專訓12.2.2 用SAS判定全等+綜合應用-簡單數學之2021-2022學年八年級上冊考點專訓（解析版）（人教版）

專訓12.2.2用SAS判定全等+綜合應用一、單選題1．如圖，要測量池塘兩端M，N的距離，在池塘外找一點O，連接MO，NO并分別延長，使QO=MO，PO=NO，連接PQ．則只需測出線段PQ的長度，即可得池塘兩端M，N的距離，則證明兩個三角形全等的理由是(

)A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】A【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．【詳解】解：在△PQO和△NMO中，，∴△PQO≌△NMO（SAS），故選：A．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，正確掌握全等三角形的判定方法并結合實際是解題關鍵．2．已知：在中，求證：證明：如圖，作______在和中，其中，橫線應補充的條件是（）A．邊上高 B．邊上中線C．的平分線 D．邊的垂直平分線【答案】C【分析】根據全等三角形判定，即可選出．【詳解】證明：如圖，作的平分線在和中，故選C【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，屬于基礎題型．3．如圖，，，如果根據“”判定，那么需要補充的條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS”即邊角邊對應相等，只需找出一對對應邊相等即可，進而得出答案．【詳解】解：需要補充的條件是BF=CE，∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故選：D．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據已知結合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關健．4．如圖，將兩根鋼條AA′、BB′的中點O連在一起，使AA′、BB′能繞著點O自由轉動，就做成了一個測量工具，由三角形全等可知A′B′的長等于內槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】A【分析】由O是AA′、BB′的中點，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根據全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．【詳解】∵O是AA′、BB′的中點，∴AO＝A′O，BO＝B′O，在△OAB和△OA′B′中，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），故選：A．【點睛】此題主要全等三角形的應用，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要證明兩個三角形全等，必須有對應邊相等這一條件．5．如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，運用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需補充的條件是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE【答案】C【分析】證出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出結論．【詳解】解：補充BE＝CF，理由如下：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，若要利用SAS判定，B、D選項不符合要求，若A：AC=DF，構成的是SSA，不能證明三角形全等，A選項不符合要求，C選項：BE=CF，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），故選：C．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關鍵是熟知“SAS”的判定的特點．二、填空題6．如圖，，于，于，且，在線段上，在射線上，若與全等，則__________．【答案】6或8【分析】此題分兩種情況討論，情況一：，，時；情況二：，，，分情況求出AP即可．【詳解】解：∵于，于∴當，，時，與全等，此時；當，，時，與全等，此時；故答案為：6或8．【點睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．7．如圖，，，，點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動，設運動時間為，則當與全等時，點的運動速度為_________【答案】1或【分析】設點Q的運動速度是xcm/s，有兩種情況：①AP=BP，AC=BQ，②AP=BQ，AC=BP，列出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：設點Q的運動速度是xcm/s，∵∠CAB=∠DBA，∴△ACP與△BPQ全等，有兩種情況：①AP=BP，AC=BQ，則1×t=4-1×t，解得：t=2，則3=2x，解得：x=；②AP=BQ，AC=BP，則1×t=tx，4-1×t=3，解得：t=1，x=1，綜上所述，點的運動速度為1或；故答案為：1或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定的應用，掌握方程的思想和分類討論思想是解此題的關鍵．8．如圖，已知在四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點為線段的中點．如果點在線段上以3厘米/秒的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．當點的運動速度為___________厘米/秒時，能夠使與以，，三點所構成的三角形全等．【答案】3或【分析】分兩種情況討論，依據全等三角形的對應邊相等，即可得到點Q的運動速度．【詳解】解：設點P運動的時間為t秒，則BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①當BE＝CP＝6，BP＝CQ時，△BPE與△CQP全等，此時，6＝8﹣3t，解得t，∴BP＝CQ＝2，此時，點Q的運動速度為23厘米/秒；②當BE＝CQ＝6，BP＝CP時，△BPE與△CQP全等，此時，3t＝8﹣3t，解得t，∴點Q的運動速度為6厘米/秒；故答案為：3或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，解決問題的關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等．三、解答題9．如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個點C，從點C不經過池塘可以直接到達點A和B，連接并延長到點D，使，連接并延長到點E，使，連接，那么量出的長就是A、B的距離，為什么？請結合解題過程，完成本題的證明．

證明：在和中，∴∴____________【答案】，，，【分析】根據證明步驟填寫缺少的部分，從證明三角形全等的過程分析，利用了“邊角邊”，缺少角相等，填上一對對頂角，最后證明結論，依題意是要證明．【詳解】證明：在和∴∴【點睛】本題考查了三角形全等的證明過程，“邊角邊”兩邊夾角證明三角形全等，熟悉三角形全等的證明方法是解題的關鍵．10．如圖，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求證：△AOB≌△COD．【答案】證明見解析【分析】先證明∠DOC=∠BOA，再由邊角邊即可證明△AOB≌△COD．【詳解】解：由圖可知：，，∵，∴，在和中：，∴．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，屬于基礎題，熟練掌握三角形全等的判定方法是解決本題的關鍵．11．已知：如圖，點D在上，點E在上，．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據全等三角形的判定定理SAS推出即可．【詳解】證明：∵AD＝AE，BD＝CE，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）與書寫步驟是解題的關鍵．12．如圖，，，，求的度數【答案】【分析】先證明△ABC≌△ADC（SAS）得到∠B＝∠D，即可求解．【詳解】證明：在△與△中，∴△≌△，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的SAS判定和性質，掌握SAS判定方法是關鍵.13．如圖，如圖，是四邊形的對角線上的兩點，，．求證：．【答案】見解析．【分析】由平行線的性質求得，由等式的性質求得，然后利用SAS定理證明三角形全等．【詳解】證明：∵，即在和中∴【點睛】本題考查平行線的性質，等式的性質及全等三角形的判定，掌握相關性質定理正確推理論證是解題關鍵．14．如圖，點A、B、C、D在一條直線上，如果，，且，那么，為什么？解：因為已知，所以______，因為，平角的意義，所以______（______）因為已知，所以等式性質，即______完成以下說理過程．【答案】兩直線平行，內錯角相等；∠EBA=∠FCD，等角的補角相等；等量減等量，差相等；見解析．【分析】結合圖形，根據平行線的性質，補角的性質，三角形的全等，平行線的判斷證明即可．【詳解】∵已知，∴兩直線平行，內錯角相等，∵，平角的意義，∴∠EBA=∠FCD等角的補角相等，∵已知，∴等式性質，等量減等量，差相等，∵已知，∴△ABE≌△DCFSAS，∴∠BAE=∠CDF全等三角形的對應角相等，∴內錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行線的判定，補角的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握平行線的判定，性質和三角形的全等判定是解題的關鍵．15．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求證：△ABD≌△ACE．【答案】見詳解．【分析】先求出∠EAC=∠DAB，再利用“邊角邊”證明即可．【詳解】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠EAC＝∠DAB，在△AEC和△ADB中，∴△AEC≌△ADB（SAS）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，推出∠EAC=∠DAB是解題的關鍵，本題圖形比較復雜，準確識圖非常重要．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，D為BC上一點，BF＝CD，CE＝BD，求∠EDF的度數．【答案】∠EDF＝65°．【分析】由SAS可得△FBD≌△DCE，可得∠BFD=∠CDE，由平角的性質和三角形內角和定理可得∠B=∠EDF=65°．【詳解】∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△FBD與△DCE中，，∴△FBD≌△DCE（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠B=180°-∠BDF-∠BFD=∠EDF=180°-∠BDF-∠CDE，∵∠B=65°，∴∠EDF=65°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定和性質問題，熟練掌握全等三角形的判定是本題的關鍵．17．如圖，點D在BC上，∠1＝∠2，AE＝AC，下面有三個條件：①AB＝AD；②BC＝DE；③∠E＝∠C，請你從所給條件①②③中選一個條件，使△ABC≌△ADE，并進行證明．【答案】見解析【分析】選擇①，先證明∠BAC=∠DAE，然后再利用SAS判定△ABC≌△ADE即可；選擇③，先證明∠BAC=∠DAE，然后再利用ASA判定△ABC≌△ADE即可．【詳解】解：選擇①證明：∵∠1=∠2∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE，選擇③證明，∵∠1=∠2∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE，【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．18．如圖，點A、B分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A、B間的距離，但不方便，小明先在地上取一個可以直接到達點A和點B的點C，連接AC并延長到點D，使CD＝CA，連接BC并延長到點E，使CE＝CB，連接DE．（1）求證：△ACB≌△DCE；（2）測出DE的長即為點A、B間的距離，你能說明其中的道理嗎？【答案】（1）見解析；（2）全等三角形的性質【分析】（1）利用SAS定理判定△ACB≌△DCE即可；（2）根據全等三角形對應邊相等可得AC＝DE．【詳解】（1）在△ABC和△DEC中，，∴△ACB≌△DCE（SAS）；（2）∵△ACB≌△DCE，∴AB＝DE，∴DE的長即為點A、B間的距離．【點睛】本題考查了全等三角形的應用19．已知：如圖，A、C、F、D在同一條直線上，且ABDE，AF＝DC，AB＝DE，求證：△ABC≌△DEF．【答案】見解析【分析】根據SAS證明三角形全等即可．【詳解】證明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AD+CF＝CF+DF，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【點睛】本題考查全等三角形的證明，理解證明全等三角形的方法并準確找到所需條件是解題關鍵．20．如圖，在五邊形ABCDE中，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD，BE，CE分別是∠ABC，∠BCD的角平分線．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當∠A＝80°，∠ABC＝140°時，求∠AED的度數．【答案】（1）見解析；（2）100°【分析】（1）由角平分線的定義得出∠ABE=∠CBE，∠BCE=∠DCE，可證明△ABE≌△DCE（SAS）；（2）由全等三角形的性質得出∠A=∠D=80°，根據五邊形的內角和可求出答案．【詳解】解：（1）證明：∵BE，CE分別是∠ABC，∠BCD的角平分線．∴∠ABE=∠CBE，∠BCE=∠DCE，∵∠ABC=∠BCD，∴∠ABE=∠DCE，∠EBC=∠ECB，∴BE=CE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴∠A=∠D=80°，∵∠ABC=140°，∴∠ABC=∠BCD=140°，∵五邊形ABCDE的內角和是540°，∴∠AED=540°-∠A-∠D-∠ABC-∠BCD=540°-80°-80°-140°-140°=100°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，五邊形的內角和，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．21．已知：如圖，，，．求證：．【答案】證明見解析【分析】先由得出由得出從而得出由全等即可得結論．【詳解】解：在與中，【點睛】本題考查的是三角形全等的判定與性質，掌握三角形全等的判定是解題的關鍵．22．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC邊于點E，連接DE．（1）求證：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度數．【答案】（1）證明見解析；（2）65°【分析】（1）由BE平分∠ABC，可得∠ABE＝∠DBE，再由AB=DB以及BE邊公共，可證明結論；（2）由∠A、∠C的度數可求得∠ABC的度數，由BE平分∠ABC，可得∠ABE的度數，從而在△ABE中，即可求得所求角的度數．【詳解】（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE，在△ABE和△DBE中，∴△ABE≌△DBE（SAS）；（2）∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，在△ABE中，∠AEB＝180°－∠A－∠ABE＝180°－100°－15°＝65°．【點睛】本題考查了三角形全等的判定、角平分線的概念、三角形內角和等知識．23．把下面的說理過程補充完整：已知：如圖，BC//EF，BC＝EF，AF＝DC線段AB和線段DE平行嗎？請說明理由．答：AB//DE理由：∵AF＝DC（已知）∴AF+FC＝DC+∴AC＝DF（）（填推理的依據）∵BC//EF（已知）∴∠BCA＝∠（兩直線平行，內錯角相等）又∵BC＝EF（已知）∴（）（填推理的依據）∴∠A＝∠（全等三角形的對應角相等）∴AB//（內錯角相等，兩直線平行）【答案】FC，等式的性質，，SAS；，．【分析】根據線段和差證明AC=DF，利用兩直線平行內錯角相等證明∠BCA=，利用SAS證明，則根據全等三角形的性質可得∠A=∠D，最后依據內錯角相等，兩直線平行得出AB∥DE．【詳解】解：AB∥DE，理由如下：∵AF=DC（已知）∴AF+FC=DC+FC．∴AC=DF．（等式的性質）∵BC∥EF（已知）∴∠BCA=（兩直線平行，內錯角相等）．∵BC=EF（已知）．∴（SAS）∴∠A=∠D（全等三角形的對應角相等）．∴AB∥DE（內錯角相等，兩直線平行）．故答案為：FC，等式的性質，，SAS；，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，平行線的判定與性質，解題的方法是找準兩三角形的對應角或邊，依據判定和性質或線段的和差證明角或邊相等．24．如圖，點是射線上一點，平分，請?zhí)砑右粋€條件：，使，并證明．【答案】或或，證明見解析【分析】由平分，結合鄰補角的定義，證明已有從而按可添加：，按可添加：，按可添加：，從而可得答案．【詳解】①證明：平分在與中．②證明：平分，，在與中，．③證明：平分在與中，．故答案為：或或．【點睛】本題考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．25．如圖，在四邊形ABCD中，，點E為對角線BD上一點，，且．（1）求證：；（2）若，求的度數．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）通過證明△ADB≌△EBC得到，利用線段和差即可得證；（2）根據等邊對等角得到，再利用平行線的性質得到，根據角的和差即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，在△ADB和△EBC中，，∴△ADB≌△EBC，∴，∴，∴；（2）∵△ADB≌△EBC，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，靈活運用全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．26．如圖，已知：點在同一條直線上，AD∥CB，，．（1）判斷線段與的數量關系，并說明理由；（2）判斷線段與的位置關系，并說明理由．【答案】（1）AD=BC，理由見解析（2）AE∥CF，理由見解析【分析】（1）根據平行的性質得到，利用角角邊證明，由此得到=；（2）根據等角的補角相等得到，利用邊角邊證明，可知由此得．【詳解】證明：（1），∴，在和中，∴，∴（2）∵，，，∴，在和中，∴，∴，∴．【點睛】考查全等三角形的判定和性質，并結合平行和補角的性質，學生熟練掌握全等三角形的判定定理是本題解題的關鍵．27．如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．BE⊥AC，垂足為G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求證：AE＝AF；（2）AE與AF有何位置關系．請說明理由【答案】（1）證明過程見解答；（2）AE⊥AF【分析】（1）利用SAS證明△AEB≌△FAC可證明結論；（2）由全等三角形的性質可得∠E=∠CAF，由余角的定義可求得∠EAF的度數，即可判定．【詳解】解：（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠EBA=90°，∴∠ACD=∠EBA，在△AEB和△FAC中，，∴△AEB≌△FAC（SAS），∴AE=FA；（2）∵△AEB≌△FAC，∴∠E=∠CAF，∵∠E+∠EAG=90°，∴∠CAF+∠EAG=90°，即∠EAF=90°，∴AE⊥AF．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，證明△AEB≌△FAC是解題的關鍵．28．在中，，點在平面內，連接并將線段繞點順時針方向旋轉與相等的角度，得到線段，連接．

（1）如圖1，如果點是邊上任意一點，線段和線段的數量關系是；（2）如圖2，如果點為平面內任意一點，前面發(fā)現的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．請僅以圖2所示的位置關系加以證明（或說明）．【答案】（1）；（2）成立，見解析【分析】（1）運用“SAS”證可得；（2）運用“SAS”證可得．【詳解】解：（1），即．是由繞點順時針方向旋轉得到的，．又，，故答案為：．（2）仍然成立．證明如下：，即．是由繞點順時針方向旋轉得到的，．又，，．【點精】考核知識點：全等三角形的判定和性質．理解全等三角形的判定和性質是關鍵．29．如圖，在中，，，點為延長線上一點，點在邊上，且，連接，，．（1）證明：；（2）若，求的度數．【答案】（1）見解析；（2）75°【分析】（1）利用SAS證明三角形全等即可；（2）由全等三角形對應角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性質求出∠AEB的度數，即可確定出∠BDC的度數．【詳解】解：證明：∵，∴，在和中，．∴．∵，，∴，∴．∵，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，以及三角形的外角性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．30．如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數量關系和位置關系，請寫出結論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點O順時針旋轉一定的角度（如圖②），連結AC，BD，其