驗n次；方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本混合檢驗，若混合血樣無抗體，說明這k份血液樣本全無抗體，只需檢驗1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對每份血液樣本再分別化驗一次，檢驗總次數(shù)為次．假設每份樣本的檢驗結果相互獨立，每份樣本有抗體的概率均為．(1)現(xiàn)有7份不同的血液樣本，其中只有3份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；(2)現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為；采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為．①若，求P關于k的函數(shù)關系式；②已知，以檢驗總次數(shù)的期望為依據(jù)，討論采用何種檢驗方式更好？參考數(shù)據(jù)：．21．已知橢圓的左焦點為，過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，且.(1)求橢圓的離心率；(2)橢圓的上頂點為，不過的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，若，試問直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.22．已知函數(shù)．(1)當，分析函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，若函數(shù)與的圖象有且只有一條公切線，求的值本溪高中2023-2024學年度高考適應性測試（一）數(shù)學參考答案1．B【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)，以及正四面體的中心的位置關系，求碳原子和氫原子的距離，再結合余弦定理求，最后根據(jù)二倍角公式求【詳解】由題意可知，氫原子構成如圖所示的正四面體，碳原子是正四面體的中心，如圖，連結并延長交平面于點，平面,設兩個氫原子距離為，則，，設，中，，得，則中，

.故選：B2．C【分析】根據(jù)函數(shù)的周期和奇偶性作出和在上的圖象,根據(jù)交點個數(shù)列出不等式求出的范圍.【詳解】，是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期和奇偶性作出的圖象如圖所示,在上有且僅有三個零點，和的圖象在上只有三個交點，結合圖象可得，解得，即的范圍是，故選C.【點睛】函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學習的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)的零點函數(shù)在軸的交點方程的根函數(shù)與的交點.3．B【分析】將轉(zhuǎn)化為、轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，作出的圖像，根據(jù)，可得.【詳解】構造函數(shù)（），，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，可轉(zhuǎn)化為，可轉(zhuǎn)化為，可轉(zhuǎn)化為，下面比較的大小關系，顯然：，，設，由和的圖像可知：當時，，而，所以，所以，即.,

設，和的圖像如圖所示：因為，所以，使得，所以當時，，而，所以，所以，即，綜上：,則分別函數(shù)與直線的交點橫坐標，如圖所示：由圖可知：.故選：B【點睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.4．D【分析】建立空間坐標系，運用空間向量知識求解出點的軌跡方程，再運用三棱錐體積、線面角等相關知識進行選項判定.【詳解】建系如圖，為等腰直角三角形，在所在圓上，設，，，則M的軌跡為圓，是以OA為直徑在xoy面上的圓.又隨著M運動，H軌跡是以OC為直徑的圓，故①正確②由圖可得，B到面COH的距離為1，，故②正確；③設，則，，，當時等號成立，即當H運動到點C時，，故③正確；④由①知H在以OC為直徑的圓上，且該圓所在的平面與平面PAB垂直，由對稱性，只考慮C在上半圓，如圖，過H作，過B作，則BH與平面PAB所成的角為，又，，故④錯誤.綜上所述，正確的序號為①②③故選：D【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是能夠建立空間坐標系，用空間向量知識進行求解，具有較強的綜合能力.5．B【解析】點代入橢圓方程，點到準線距離和，解得，由，得，聯(lián)立直線與橢圓方程得到，聯(lián)立消去即可求出【詳解】解：由題意可得，解得，所以橢圓，設：,設因為，所以由得則結合，聯(lián)立消去解得故選：B.【點睛】在運用圓錐曲線問題中的設而不求方法技巧時，需要做到：①凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實施“設而不求”；②“設而不求”不可避免地要設參、消參，而設參的原則是宜少不宜多.6．D【分析】將原函數(shù)零點看做函數(shù)與函數(shù)的交點，根據(jù)單調(diào)性和零點存在定理求解.【詳解】令，，其中是奇函數(shù)，是二次函數(shù)，也是偶函數(shù)，令則是偶數(shù)，共有3個零點，當時，

，，時，；根據(jù)對稱性當時，，時，；由條件：

，，令，則有，顯然是偶函數(shù)，當時是增函數(shù)，當時，，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，再根據(jù)對稱性，大致圖像如下圖：原函數(shù)，等價于求與的交點的個數(shù)，有2個零點：，當時，，無交點；當時，

，，存在一個交點，當時，，存在一個交點，

當x趨于時，由于，并且，的增長速度明顯大于，必然存在一個交點，所以有3個交點；故選：D.7．A【分析】將問題轉(zhuǎn)化有且只有一個負整數(shù)解，構造函數(shù)與，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值，并在同一坐標系分別作出函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結合即可求解.【詳解】已知函數(shù)，則有且只有一個負整數(shù)解.令，則，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，當時，取得最小值為.設，則恒過點在同一坐標系中分別作出和的圖象，如圖所示顯然，依題意得且即且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】關鍵點睛：將問題轉(zhuǎn)化為有且只有一個負整數(shù)解，構造函數(shù)與，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值，作出函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結合即可.8．B【分析】由題目條件可先求出，再根據(jù)向量模的不等式求出的值域，由即可求出.【詳解】由題意得，又因為，所以，當與同向時，，與反向時，，又因為，所以，故選：B【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，平面向量模的不等式，根據(jù)題目中的條件以為中間量是解題的關鍵.9．ABD【分析】分別求得曲線的導數(shù)，可得切線的斜率，得到切線方程，分別判斷切點附近曲線的是否在直線兩側(cè)，即可得到結論.【詳解】對于A，由，得，則從而可得曲線在點處的切線為.當時，，當時，，則曲線在點附近位于直線的兩側(cè)，故A正確.對于B，由，得，則，從而可得曲線在點處的切線為.因為，故當時，，當時，，則曲線在點附近位于直線的兩側(cè)，故B正確.對于C，由，得，則，從而可得曲線在點的切線為.因為，所以，則曲線在點附近位于直線的同側(cè)，故C錯誤.對于D，由得，則，從而可得曲線在點處的切線為.令，則且，，故且，當時，；當時，，故在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在上，，在上，故當且僅當時等號成立，故當時，，當時，，故當時，，當，，則曲線在點附近位于直線的兩側(cè)，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查新定義的理解，考查轉(zhuǎn)化思想與抽象思維能力，考查運算能力，屬于綜合題題.10．BCD【分析】A.易知，作，過作的平行線，與交于點F，證得平面，在AB上取一點H，作，得到平面平面，再根據(jù)點H有無數(shù)個判斷；B.根據(jù)是正三角形，設是中點，與重合，則，求得四邊形的面積為，再分析不是中點，或不與重合時，線段的長度變化判斷；C.根據(jù)，設是中點，記中點為，則，再結合B的結論判斷；D.設是中點，是中點，記中點為，得到四邊形是平行四邊形，再結合C的結論判斷.【詳解】如圖所示：因為AA1=AC，則平行四邊形是菱形，則，作，因為平面平面，所以平面，則，過作的平行線，與交于點G，則，又，則平面，在AB上取一點H，作，分別交線段AC，A1B1上于點E，F(xiàn)，易得平面，平面，又，所以平面平面，則平面HEF，所以，因為點H有無數(shù)個，所以有無數(shù)條直線EF，使得EF⊥A1C，故A錯誤．如圖所示：若，則是正三角形，設是中點，與重合，則，且四邊形的面積為．∵平面平面，∴平面，∴平面．∵平面，∴當不是中點，或不與重合時，線段的長度將增加，四邊形的面積不再等于．故B正確．如圖所示：若，設是中點，記中點為，則．由結論B知，∴平面．由于，，即，∴直線與確定的平面就是平面．∴為線段上任意一點，都有，故C正確．如圖所示：設是中點，是中點，記中點為，則，．又，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，．根據(jù)結論C，，∴，∴平行四邊形的面積為，即四邊形的面積為．所以D正確．故選：BCD11．BC【分析】根據(jù)有放回的隨機取兩次結果36種逐個分析判斷即可解決.【詳解】由題知，從中有放回的隨機取兩次，結果有（記為）：共36種，若，此時取或所以，故A錯誤；若，則恒成立，所以與互斥，故B正確；，故C正確；當時，，此時事件與均未發(fā)生，所以事件與不對立，故D錯誤.故選：BC12．BC【分析】首先證明過拋物線上一點的切線方程結論，利用結論即可得到切點弦所在直線方程，即可判斷A，求出點的坐標，從而得到即可判斷B，求出的中點，代入拋物線方程即可判斷C，對D舉反例即可.【詳解】首先推導拋物線的切線方程，設過拋物線上一點的切線的斜率為,則，由點斜式得切線方程為：，聯(lián)合拋物線方程，有：消去，得，相切,，即,整理得:，，點是拋物線上的點,，，，代入得:,整理,得即:，當不存在時，此時，切線方程為，適合上式切線方程，所以，過拋物線上一點的切線的方程為:.故對于本題來說，設對A，則過點的切線方程為，代入坐標有過點的切線方程為，代入坐標有故切點弦方程為，當時，，故過定點，而拋物線焦點坐標為，故A錯誤；對B，由切于的切線方程,切于的切線方程，，解得，而，則，故B正確；對C，，故，故的中點為，代入拋物線方程有，故的中點在拋物線上，故C正確；對D，取，此時切點弦所在直線方程為：，即，此時中點即圓心的坐標為，當時，，，故圓的半徑為，而圓心到準線的距離為，故此時直線與圓相離，故D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：（1）拋物線上一點的切線的方程為:.（2）過橢圓上一點的切線的方程為；（3）過雙曲線上一點的切線的方程為；13．【分析】題目等價于在區(qū)間上的取值范圍，分類，，三種情況，分別計算得到答案.【詳解】表示向左平移個單位，向上平移個單位.不影響的取值范圍，等價于在區(qū)間上的取值范圍.畫出函數(shù)圖像：當時：；當時：；當時：.綜上所述：故答案為【點睛】本題考查了函數(shù)的最大值最小值，等價轉(zhuǎn)化和分類討論是常用的方法，需要熟練掌握.14．【分析】以點B為坐標原點,BC,BA所在直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標系,設,寫出相關點的坐標,并根據(jù)題意建立等量關系,進而利用三角函數(shù)的性質(zhì)進行解題.【詳解】以點B為坐標原點,BC,BA所在直線分別為x,y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則,,,,,.設,則.又,,所以,所以,所以.又,所以,從而.因為點E是正方形ABCD內(nèi)一動點,所以,所以當時,取最小值,為.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的坐標表示,考查考生的數(shù)形結合能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力以及運算求解能力.試題以正方形為載體,結合旋轉(zhuǎn)考查向量知識,通過建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?將向量知識遷移到幾何情境中考查,重點考查直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).15．【分析】求出函數(shù)在上的最大值，分類探討函數(shù)在上的最大值，再根據(jù)給定條件列出不等式求解判斷作答.【詳解】依題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當時，，因?qū)θ我?，總存在，使得，則存在，成立，則當時，成立，而函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，當時，，因此，在上的最大值只能在上取得而當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當，即時，在上單調(diào)遞增，，由解得，于是得，當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，此時不存在使得成立，綜上得，即，所以a的最大值為.故答案為：【點睛】結論點睛：函數(shù)，，若，，有成立，則.16．【分析】變換得到，則點為的頂點時取最大值，計算得到答案.【詳解】正的邊長為1，則高為，內(nèi)切圓半徑為如圖所示，，當點為的頂點時，取得最大值，所以的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查了向量的最值計算，變換得到是解題的關鍵.17．(1)，，(2)【分析】（1）利用題給條件即可求得，的值；先由遞推關系判定數(shù)列為等比數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公式；（2）分別求得數(shù)列的奇數(shù)項的通項公式和偶數(shù)項的通項公式，利用分組求和的方法即可求得數(shù)列的前2n項和.【詳解】（1）由題意得，，，，，，，，當時，，又，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，所以，所以.18．(1)證明見解析(2)靠近B的三等分點【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，結合垂直關系的轉(zhuǎn)化，即可正面線面垂直；（2）根據(jù)（1）的結果，作出平面與四棱錐的截面，通過點的轉(zhuǎn)化，以及等體積轉(zhuǎn)化，求得點到平面的距離，再根據(jù)比例關系，確定點的位置.【詳解】（1）取的中點，連結，則四邊形是正方形，

則，，所以，且所以,所以，因為平面平面，平面平面，PA在面PAB內(nèi)，所以平面；（2）

在上取點，使，連結，在上取點，使，在上取點，使，連結，則，且，則，即，且，則四邊形是平行四邊形，所以，且，即，則，所以四點四點共面，連結，，因為，所以點三點共線，所以五點共面，即與平面交于點，由（1）可知，平面，平面，所以，且，，且平面，所以平面，平面，所以，且是等腰直角三角形，點為的中點，所以，且，平面，所以平面，,所以，，，，所以，即，因為，所以，設點到平面的距離為，則，即，所以，因為點是的中點，所以點到平面的距離也是，若點到平面的距離為，則,所以存在點，使得點到平面的距離為，點為靠近點的三等分點.19．(1).(2)17320元【分析】（1）利用圓的幾何性質(zhì)證得，利用表示出，由此求得三角形面積的表達式，并求得的取值范圍.（2）求得，由此求得矩形面積的表達式，利用輔助角公式，結合三角函數(shù)求最值的方法，求得矩形面積的最大值，從而求得最高造價.【詳解】（1）連接OF,因為,所以,易得,所以.

因為,所以,所以,,所以.（2）因為,所以,所以

.因為,所以當時,最大.故矩形花壇的最高造價是元.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)在實際生活中的應用，考查扇形中的三角形、矩形面積計算，考查三角函數(shù)輔助角公式以及三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.20．(1)(2)答案見解析【分析】（1）分為兩種情況，一種是前三次檢驗中，其中兩次檢驗出抗體，第四次檢驗出抗體，二是前四次均無抗體，再結合概率公式即可求解；（2）①由已知得，的所有可能取值為1，，求出相應的概率，再由可求得P關于k的函數(shù)關系式；②由得（且），構造函數(shù)，利用導數(shù)求解其單調(diào)區(qū)間，討論可得結果.【詳解】（1）設恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來為事件，事件分為兩種情況，一種是前三次檢驗中，其中兩次檢驗出抗體，第四次檢驗出抗體，二是前四次均無抗體，所以，所以恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率為，（2）①由已知得，的所有可能取值為1，，所以，，所以，若，則，所以，，所以，得，所以P關于k的函數(shù)關系式（且）②由①知，，若，則，所以，得，所以（且）令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，