期中真題必刷易錯(cuò)60題（18個(gè)考點(diǎn)專練）（解析版）

期中真題必刷易錯(cuò)60題（18個(gè)考點(diǎn)專練）一．無(wú)理數(shù)（共1小題）1．（2021秋?宿豫區(qū)期中）在實(shí)數(shù)、、、、、中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．【解答】解：是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；是循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)；，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；無(wú)理數(shù)有，，，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．二．估算無(wú)理數(shù)的大小（共1小題）2．（2021秋?亭湖區(qū)校級(jí)期中）估計(jì)的值在（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【分析】根據(jù)平方數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵，＝3，而，∴2，∴估計(jì)的值在2和3之間．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，要想準(zhǔn)確地估算出無(wú)理數(shù)的取值范圍需要記住一些常用數(shù)的平方．三．三角形三邊關(guān)系（共1小題）3．（2022秋?昆山市校級(jí)期中）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為16，且一邊長(zhǎng)為3，則腰長(zhǎng)為（）A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.5【分析】因?yàn)檠L(zhǎng)沒(méi)有明確，所以分邊長(zhǎng)3是腰長(zhǎng)和底邊兩種情況討論．【解答】解：（1）當(dāng)3是腰長(zhǎng)時(shí)，底邊為16﹣3×2＝10，此時(shí)3+3＝6＜10，不能組成三角形；（2）當(dāng)3是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為×（16﹣3）＝6.5，此時(shí)3，6.5，6.5三邊能夠組成三角形．所以腰長(zhǎng)為6.5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題要分情況討論，注意利用三角形的三邊關(guān)系判斷能否組成三角形，是學(xué)生容易出錯(cuò)的題．四．全等三角形的性質(zhì)（共4小題）4．（2022秋?錫山區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC≌△ADE，∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于點(diǎn)F，則∠DFB度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】先根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，所以∠BAD＝∠CAE，然后求出∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)△ABG和△FDG的內(nèi)角和都等于180°，所以∠DFB＝∠BAD．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，又∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，∴∠BAD＝（∠BAE﹣∠DAC）＝（100°﹣70°）＝15°，在△ABG和△FDG中，∵∠B＝∠D，∠AGB＝∠FGD，∴∠DFB＝∠BAD＝15°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．5．（2021秋?濱海縣期中）如圖，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，則∠E的度數(shù)為（）A．80° B．35° C．70° D．30°【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠C＝30°，∴∠E＝∠C＝30°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?東臺(tái)市期中）如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，AC、DF交于點(diǎn)M，∠ACB＝43°，則∠AMF的度數(shù)是86°．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DFE＝∠ACB＝43°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠ACB＝43°，∵∠AMF是△MFC的一個(gè)外角，∴∠AMF＝∠DFE+∠ACB＝86°，故答案為：86．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?江寧區(qū)期中）如圖，已知兩個(gè)三角形全等，根據(jù)圖中提供的信息，可得EF的長(zhǎng)為20．【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝20，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．五．全等三角形的判定（共7小題）8．（2022秋?建鄴區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，還需要添加一個(gè)條件是（）A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且這兩邊的夾角相等的兩三角形全等，已知AB＝DE，BC＝EF，其兩邊的夾角是∠B和∠E，只要求出∠B＝∠E即可．【解答】解：A、根據(jù)AB＝DE，BC＝EF和∠BCA＝∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本選項(xiàng)正確；C、∵BC∥EF，∴∠F＝∠BCA，根據(jù)AB＝DE，BC＝EF和∠F＝∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、根據(jù)AB＝DE，BC＝EF和∠A＝∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定的應(yīng)用，注意：有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且這兩邊的夾角相等的兩三角形才全等，題目比較典型，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．9．（2021秋?寶應(yīng)縣期中）如圖，AF＝DC，BC∥EF，只需補(bǔ)充一個(gè)條件，就可得△ABC≌△DEF．下列條件中不符合要求的是（）A．BC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．AB∥DE【分析】由平行可知到∠ACB＝∠EFD，AF＝DC可得到AC＝FD，故只需添加BC＝EF，或一組角相等即可．【解答】解：∵AF＝DC，∴AC＝DF，∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠EFD，當(dāng)BC＝EF時(shí)，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），當(dāng)∠B＝∠E時(shí)，可由AAS判定，當(dāng)AB∥DE時(shí)，可知∠A＝∠D，可由ASA判定，而當(dāng)AB＝DE時(shí)，由條件可知滿足ASS，不能判定全等，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，注意ASS不能判定全等．10．（2021秋?亭湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，據(jù)此可以證明△BAD≌△BCD，證明的依據(jù)是（）A．AAS B．ASA C．SAS D．HL【分析】依據(jù)圖形可得到BD＝BD，然后依據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴△BAD和△BCD均為直角三角形．∵，∴△BAD≌BCD（HL）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．11．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，點(diǎn)B在AE上，∠C＝∠D，要能證△ABC≌△ABD，只需再補(bǔ)充一個(gè)條件：∠CAB＝∠DAB．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理加條件．【解答】解：在△ABC和△ABD中∴△ABC≌△ABD（AAS）故答案為：∠CAB＝∠DAB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、是解題關(guān)鍵．12．（2021秋?海州區(qū)期中）如圖，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一個(gè)條件是（）A．∠A＝∠D B．∠ABD＝∠DCA C．∠ACB＝∠DBC D．∠ABC＝∠DCB【分析】由已知AC＝DB，且BC＝CB，故可增加一組邊相等，即AB＝DC，可增加∠ACB＝∠DBC，可得出答案．【解答】解：由已知AC＝DB，且AC＝CA，故可增加一組邊相等，即AB＝DC，也可增加一組角相等，但這組角必須是AC和BC、DB和CB的夾角，即∠ACB＝∠DBC，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，掌握SSS、SAS、ASA、AAS和HL這幾種全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖，∠BAC＝∠DAC，若要使△ABC≌△ADC，還需要添加一個(gè)條件，則這個(gè)條件不能是（）A．BC＝DC B．AB＝AD C．∠B＝∠D D．∠ACB＝∠ACD【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【解答】解：A．根據(jù)BC＝DC，AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，不能推出△BAC和△DAC全等，故A符合題意；B．∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS），故B不符合題意；C．∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（AAS），故C不符合題意；D．∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（ASA），故D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（2022秋?建湖縣期中）如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一個(gè)條件不能判定這兩個(gè)三角形全等的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理，結(jié)合各選項(xiàng)的條件進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、添加AC＝DF，滿足SAS，可以判定兩三角形全等；B、添加∠B＝∠E，滿足ASA，可以判定兩三角形全等；C、添加BC＝EF，不能判定這兩個(gè)三角形全等；D、添加∠C＝∠F，滿足AAS，可以判定兩三角形全等；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．六．全等三角形的判定與性質(zhì)（共8小題）15．（2021秋?邗江區(qū)校級(jí)期中）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究箏形的性質(zhì)時(shí)，得到如下結(jié)論：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四邊形ABCD的面積＝2AC?BD，其中正確的結(jié)論有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】先證明△ABD與△CBD全等，再證明△AOD與△COD全等即可判斷．【解答】解：在△ABD與△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正確；∴∠ADB＝∠CDB，在△AOD與△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC，∴AC⊥DB，故②正確；四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△BDC＝AC?BD，故③錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SSS證明△ABD與△CBD全等和利用SAS證明△AOD與△COD全等．16．（2021秋?宜興市期中）如圖，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，過(guò)A作AF⊥DE，垂足為F，DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AG．四邊形DGBA的面積為12，AF＝4，則FG的長(zhǎng)是（）A．2 B．2.5 C．3 D．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，證△ABC≌△AED，得AF＝AH，再證Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四邊形DGBA＝S四邊形AFGH＝12，然后求得Rt△AFG的面積＝6，進(jìn)而得到FG的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，如圖所示：在△ABC與△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED，又∵AF⊥DE，∴×DE×AF＝×BC×AH，∴AF＝AH，∵AF⊥DE，AH⊥BC，∴∠AFG＝∠AHG＝90°，在Rt△AFG和Rt△AHG中，，∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），∴S四邊形DGBA＝S四邊形AFGH＝12，∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴SRt△AFG＝6，∵AF＝4，∴×FG×4＝6，解得：FG＝3；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，解題時(shí)注意：全等三角形的面積相等．17．（2021秋?寶應(yīng)縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD【分析】證△ABD≌△ACD（SAS），得∠B＝∠C，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，則AD⊥BC，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝×180°＝90°，∴AD⊥BC，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，故選項(xiàng)A、B、D不符合題意，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線定義等知識(shí)，證明△ABD≌△CAD是解題的關(guān)鍵．18．（2021秋?徐州期中）如圖，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S是50．【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF＝∠ABG，而AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，由此可以證明△EFA≌△ABG，所以AF＝BG，AG＝EF；同理證得△BGC≌△DHC，GC＝DH，CH＝BG，故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，然后利用面積的割補(bǔ)法和面積公式即可求出圖形的面積．【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH?∠FED＝∠EFA＝∠BGA＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°?∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG?△EFA≌△ABG∴AF＝BG，AG＝EF．同理證得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故答案為50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定的相關(guān)知識(shí)．作輔助線是本題的關(guān)鍵．19．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）若BF＝12，EC＝4，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)AAS證明△ABC≌△DFE即可；（2）求出BE的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝FE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（AAS）．（2）解：∵BF＝12，EC＝4，∴BE+CF＝12﹣4＝8，∵BE＝CF，∴BE＝CF＝4，∴BC＝BE+EC＝4+4＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．20．（2021秋?錫山區(qū)校級(jí)期中）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求證：△ADE≌△ADF；（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）先用（HL）證明Rt△EBD≌Rt△FCD，推DE＝DF，再用（HL）證明Rt△AED≌Rt△AFD；（2）由全等推AE＝AF，把AC長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AC＝AB+BE+FC，代入數(shù)值求解即可．【解答】（1）證明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝∠DFA＝90°，在Rt△EBD與Rt△FCD中，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）；∴DE＝DF，在Rt△AED與Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）；（2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE＝AF，∴AF＝12+BE，∵AC＝AF+FC∴AC＝AB+BE+FC，∴18＝12+BE+CF，∵BE＝CF．∴18＝12+2BE，∴BE＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法，用（HL）證明全等三角形是解題關(guān)鍵．21．（2021秋?東臺(tái)市期中）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一直線上，AC、DF相交于點(diǎn)G，AB⊥BE，垂足為B，DE⊥BE，垂足為E，且AC＝DF，BF＝CE．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝65°，求∠AGF的度數(shù)．【分析】（1）由HL即可得出Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）由直角三角形的性質(zhì)得出∠ACB＝25°，利用全等三角形的性質(zhì)即可得到∠ACB＝∠DFE＝25°，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案．【解答】（1）證明：∵AB⊥BE，∴∠B＝90°，∵DE⊥BE，∴∠E＝90°，∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，即CB＝EF，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）（2）解：∵∠A＝65°，AB⊥BE，∴∠ACB＝90°﹣65°＝25°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ACB＝∠DFE＝25°，∴∠AGF＝∠ACB+∠DFE＝50°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．22．（2021秋?東?？h期中）如圖，點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，AC∥BE，BC＝BE，∠ABC＝∠E．（1）求證：△ABC≌△DEB；（2）若BE＝9，AC＝4，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）先利用平行線的性質(zhì)得∠C＝∠DBE，再根據(jù)“ASA”可證明△ABC≌△DEB；（2）結(jié)合（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC＝BE＝9，AC＝BD＝4，進(jìn)而可得結(jié)果．【解答】（1）證明：∵AC∥BE，∴∠C＝∠DBE．在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB（ASA）；（2）解：∵△ABC≌△DEB，∴BC＝BE＝9，AC＝BD＝4，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣4＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)時(shí)主要是得到對(duì)應(yīng)角相等或?qū)?yīng)線段相等．七．角平分線的性質(zhì)（共1小題）23．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，射線OQ平分∠MON，點(diǎn)P是射線OQ上一點(diǎn)，且PA⊥ON于點(diǎn)A，若PA＝3，則點(diǎn)P到射線OM的距離等于3．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PB⊥OM，垂足為B，然后利用角平分線的性質(zhì)，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PB⊥OM，垂足為B，∵射線OQ平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，∴PA＝PB＝3，∴點(diǎn)P到射線OM的距離等于3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．八．線段垂直平分線的性質(zhì)（共6小題）24．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的垂直平分線上，∠A＝70°，∠ABD＝25°，則∠ACE的度數(shù)等于（）A．25° B．30° C．35° D．50°【分析】先利用角平分線的定義可得∠ABD＝∠CBD＝25°，∠ABC＝2∠ABD＝50°，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB＝60°，然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得EB＝EC，從而可得∠EBC＝∠ECB＝25°，最后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝25°，∴∠ABD＝∠CBD＝25°，∠ABC＝2∠ABD＝50°，∵∠A＝70°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝60°，∵點(diǎn)E在BC的垂直平分線上，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB＝25°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝35°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋?泗陽(yáng)縣期中）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，BC＝8cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，則AB的長(zhǎng)是5cm．【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA＝DC，從而根據(jù)已知△ABD的周長(zhǎng)為13cm，可得AB+BC＝13cm，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∵△ABD的周長(zhǎng)為13cm，∴AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+DC＝13cm，∴AB+BC＝13cm，∵BC＝8cm，∴AB＝13﹣8＝5（cm），故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋?金湖縣期中）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD．若△ABC的周長(zhǎng)是18cm，AE＝3cm，則△ABD的周長(zhǎng)是12cm．【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，再根據(jù)已知△ABC的周長(zhǎng)是18cm，可得AB+BC＝12cm，然后利用等量代換可得△ABD的周長(zhǎng)＝AB+BC，即可解答．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，∵△ABC的周長(zhǎng)是18cm，∴AB+BC＝18﹣6＝12（cm），∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝12cm，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋?邳州市期中）如圖，△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以相同的長(zhǎng)（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，若AC＝4，BC＝7，則△ADC的周長(zhǎng)為11．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA＝DB，從而可得△ACD的周長(zhǎng)＝AC+BC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∵AC＝4，BC＝7，∴△ACD的周長(zhǎng)＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝4+7＝11，故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋?揚(yáng)州期中）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）若AB＝10，則△CDE的周長(zhǎng)是多少？為什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．【分析】（1）依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到△CDE的周長(zhǎng)＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；（2）依據(jù)AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，進(jìn)而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根據(jù)∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）△CDE的周長(zhǎng)為10．∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周長(zhǎng)＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．29．（2022秋?建鄴區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E，l1與l2相交于點(diǎn)O，△ADE的周長(zhǎng)為6cm．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）分別連結(jié)OA、OB、OC，若△OBC的周長(zhǎng)為16cm，求OA的長(zhǎng)．【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA＝DB，EA＝EC，然后根據(jù)已知可得AD+DE+AE＝6cm，再利用等量代換即可解答；（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得OA＝OB，OA＝OC，再根據(jù)已知和（1）的結(jié)論可得OB＝OC＝5cm，即可解答．【解答】解：（1）∵AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E，∴DA＝DB，EA＝EC，∵△ADE的周長(zhǎng)為6cm，∴AD+DE+AE＝6cm，∴BD+DE+CE＝6cm，∴BC＝6cm，∴BC的長(zhǎng)為6cm；（2）如圖：∵OD是AB的垂直平分線，OE是AC的垂直平分線，∴OA＝OB，OA＝OC，∵△OBC的周長(zhǎng)為16cm，∴OB+OC+BC＝16cm，∵BC＝6cm，∴OB＝OC＝5cm，∴OA的長(zhǎng)為5cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．九．等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）30．（2022秋?江陰市期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，已知AB＝5，AD＝3，則BC的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得BC＝2BD，AD⊥BC，從而可得∠ADB＝90°，然后在Rt△ADB中，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴BC＝2BD，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝5，AD＝3，∴BD＝＝＝4，∴BC＝2BD＝8，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋?如皋市期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點(diǎn)，且DA＝DC，BA＝BD，則∠C的度數(shù)是（）A．36° B．35° C．30° D．20°【分析】設(shè)∠C＝x，利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C＝∠DAC＝x，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得∠ADB＝∠C+∠DAC＝2x，然后再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAD＝∠ADB＝2x，從而利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)∠C＝x，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2x，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝36°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2022秋?灌云縣期中）已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或10【分析】等腰三角形兩邊的長(zhǎng)為3和7，具體哪條是底邊，哪條是腰沒(méi)有明確說(shuō)明，因此要分兩種情況討論．【解答】解：①當(dāng)腰是3，底邊是7時(shí)，不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去．②當(dāng)?shù)走吺?，腰長(zhǎng)是7時(shí)，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)＝3+7+7＝17．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題時(shí)注意：若沒(méi)有明確腰和底邊，則一定要分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這是解題的關(guān)鍵．33．（2022秋?鹽都區(qū)期中）等腰三角形的周長(zhǎng)為13cm，其中一邊長(zhǎng)為3cm，則該等腰三角形的底邊為（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【解答】解：當(dāng)腰是3cm時(shí)，則另兩邊是3cm，7cm．而3+3＜7，不滿足三邊關(guān)系定理，因而應(yīng)舍去．當(dāng)?shù)走吺?cm時(shí)，另兩邊長(zhǎng)是5cm，5cm．則該等腰三角形的底邊為3cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．34．（2022秋?梁溪區(qū)期中）已知一個(gè)等腰三角形有一個(gè)角為50°，則頂角是（）A．50° B．80° C．50°或80° D．不能確定【分析】已知中沒(méi)有明確該角為頂角還是底角，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行分析．【解答】解：分兩種情況：若該角為底角，則頂角為180°﹣2×50°＝80°；若該角為頂角，則頂角為50°．∴頂角是50°或80°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用能力．35．（2022秋?東?？h期中）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，則△ABC的頂角度數(shù)是40°或100°．【分析】分∠A是頂角和底角兩種情況討論，即可解答．【解答】解：當(dāng)∠A是頂角時(shí)，△ABC的頂角度數(shù)是40°；當(dāng)∠A是底角時(shí)，則△ABC的頂角度數(shù)為180°﹣2×40°＝100°；綜上，△ABC的頂角度數(shù)是40°或100°．故答案為：40°或100°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，此類題目，難點(diǎn)在于要分情況討論．36．（2022秋?邗江區(qū)期中）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8、5，則它的周長(zhǎng)為21或18．【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為8，底邊長(zhǎng)為5時(shí)，當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為8時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為8，底邊長(zhǎng)為5時(shí)，∴等腰三角形的周長(zhǎng)＝8+8+5＝21；當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為8時(shí)，∴等腰三角形的周長(zhǎng)＝5+5+8＝18；綜上所述：等腰三角形的周長(zhǎng)為21或18；故答案為：21或18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．37．（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)期中）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為40°或100°．【分析】首先知有兩種情況（頂角是40°和底角是40°時(shí)），由等邊對(duì)等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù)．【解答】解：△ABC，AB＝AC．有兩種情況：（1）頂角∠A＝40°，（2）當(dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí)，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴這個(gè)等腰三角形的頂角為40°和100°．故答案為：40°或100°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理的理解和掌握，能對(duì)有的問(wèn)題正確地進(jìn)行分類討論．38．（2022秋?江都區(qū)校級(jí)期中）用一條長(zhǎng)41cm的細(xì)繩圍成一個(gè)三角形，已知此三角形的第一條邊為xcm，第二條邊是第一條邊的3倍少4cm．（1）請(qǐng)用含x的式子表示第三條邊的長(zhǎng)度．（2）若此三角形恰好是一個(gè)等腰三角形，求這個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)．【分析】（1）依據(jù)三角形的第一條邊為xcm，第二條邊是第一條邊的3倍少4cm，即可用含x的式子表示第三條邊的長(zhǎng)度．（2）依據(jù)三角形恰好是一個(gè)等腰三角形，分三種情況討論，即可得到這個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵三角形的第一條邊為xcm，第二條邊是第一條邊的3倍少4cm．∴第二條邊是（3x﹣4）cm，∴第三條邊的長(zhǎng)度為41﹣x﹣（3x﹣4）＝45﹣4x（cm）；（2）若x＝3x﹣4，則x＝2，不能組成三角形；若x＝45﹣4x，則x＝9，不能組成三角形；若3x﹣4＝45﹣4x，則x＝7，∴3x﹣4＝45﹣4x＝17，符合題意，∴該等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為：17cm、17cm和7cm．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，在解題時(shí)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷是本題的關(guān)鍵．一十．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）39．（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝12．【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△EBG和△DFC是等腰三角形，從而可得EB＝EG，DF＝DC，進(jìn)而可得EB+DC＝ED+FG，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB，∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，∴EB＝EG，DF＝DC，∵FG＝4，ED＝8，∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．40．（2022秋?沭陽(yáng)縣期中）如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝5，AC＝7，則△AMN的周長(zhǎng)為12．【分析】利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△MBO和△NCO是等腰三角形，從而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根據(jù)等量代換可得△AMN的周長(zhǎng)＝AB+AC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，AC＝7，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC＝5+7＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．一十一．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）41．（2022秋?海州區(qū)校級(jí)期中）已知直角三角形斜邊長(zhǎng)為4，則其斜邊上的中線長(zhǎng)為2．【分析】利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵直角三角形斜邊長(zhǎng)為4，∴其斜邊上的中線長(zhǎng)＝×4＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一十二．勾股定理（共6小題）42．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期中）若一直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8，則斜邊長(zhǎng)為10．【分析】已知兩直角邊求斜邊可以根據(jù)勾股定理求解．【解答】解：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊平方和，故斜邊長(zhǎng)＝＝10，故答案為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)勾股定理計(jì)算直角三角形的斜邊，正確的運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．43．（2022秋?淮陰區(qū)期中）如圖，以直角三角形一邊向外作正方形，其中兩個(gè)正方形的面積為100和64，則正方形A的面積為36．【分析】根據(jù)正方形可以計(jì)算斜邊和一條直角邊，則另一條直角邊根據(jù)勾股定理就可以計(jì)算出來(lái)．【解答】解：由題意知，BD2＝100，BC2＝64，且∠DCB＝90°，∴CD2＝100﹣64＝36，正方形A的面積為CD2＝36．故答案為36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，考查了正方形面積的計(jì)算，本題中解直角△BCD是解題的關(guān)鍵．44．（2022春?海安市期中）已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為5或．【分析】本題已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長(zhǎng)邊4既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類討論，即4是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【解答】解：設(shè)第三邊為x，（1）若4是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理得：32+42＝x2，∴x＝5；（2）若4是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理得：32+x2＝42，∴x＝；∴第三邊的長(zhǎng)為5或．故答案為：5或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當(dāng)已知條件中沒(méi)有明確哪是斜邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解．45．（2021秋?南京期中）若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm，3cm，則第三條邊長(zhǎng)是5或cm．【分析】分長(zhǎng)為4cm的邊是直角邊、長(zhǎng)為4cm的邊是斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：當(dāng)長(zhǎng)為4cm的邊是直角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)＝＝5（cm），當(dāng)長(zhǎng)為4cm的邊是斜邊時(shí)，另一條直角邊＝＝（cm），綜上所述，第三條邊長(zhǎng)為5cm或cm，故答案為：5或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．46．（2022秋?惠山區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點(diǎn)，CD＝3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．連接AP．（1）當(dāng)t＝3秒時(shí)，求AP的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值；（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，能使DE＝CD？【分析】（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間先求出PC，再根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成三種等腰三角形，分情況即可求解；（3）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根據(jù)勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的長(zhǎng)為2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根據(jù)勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，則2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，則BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，則（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t的值為4、16、5．（3）①點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖1所示：則∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；綜上所述，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t的值為5或11時(shí)，能使DE＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到不同位置形成不同的等腰三角形．47．（2020秋?高郵市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，作∠ADB的角平分線DE交AB于點(diǎn)E，AE＝6，DE＝10，點(diǎn)P在邊BC上，且△DEP為等腰三角形，則BP的長(zhǎng)為2、5、8、18．【分析】根據(jù)勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DB＝AD＝DC，∵DE是∠ADB的角平分線，∴AE＝BE＝6，DE＝10，①DE中點(diǎn)G作GP⊥BC于點(diǎn)P，得矩形EGPB，所以PB＝DE＝5；②作DP＝DE，交BC于兩個(gè)點(diǎn)P′和P，作EP④＝ED交BC于點(diǎn)P④，作DF⊥BC于點(diǎn)F，得矩形EBFD，∴DF＝BE＝6，BF＝DE＝10，∴根據(jù)勾股定理，得P′F＝BP4＝8，∴P′B＝10﹣8＝2，或P″B＝10+8＝18．所以BP有四個(gè)值，分別為2、5、8、18．故答案為2、5、8、18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．一十三．勾股定理的逆定理（共4小題）48．（2022秋?灌云縣期中）下列長(zhǎng)度的三根線段，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3cm，5cm，5cm B．4cm，8cm，5cm C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵32+52＝34，52＝25，∴32+52≠52，∴不能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；B、∵42+52＝41，82＝64，∴42+52≠82，∴不能構(gòu)成直角三角形，故B不符合題意；C、∵122+52＝169，132＝169，∴122+52＝132，∴能構(gòu)成直角三角形，故C符合題意；D、∵2+4＝6＜7，∴不能構(gòu)成三角形，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．49．（2022秋?常州期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C為格點(diǎn)，點(diǎn)D為AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠ADB﹣∠ABD＝45°．【分析】連接AE，BE，設(shè)AE與BD交于點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理的逆定理先證明△ABE是等腰直角三角形，從而可得∠BAE＝45°，再根據(jù)題意可得∠AFD＝∠ADF，然后利用三角形的外角，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：連接AE，BE，設(shè)AE與BD交于點(diǎn)F，由題意得：AB2＝12+32＝10，AE2＝12+22＝5，EB2＝12+22＝5，∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，∵BD∥EC，∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∴∠AFD＝∠ADF，∵∠AFD是△ABF的一個(gè)外角，∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，故答案為：45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．50．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．（1）直接寫(xiě)出AB＝，BC＝2，AC＝；（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（3）直接寫(xiě)出AC邊上的高＝．【分析】（1）利用勾股定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）利用面積法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：AB2＝22+32＝13，BC2＝42+62＝52，AC2＝82+12＝65，∴AB＝，BC＝2，AC＝，故答案為：，2，；（2）△ABC是直角三角形，理由：∵AB2+BC2＝65，AC2＝65，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形；（3）設(shè)AC邊上的高為h，∵△ABC的面積＝AC?h＝AB?BC，∴AC?h＝AB?BC，∴h＝×2，∴h＝＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．51．下列各組數(shù)，可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）A．2，3，4 B．5，6，13 C．6，8，10 D．8，12，20【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：A、∵22+32＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴2，3，4不可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故A不符合題意；B、∵52+62＝61，132＝169，∴52+62≠132，∴5，6，13不可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故B不符合題意；C、∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴6，8，10可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故C符合題意；D、∵82+122＝208，202＝400，∴82+122≠202，∴8，12，20不可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．一十四．勾股數(shù)（共1小題）52．（2022秋?海州區(qū)校級(jí)期中）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2＝c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)，某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（）A．47 B．62 C．79 D．98【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，進(jìn)而得出x+y的值．【解答】解：由題可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴當(dāng)c＝n2+1＝65時(shí)，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．一十五．勾股定理的應(yīng)用（共3小題）53．（2021秋?靖江市期中）在一棵樹(shù)的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹(shù)跑到A處（離樹(shù)10米）的池塘邊．另一只爬到樹(shù)頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高7.5米．【分析】首先設(shè)樹(shù)的高度為x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出樹(shù)的高度．【解答】解：設(shè)樹(shù)的高度為x米．∵兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，BC+AC＝15，∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，x2+100＝（20﹣x）2，x＝7.5，故答案為：7.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用，設(shè)出未知數(shù)x，用x表示有關(guān)的線段是解題關(guān)鍵．54．（2022秋?姑蘇區(qū)期中）位于沈陽(yáng)的紅河峽谷漂流項(xiàng)目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點(diǎn)A拉回點(diǎn)B的位置（如圖）．在離水面高度為8m的岸上點(diǎn)C，工作人員用繩子拉船移動(dòng)，開(kāi)始時(shí)繩子AC的長(zhǎng)為17m，工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過(guò)20秒后游船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問(wèn)此時(shí)游船移動(dòng)的距離AD的長(zhǎng)是多少？【分析】在Rt△ABC中用勾股定理求出AB＝15，在Rt△DBC中用勾股定理求出BD＝6，再根據(jù)AD＝AB﹣BD的出結(jié)果．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m，∴AB＝＝＝15（m），∵工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過(guò)20秒后游船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，∴CD＝17﹣0.35×20＝10（m），∴BD＝＝＝6（m），∴AD＝AB﹣BD＝9（m）．答：此時(shí)游船移動(dòng)的距離AD的長(zhǎng)是9m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．55．（2022秋?建鄴區(qū)校級(jí)期中）如圖，在一棵樹(shù)CD的10m高處的B點(diǎn)有兩只猴子，它們都要到A處池塘邊喝水，其中