專題08 等腰三角形中的分類討論模型（原卷版）

專題08等腰三角形中的分類討論模型模型1、等腰三角形中的分類討論：【知識儲備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質與三角形三邊關系解題即可。1）無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。2）“兩定一動”等腰三角形存在性問題：即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）例1．（2023秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）是等腰三角形，，則的周長為（

）A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或19例2．（2023春·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的周長為，一邊長為，則其它兩邊長是（

）A．， B．， C．，或， D．，例3．（2023秋·廣東八年級課時練習）若是等腰三角形，，則的度數(shù)是（

）A．或B．或C．或D．或或例4．（2022秋·江蘇南通·八年級啟東市長江中學?？茧A段練習）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為．例5．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）在如圖所示的網(wǎng)格中，在格點上找一點P，使為等腰三角形，則點P有（）

A．6個 B．7個 C．8個 D．9個例6．（2023·重慶市八年級期中）如圖1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，點B、D、C、F在同一直線上，點A在DE上．如圖2，△ABC固定不動，將△EDF繞點D逆時針旋轉α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，當直線E′F′與直線AC、BC所圍成的三角形為等腰三角形時，α的大小為___．例7．（2022秋·江蘇徐州·八年級?？计谥校┤鐖D，，點C是邊上的一個定點，點P在角的另一邊上運動，當是等腰三角形，°．例8．（2023·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，若點，，則.請在軸上找一點，使是以為腰的等腰三角形，點的坐標為.例9．（2023·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，若點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，設運動時間為秒（）．(1)若點在上，且滿足，求此時的值；(2)若點恰好在的角平分線上，求此時的值：(3)在運動過程中，當為何值時，為等腰三角形．

例10．（2022春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系內(nèi)，點O為坐標原點，經(jīng)過的直線交x軸正半軸于點B，交y軸于點，直線交x軸負半軸于點D，若的面積為

(1)求直線的表達式和點D的坐標；(2)橫坐標為m的點P在線段上（不與點重合），過點P作x軸的平行線交于點E，設的長為，求y與m之間的函數(shù)關系式并直接寫出相應的m取值范圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．課后專項訓練1．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的兩邊長分別為和，則這個三角形的周長為（

）A． B．或 C． D．或2.（2023·浙江·八年級課堂例題）如圖，是射線上一動點，，當為等腰三角形時，的度數(shù)一定不可能是（

）

A． B． C． D．3．（2023·福建龍巖·八年級校考期中）在平面直角坐標系xOy中，點，，若點C在x軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·江蘇八年級期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B都是格點（小正方形的頂點叫做格點），若△ABC為等腰三角形，且△ABC的面積為1，則滿足條件的格點C有(

)A．0個 B．2個 C．4個 D．8個5．（2023·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）如圖，由8個全等的小長方形拼成一個大正方形，線段AB的端點都在小長方形的頂點上，若點C是某個小長方形的頂點，連接CA，CB，那么滿足△ABC是等腰三角形的點C的個數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，若為軸上一點，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個7．（2022·安徽淮北·九年級階段練習）如圖，在中，，，．若點P為直線BC上一點，且為等腰三角形，則符合條件的點P有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2022·黑龍江·哈爾濱八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，在軸上確定點，使為等腰三角形，則符合條件的點有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個9．（2022·四川廣元·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點，C所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，在坐標軸上取一點M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有（

）A．6個B．7個C．8個D．9個10．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的一角為，則其頂角的大小是．11．（2023·四川涼山·八年級?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角是，則底角是．12．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習）我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫作等腰三角形的“特征值”，記作k．若，則該等腰三角形的頂角為度．13．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習）如果等腰三角形一腰上的中線將其周長分別為和9兩部分，那么這個等腰三角形的腰和底的長分別是．14．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級期末）在平面直角坐標系xOy中，已知A（1，2），在y軸確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P有____個．15．（2022秋·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習）如圖，中，，，，若點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，設運動時間為秒，當點在邊上，當時，是等腰三角形．

14．（2022秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，，，動點P從點B出發(fā)，沿射線以的速度運動，設運動時間為ts，當s時，是以為腰的等腰三角形．15．（2022·河南平頂山·八年級期末）如圖，中，，，的平分線與線段交于點，且有，點是線段上的動點（與A、不重合），連接，當是等腰三角形時，則的長為___________．16．（2023·上虞市初二月考）在如圖所示的三角形中，∠A＝30°，點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個動點，分別連接BP和PQ，把△ABC分割成三個三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的這三個三角形都是等腰三角形，則∠C有可能的值有________個．17．（2022·浙江·八年級專題練習）已知：如圖，線段和射線有公共端點．求作：點，使點在射線上，且為等腰三角形．（利用無刻度的直尺和圓規(guī)作出所有符合條件的點，不寫作法，保留作圖痕跡）18．（2022·山東·周村二中八年級期中）在同一平面內(nèi)，若點P與△ABC三個頂點中的任意兩個頂點連接形成的三角形都是等腰三角形，則稱點P是△ABC的巧妙點．（1）如圖，求作△ABC的巧妙點P（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若點P是△ABC的巧妙點，則符合條件的點P一共有幾個？請直接寫出每種情況下∠BPC的度數(shù)．（3）等邊三角形的巧妙點的個數(shù)有（

）A．2個

B．6個C．10個

D．12個19．（2022·黑龍江密山·八年級期末）如圖，直線MN與x軸、y軸分別相交于B、A兩點，．(1)求A，B兩點的坐標；(2)若點O到AB的距離為，求線段AB的長；(3)在（2）的條件下，x軸上是否存在點P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形，若存在請直接寫出滿足條件的點P的坐標．20．（2022秋·四川成都·八年級