第05講 一次函數(shù)的應(yīng)用(6類熱點題型講練)（原卷版）

第05講一次函數(shù)的應(yīng)用(6類熱點題型講練)1、掌握一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系；2、掌握單個一次函數(shù)圖象的應(yīng)用；3、掌握兩個一次函數(shù)圖象的應(yīng)用；4、能利用函數(shù)圖象解決數(shù)學(xué)問題.知識點01一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系1）一元一次方程可轉(zhuǎn)化為一般式：ax+b=02）一次函數(shù)為：y=kx+b的形式；當(dāng)y=0時，一次函數(shù)x的值就是一元一次方程的解。y=0時x的值，即一次函數(shù)與x軸的交點橫坐標(biāo)，就是對應(yīng)一元一次方程的解3）每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點的坐標(biāo).知識點02一次函數(shù)的實際應(yīng)用1）數(shù)學(xué)建模的一般思路數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是將實際問題數(shù)學(xué)化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程中，為了既合乎實際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進(jìn)行抽象化簡，而這一過程恰是我們的分析、抽象、綜合、表達(dá)能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實際情景通過數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為什么樣的函數(shù)模型.2）正確認(rèn)識實際問題的應(yīng)用在實際生活問題中，如何應(yīng)用函數(shù)知識解題，關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解.注：要注意結(jié)合實際，確定自變量的取值范圍，這是應(yīng)用中的難點，也是中考的熱門考點.3）選擇最簡方案問題分析問題的實際背景中包含的變量及對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過比較函數(shù)值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型在分析解決實際問題中的重要作用.題型01已知直線與坐標(biāo)軸交點求一元一次方程的解【典例1】（2023春·八年級課時練習(xí)）直線過點，，則關(guān)于x的方程的解為．【變式1】（2023春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸交于點，則關(guān)于x的方程的解為．

【變式2】（2023秋·廣東惠州·九年級?？奸_學(xué)考試）一次函數(shù)中，與的部分對應(yīng)值，如下表：那么，一元一次方程的解是．01202題型02利用圖象法解一元一次方程【典例2】（2023春·河北石家莊·八年級?？计谥校?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，直線與直線相交于點．根據(jù)圖像可知，關(guān)于的方程的解是（）

A． B． C． D．【變式1】（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和直線相交于點，則方程的解是（

）

A． B． C． D．【變式2】（2023春·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和直線相交于點，根據(jù)圖像可知，關(guān)于的方程的解是（

）

A．或 B． C． D．題型03一次函數(shù)的應(yīng)用——分配方案問題【典例3】（2023春·云南臨滄·八年級統(tǒng)考期末）為全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某省實行城市援助鄉(xiāng)鎮(zhèn)的政策該省的A市有噸物資，市有噸物資經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)該省的甲鄉(xiāng)需要噸物資，乙鄉(xiāng)需要噸物資于是決定由A、兩市負(fù)責(zé)援助甲、乙兩鄉(xiāng)、已知從A市往甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的運(yùn)費(fèi)分別為元噸、元噸，從市往甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的運(yùn)費(fèi)分別為元噸、元噸．(1)設(shè)從A市往甲鄉(xiāng)運(yùn)送噸物資，從A、兩市向甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的總運(yùn)費(fèi)為元，求與的函數(shù)解析式．(2)請設(shè)計運(yùn)費(fèi)最低的運(yùn)送方案，并求出最低運(yùn)費(fèi)．【變式1】（2023春·河南鄭州·八年級河南省實驗中學(xué)?？计谥校?月23日是“世界讀書日”，某書店在這一天舉行了購書優(yōu)惠活動，有兩種優(yōu)惠方案可以選擇：方案一：享受當(dāng)天購書按標(biāo)價總額8折的普通優(yōu)惠；方案二：50元購買一張“書香城市紀(jì)念卡”，當(dāng)天憑卡購書，享受標(biāo)價總額在普通優(yōu)惠的基礎(chǔ)上再打折的優(yōu)惠．設(shè)小明當(dāng)天購書標(biāo)價總額為x元，方案一應(yīng)付元，方案二應(yīng)付元．(1)當(dāng)時，請通過計算說明選擇哪種購書方案更劃算；(2)直接寫出與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)小明如何選擇購書方案才更劃算？【變式2】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）暑期將至，某健身俱樂部面向?qū)W生推出暑期優(yōu)惠活動，活動方案如下．方案一：購買一張學(xué)生暑期專享卡，每次健身費(fèi)用按六折優(yōu)惠；方案二：不購買學(xué)生暑期專享卡，每次健身費(fèi)用按八折優(yōu)惠．設(shè)某學(xué)生暑期健身x（次），按照方案一所需費(fèi)用為（元），且；按照方案二所需費(fèi)用為（元），且．其函數(shù)圖象如圖所示．

(1)求k1和b的值，并說明它們的實際意義；(2)求打折前的每次健身費(fèi)用和的值；(3)八年級學(xué)生小華計劃暑期前往該俱樂部健身7次，應(yīng)選擇哪種方案所需費(fèi)用更少？請說明理由．題型04一次函數(shù)的應(yīng)用——最大利潤問題【典例4】（2023春·貴州黔南·八年級統(tǒng)考期末）某地允許市場經(jīng)營主體在規(guī)范有序的條件下，采取“店鋪外擺”“露天市場”方式進(jìn)行銷售．個體業(yè)主小王響應(yīng)號召，采取“店鋪外擺”方式銷售甲、乙兩種特價商品，兩種商品的進(jìn)價與售價如表所示：甲商品乙商品進(jìn)價（元/件）4010售價（元/件）5015小王計劃購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件進(jìn)行銷售，設(shè)小王購進(jìn)甲商品x件，甲、乙兩種商品全部銷售完后獲得的利潤為y元．(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若購進(jìn)乙商品的件數(shù)不少于甲商品件數(shù)的4倍，當(dāng)購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件時，可使得甲、乙兩種商品全部銷售完后獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【變式1】（2023春·廣西南寧·八年級校考期末）小冬在某網(wǎng)店選中，兩款玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售．兩款玩偶的進(jìn)貨價和銷售價如表：款玩偶款玩偶進(jìn)貨價（元/個）2015銷售價（元/個）2820(1)第一次小冬用550元購進(jìn)了，兩款玩偶共30個，求兩款玩偶各購進(jìn)多少個；(2)第二次小冬進(jìn)貨時，網(wǎng)店規(guī)定款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半．小冬計劃購進(jìn)兩款玩偶共45個，應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【變式2】（2023·河南洛陽·統(tǒng)考二模）俄烏戰(zhàn)爭仍在繼續(xù)，人們對各種軍用裝備倍感興趣，某商家購進(jìn)坦克模型（記作A）和導(dǎo)彈（記作B）兩種模型，若購進(jìn)A種模型10件，B種模型5件，需要1000元；若購進(jìn)A種模型4件，B種模型3件，需要550元．(1)求購進(jìn)A，B兩種模型每件分別需多少元？(2)若銷售每件A種模型可獲利潤20元．每件B種模型可獲利潤30元．商店用1萬元購進(jìn)模型，且購進(jìn)A種模型的數(shù)量不超過B種模型數(shù)量的8倍，設(shè)總盈利為W元，購買B種模型b件，請求出W關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)b為何值時，銷售利潤最大，并求出最大值．題型05一次函數(shù)的應(yīng)用——行程問題【典例5】（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）甲、乙兩地相距千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)開往乙地．如圖，線段表示貨車離甲地距離千米與時間小時之間的函數(shù)關(guān)系；折線表示轎車離甲地距離千米與小時之間的函數(shù)關(guān)系．請根據(jù)圖象解答下列問題：

(1)求線段對應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)貨車從甲地出發(fā)后多長時間被轎車追上？此時離甲地的距離是多少千米？(3)轎車到達(dá)乙地后，貨車距乙地多少千米．【變式1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）航模興趣小組在操場上進(jìn)行航模試驗，甲型航模從距離地面20米處出發(fā)，以a米/分的速度勻速上升，乙型航模從距離地面50米處同時出發(fā)，以15米/分的速度勻速上升，經(jīng)過6分鐘，兩架航模距離地面高度都是b米，兩架航模距離地面的高度y米與時間x分鐘的關(guān)系如圖．兩架航模都飛行了20分鐘．

(1)直接寫出a、b的值；(2)求出兩架航模距離地面高度y甲、y乙（米）與飛行時間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式；(3)直接寫出飛行多長時間，兩架航模飛行高度相差25米？【變式2】（2023春·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D1，甲、乙兩車分別從相距的、兩地相向而行，乙車比甲車先出發(fā)小時，并以各自的速度勻速行駛，甲車到達(dá)地后因有事立刻按原路原速返回地．乙車從地直達(dá)地，兩車同時到達(dá)地．甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程（千米）與甲車出發(fā)所用的時間（小時）的關(guān)系如圖，結(jié)合圖像信息解答下列問題：

(1)乙車的速度是千米/時，乙車行駛小時到達(dá)地；(2)求甲車從地按原路原速返回地的過程中，甲車距它出發(fā)地的路程與它出發(fā)的時間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求甲車出發(fā)多長時間兩車相距千米？題型06一次函數(shù)的應(yīng)用——幾何問題【典例6】（2023春·河南南陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，P為正方形邊上一動點，運(yùn)動路線是，設(shè)P點經(jīng)過的路程為x，以點A、P、D為頂點的三角形的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B． C． D．【變式1】（2021春·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知動點P從B點出發(fā)，以每秒的速度在圖①的邊（相鄰兩邊互相垂直）上按的路線移動，相應(yīng)的的面積與點P的運(yùn)動時間的圖象如圖②所示，且．當(dāng)時，．

【變式2】（2023春·安徽宿州·七年級?？计谥校┤鐖D，在長方形中，，，點E為邊上一動點，連接，隨著點E的運(yùn)動，的面積也發(fā)生變化．

(1)寫出的面積y與的長之間的關(guān)系式；(2)當(dāng)時，求y的值．一、單選題1．（2023春·河北廊坊·八年級?？茧A段練習(xí)）一次函數(shù)和的圖象相交于點，則關(guān)于的方程的解是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程的解為（）A． B． C． D．3．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，直線與相交于點，則關(guān)于的方程的解是（

）A． B． C． D．4．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖1是某湖最深處的一個截面圖，湖水面下任意一點A的壓強(qiáng)P（單位：cmHg）與其離水面的深度h（單位：m）的函數(shù)解析式為，其圖象如圖2所示，其中為湖水面大氣壓強(qiáng)，k為常數(shù)且，點M的坐標(biāo)為．根據(jù)圖中信息分析，下列結(jié)論正確的是（

）

A．湖水面大氣壓強(qiáng)為76.0cmHg B．湖水深23m處的壓強(qiáng)為230cmHgC．函數(shù)解析式中自變量h的取值范圍是D．P與h的函數(shù)解析式為二、填空題5．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點和點，則關(guān)于x的一元一次方程的解為．

6．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，直線與直線交于點，則關(guān)于的方程的解為；

7．（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）某菜農(nóng)想圍成一個如圖所示的長方形菜園，菜園的一邊利用足夠長的墻，已知長方形菜園的另外三邊總長度恰好為48米，設(shè)邊的長為x米，邊的長為y米，則y與x之間關(guān)系表達(dá)式是．

8．（2023春·浙江杭州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）為運(yùn)輸一批醫(yī)用物質(zhì)，一輛貨車先從甲地出發(fā)運(yùn)送物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是，貨車行駛時的速度是，兩車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數(shù)圖象如圖，則；轎車比貨車早小時到達(dá)乙地．

三、解答題9．（2023春·山東聊城·八年級?？茧A段練習(xí)）某健身體驗中心為答謝新老會員舉行春日大回饋活動，特推出兩種“春季喚醒計劃活動方案．方案1：顧客不購買會員卡，每次健身收費(fèi)20元．方案2：顧客購買會員卡，每張會員卡100元，每張會員卡僅限本人使用一年，每次健身收費(fèi)10元．設(shè)小宇一年來此健身體驗中心健身的次數(shù)為x（次），使用方案1的費(fèi)用為y1（元），使用方案的費(fèi)用為y2（元）．(1)請直接寫出y1，y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)請根據(jù)小宇一年內(nèi)前往該健身房訓(xùn)練的次數(shù)確定哪種方案比較合算．10．（2023春·陜西榆林·九年級校考期中）陜西周至，被譽(yù)為“獼猴桃之鄉(xiāng)”，世界上最大的獼猴桃種植基地．某水果經(jīng)銷商計劃從種植專業(yè)戶李大爺處購進(jìn)甲，乙兩種新品獼猴桃進(jìn)行銷售．已知李大爺處乙種獼猴桃的進(jìn)價為8元/千克：李大爺對甲種獼猴桃的價格根據(jù)進(jìn)貨量給予優(yōu)惠，設(shè)該經(jīng)銷商購進(jìn)甲種獼猴桃x千克，購進(jìn)甲種獼猴桃所需費(fèi)用為y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該經(jīng)銷商計劃從李大爺處一次性購進(jìn)甲，乙兩種獼猴桃共200千克，且甲種獼猴桃不少于45千克，但又不超過80千克．如何分配甲，乙兩種獼猴桃的購進(jìn)量，才能使該經(jīng)銷商購進(jìn)這兩種獼猴桃付款總金額w（元）最少？11．（2023春·河南漯河·八年級?？计谀轫憫?yīng)習(xí)近平總書記的號召，鼓勵學(xué)生多讀書，某圖書館針對學(xué)生推出兩種新的借閱優(yōu)惠方案．甲方案：憑學(xué)生證辦理借閱卡，充值超過20元時，超過多少送多少；乙方案：憑學(xué)生證辦理會員卡，充值每滿40元再送20元．設(shè)借閱時間為x天，甲、乙兩種方案每本書的借閱租金分別表示（元），（元）關(guān)于x的所數(shù)圖象如圖所示．

(1)分別直接寫出與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)請求出圖中線段的長并說明它的實際意義；(3)八年級小蘭準(zhǔn)備用40元錢在該圖書館借閱一本書，選擇哪種方案辦卡更劃算？說明理由．12．（2021春·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┠程?，小明來到體育館看球賽，進(jìn)場時，發(fā)現(xiàn)門票還在家里，此時離比賽開始還有25分鐘，于是立即步行回家取票．同時，他父親從家里出發(fā)騎自行車以小明3倍的速度給他送票，兩人在途中相遇，相遇后小明立即坐父親的自行車趕回體育館．如圖中線段，分別表示父子倆送票、取票過程中，離體育館的路程s（米）與所用時間t（分鐘）之間的圖象，結(jié)合圖象解答下列問題（假設(shè)騎自行車和步行的速度始終保持不變）．

(1)圖中可知小明家離體育館_____________米，父子倆在出發(fā)后_____________分鐘相遇．(2)你能求出父親與小明相遇時，距離體育館還有多遠(yuǎn)？(3)小明能否在比賽開始之前趕回體育館？13．（2023春·河南商丘·八年級校聯(lián)考期末）2022年河南省全民健身（線上）運(yùn)動會最終各獎項于12月20日公布，此次盛會充分展示疫情防控常態(tài)化下我省全民健身開展情況，某健身房于此推出“云健身”服務(wù)，針對特殊人群開展活動．活動方案如下：方案一：不購買“云”，