2023年高考數(shù)學(xué)第36講怎樣解立體幾何中的最值問題

第36講怎樣解立體幾何中的最值問題

一、知識(shí)概要

解答立體幾何中的有關(guān)最值或范圍問題，通常用函數(shù)思想方法.通過設(shè)出適當(dāng)?shù)淖兞?、建立函?shù)關(guān)

系,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(或值域)的問題，解題時(shí)耍弄清哪些是定值朋I!些是變量，變量的取值范圍

是什么，如何根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系，如何求函數(shù)的最值等.

要重視立體幾何中通過構(gòu)造函數(shù)模型或幾何模型解題的訓(xùn)練，重視空間想象能力以及計(jì)算能力

的培養(yǎng).

二、題型精析

[例1]

(1)如圖3—106,在正三棱柱ABC—中,各棱的長(zhǎng)均為2,M是的中點(diǎn),N是的中

點(diǎn)，點(diǎn)M在棱柱表面上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N,應(yīng)如何運(yùn)動(dòng)，才能使點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程最短，并求出最短路程；

⑵在正三棱錐P-ABC中，AB=a,PA=2。，過A作平面分別交平面PBC于DE.當(dāng)截而

ADE的周長(zhǎng)最小時(shí),SADE=,P到截面ADE的距離為.

圖3-106

【策略點(diǎn)擊】

求解點(diǎn)在幾何體表面上運(yùn)動(dòng)路程最短的問題，通常將幾何體表面展開成平面圖形,化歸為平面圖

形內(nèi)兩點(diǎn)間的距離,有時(shí)侯對(duì)如何將幾何體展開成平面圖形可以有不同的展開角度，所以還要分

類討論獲得正確的結(jié)果.第(2)問又把問題引向深入，解決面積和點(diǎn)到截面的距離問題.

解：(1)觀察圖3-106,從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的路程最短可能情況有兩種:

M

M

ffl3-107圖3-108

⑴經(jīng)面4B和面Bq到N淇最短路程是側(cè)面展開圖（圖3-107）中的線段MN的長(zhǎng)，由己知條

件可求得AM=1,AN=3,MN=.

⑵經(jīng)面AC和下底面到點(diǎn)N淇最短路程如展開圖（圖3-108）中的線段MN的長(zhǎng).

MA=1,NA=?NMAN=120.

MN-=AM2+AN2-2AM-AN-cosl20=4+技即MN=44+6.

4+g<10,.?.點(diǎn)M在棱柱表面上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的最短路程是J4+J3.

⑵將三棱錐的側(cè)棱R4剪開，當(dāng)..ADE的周長(zhǎng)最小時(shí)淇展開圖如圖3-109所示的周長(zhǎng)

即是展開圖中線段A4'的長(zhǎng)，易證,ABZXZPAB.

圖3T09

又PA=2AB=2a,故AD=AB=28O=a.

3PD3

PD=PB-BD=-a,DE=——BC=-a.

2PB4

在中,DE上的高A”=JA＞一(gOEj=艮

18

37552

于是S=二-Q；

64

從P向底面作高P。,則PO=^PA2-AO2=.(2a)2-

TSIZ1V33

于7E%_A8c--X^—n

312

2

qPD9,曰1Z_9.._9而3_3VH3

又VPDE―=—得噎布％區(qū)=旅五°.

2

°qPBCPB16

則匕-皿=%.OE=gd?S仞￡=等心解得dWa.

364J

【例2】

(1)如圖3-110所示，在圓錐中，母線長(zhǎng)為2,底面半徑為1.一只蟲子從底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)沿

2

圓錐表面爬行一周后又回到A點(diǎn)，則這只蟲子爬行的最短路程是多少？

(2)如圖3-111所示.圓臺(tái)的上底面半徑為西，下底面半徑為岫，母線長(zhǎng)為6fh.求軸截面

相對(duì)頂點(diǎn)AC在圓臺(tái)側(cè)面上的最短距離.

圖

S3-1103-111

【策略點(diǎn)擊】

空間圖形一平面圖形，第(1)問，將圓錐側(cè)面沿母線展開得到扇形，弧所對(duì)的弦長(zhǎng)即為所求

的最短距離.第(2"可，展開圓臺(tái)側(cè)面，ac兩點(diǎn)所成線段長(zhǎng)即為所求的最短距離。

【解】

(1)如圖3-112所示.將圓錐側(cè)面沿母線S4展開得到扇形A'S4,聯(lián)結(jié)A4',則線段AA即為蟲子所

爬最短路程，設(shè)/AS4=夕,則夕2=2%x1,

2

:.0=~,:工ASA為等腰直角三角形.44'=^22+22=272.

2

故蟲子爬行的最短路程為2&.

⑵沿母線AO剪開將圓臺(tái)側(cè)面展開，如圖3-113所示，問題即轉(zhuǎn)化為求展開圖中線段AC的長(zhǎng).

■側(cè)面展開圖圓心角e=號(hào)??24=常?2萬(wàn)=日,且民C分別為所在弧的中點(diǎn)，

TT

在等腰_A06中，ZAOB=~,得二AOB是等邊三角形.

3

DC=OC-=2TT,:.0C=6,而8C=6,C為OB中息，..AC=6M.

3

即A,C兩點(diǎn)在圓臺(tái)側(cè)面上的最短距離為.

【例3】求半徑為R的球內(nèi)接正三棱錐體積的最大值.

【解題策略】

球的內(nèi)接正三棱錐問題求解的關(guān)鍵是呂求球的半徑與三棱錐的底面邊長(zhǎng)與高之間的關(guān)系，而這

一關(guān)系可以在球與正三棱錐的軸截面圖中反映出來(lái).根據(jù)球與正三棱錐的對(duì)稱性,球心一定在正

三錐的高上，由軸截面圖中正三棱錐底面邊長(zhǎng)或高與球半徑之間的關(guān)系，建立關(guān)于正三棱錐體積

關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求正三棱錐體積的最大值.

【解法一】

如圖3-114所示，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，由正三棱錐的性質(zhì)知O'A=1叵ax2=1叵〃.

233

設(shè)正三棱錐的高位〃，球半徑為R,則在Rt.A。。中，

R2-（h-R）2,:.a2=3fi（2R-h）.

因此V=-x^a2h=—h2（2R-h}=--h3+—h2R（0<h<2R）

344''42

由V，（/z）=一苧/+6〃尺=0,得力=\R

故當(dāng)〃=3R時(shí)，正三棱錐體積的最大值丫（&穴]=述7?3.

3V3）27

【解法二】

A

本題在求出V=—/Z2（2/?-/Z）（0</?<2R）后，還可以用基本不等式求最大值：

,6,2小"e「〃+〃+（4R—2/Z）Ty/364R'86n3

V7=-h-（2R-h]=—h-h（4R-2h）?---------------L=--------=^—R，

4''8''83J82727

4

當(dāng)且僅當(dāng)/Z=4A—2/7,即/z=?R時(shí)等號(hào)成立.

3

故當(dāng)力=9R時(shí)，正三棱錐體積的最大值丫（芻7?1=8叵R\

3U）27

方法提煉

1要善于降維轉(zhuǎn)換，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理求解空間幾何體（多面體和旋轉(zhuǎn)體）

表面上的距離最短問題的一般方法是將空間幾何體表面展開,轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間距離的問題,

這是求空間幾何體表面上最短距離的一種常用方法,由于有時(shí)將空間幾何體表面展開可以有多

個(gè)角度，求解時(shí)應(yīng)注意根據(jù)需要分類討論.

2函數(shù)法求解立體幾何中的最值問題具有普溫性

（1）建立目標(biāo)函數(shù)法是求解與立體幾何動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問題的常見的方法.實(shí)質(zhì)是將動(dòng)態(tài)問題

轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)問題，利用函數(shù)與方程的思想方法探求目標(biāo)函數(shù)的最值或值域

（2）在建立了目標(biāo)函數(shù)后，根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征選擇相應(yīng)求函數(shù)最值或值域的方法，如用

一次函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)配方法、三角函數(shù)有界性，均值不等式.高次函數(shù)導(dǎo)數(shù)法等.

三、易錯(cuò)警示

【例】

有一棱長(zhǎng)為。的正方體骨架，其內(nèi)放置一氣球,使其充氣盡可能地大（仍保持為球的形狀）,則氣球

表面積的最大值為.

【錯(cuò)解】

球最大時(shí)為正方體的內(nèi)切球，所以球的直徑為。，球的表面積為乃/.

【評(píng)析及正解】

上述解法沒有弄清正方體骨架是一個(gè)空架子，球最大時(shí)與正方體的各棱相切，而不是與面相切，

所以直徑應(yīng)為,故正確答案應(yīng)為2啟.

四、難題攻略

【例】

正四棱錐S-ABC。側(cè)棱長(zhǎng)為/，相鄰側(cè)面的二面角多大時(shí)，其體積最大.

【破難析疑】

若設(shè)相鄰側(cè)面的二面角為明則可用割補(bǔ)法將正四棱錐的體積表示為4的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)與方程

的思想方法求體積的最大值并確定此時(shí)相鄰側(cè)面二面角的大小。本題的關(guān)鍵之處是建立正四棱

錐S-ABCD的體積與二面角a之間的關(guān)系并轉(zhuǎn)化為如何求此函數(shù)的最大值。

【解】

如圖3-115所示，作BE_LSC,聯(lián)結(jié)。邑易證，BEC=.DEC,可得DE1SC,則NBED即為

相鄰二面角的平面角，記為a.而三棱錐S-8C。是正四棱錐S-ABCD的一半，故問題轉(zhuǎn)化為

當(dāng)三棱錐S-88的體積丫最大時(shí)求a的值.

圖3-H5

SC±BE,SC±DE,BEcDE=E,:.SC±平面BDE.

.?.借用平面BDE把三棱錐S—BOC分割成兩個(gè)都以右加應(yīng)為底面的小三棱錐S—BDE和

C-BDE,由于每一個(gè)小三棱錐的體積都是a的函數(shù).則分割后的兩個(gè)小三棱錐體積之和等于三

棱錐S—BCD體積V這個(gè)關(guān)系，便可建立起丫與a的關(guān)系，即

其中SME可用/與a表示，即