【選修二同步】第01講 數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式教師版

第01講數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式【必備知識(shí)】1數(shù)列的概念：一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用表示，第個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，用表示．其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng)．備注：數(shù)列的一般形式：數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成，簡(jiǎn)記為．2函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系：數(shù)列是從正整數(shù)集(或它的有限子集)到實(shí)數(shù)集的函數(shù)，其自變量是序號(hào)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第項(xiàng)，記為．3數(shù)列的分類(lèi)：按照數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)多少可以分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列．4數(shù)列的單調(diào)性：(1)遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列(2)遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列(3)常數(shù)列：各項(xiàng)都相等的數(shù)列5通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與它的序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．備注：通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過(guò)的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．6數(shù)列的遞推公式：如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．7數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系：把數(shù)列從第1項(xiàng)起到第項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱(chēng)為數(shù)列的前項(xiàng)和，記作，即.備注：【題型精講】【題型一觀察法求數(shù)列通項(xiàng)】【題1】寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】數(shù)列分子為，分母為，由此可求得一個(gè)通項(xiàng)公式.【詳解】數(shù)列，則其分母為，分子為，則其通項(xiàng)公式為.故選：B【題2】數(shù)列4，7，10，13，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列中數(shù)據(jù)特征得到通項(xiàng)公式.【詳解】由符號(hào)來(lái)看，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以通項(xiàng)公式中應(yīng)該是，數(shù)值4，7，10，13，…滿(mǎn)足，所以通項(xiàng)公式可以是．故選：B．【題3】數(shù)列{an}：1，，，，…，的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)歸納出一個(gè)規(guī)律即得．【詳解】觀察數(shù)列{an}各項(xiàng)，可寫(xiě)成：，選項(xiàng)D滿(mǎn)足，選項(xiàng)A中，，選項(xiàng)B中，，選項(xiàng)C中，，均不符合題意．故選：D【題4】已知數(shù)列的前三項(xiàng)為4，3，2，則的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，結(jié)合選項(xiàng)判斷.【詳解】解：因?yàn)椋缘囊粋€(gè)通項(xiàng)公式可以為．而對(duì)于A的通項(xiàng)，，不符合題設(shè)要求；對(duì)于B中的通項(xiàng)，，不符合題設(shè)要求；對(duì)于D中的通項(xiàng)，，不符合題設(shè)要求.故選：C【題5】數(shù)列

的一個(gè)通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】觀察其分子，分母與項(xiàng)之間的關(guān)系即可求.【詳解】可化為，所以分子部分為，分母部分為，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，則，則.故答案為：【題6】觀察下圖，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)所成數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．【答案】．（結(jié)果不唯一）【分析】依次寫(xiě)出已知圖形中的點(diǎn)數(shù)，然后歸納出結(jié)論．【詳解】已知圖形中點(diǎn)數(shù)依次為：1，6，11，16，所以其中一個(gè)通項(xiàng)公式為．（結(jié)果不唯一）．【題7】在數(shù)列中，，，通項(xiàng)公式，其中p，q為常數(shù)，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)88是否是數(shù)列中的項(xiàng)？【答案】(1)；(2)88不是數(shù)列中的項(xiàng)【分析】（1）將，代入到通項(xiàng)公式中，聯(lián)立成方程組，求解出參數(shù)p，q，從而得出通項(xiàng)公式；（2）令，解出的值，若為正整數(shù)，則是數(shù)列中的項(xiàng)；若不是正整數(shù)，則不是數(shù)列中的項(xiàng).【詳解】（1）解：因?yàn)?，，通?xiàng)公式，所以，解得，，所以；（2）令，解得，因?yàn)?，所?8不是數(shù)列中的項(xiàng).【題8】在數(shù)列中，已知，且.(1)求通項(xiàng)公式.(2)求證：是遞增數(shù)列.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)將分別代入可計(jì)算出，可求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)遞增數(shù)列的定義，由即可得出證明.【詳解】（1）由，且可得，解得；因此.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）根據(jù)遞增數(shù)列的定義可知，，即，故是遞增數(shù)列.【題型二求數(shù)列中的具體項(xiàng)】【題1】已知數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，且，則實(shí)數(shù)等于（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】結(jié)合通項(xiàng)公式，利用列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得．故選：B.【題2】已知數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，且，則等于（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式及，求出的值，再將代入求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，即，解得，所以．故選：B.【題3】一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為，則（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式，直接代入和即可求出.【詳解】解：數(shù)列的通項(xiàng)為，∴，，∴.故選：A.【題4】已知數(shù)列滿(mǎn)足，則下列各數(shù)中屬于數(shù)列中的項(xiàng)的是（

）A．3 B． C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列滿(mǎn)足，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足，對(duì)于A中，令，解得，所以A不符合題意；對(duì)于B中，令，解得，所以B不符合題意；對(duì)于C中，令，解得，所以C不符合題意；對(duì)于D中，令，解得，所以D符合題意.故選：D.【題5】(多選)已知數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．此數(shù)列的通項(xiàng)公式是 B．是它的第項(xiàng)C．此數(shù)列的通項(xiàng)公式是 D．是它的第項(xiàng)【答案】AB【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)列中數(shù)字的規(guī)律，求出通項(xiàng)公式，即可依次求解.【詳解】數(shù)列，即，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為，A正確，C錯(cuò)，令，解得，故B正確，D錯(cuò).故選：AB【題6】(多選)大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題目，該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則（

）A．?dāng)?shù)列第16項(xiàng)為144 B．?dāng)?shù)列第16項(xiàng)為128C．200是數(shù)列第20項(xiàng) D．200不是數(shù)列中的項(xiàng)【答案】BC【分析】由題意首先猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求解該數(shù)列第16項(xiàng)及200是否是數(shù)列的項(xiàng)即可.【詳解】偶數(shù)項(xiàng)分別為2，8，18，32，50，即，，，，，即偶數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的第16項(xiàng)為第8個(gè)偶數(shù)即，故選:BC．【題7】已知數(shù)列中，，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為．【答案】【分析】根據(jù)的通項(xiàng)公式求得前項(xiàng)和.【詳解】依題意，，所以，，所以數(shù)列的前5項(xiàng)和為.故答案為：【題8】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是，()，則：（1）這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是；（2）65是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)．【答案】【分析】利用數(shù)列的通項(xiàng)公式與項(xiàng)的關(guān)系，即可得到答案.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列通項(xiàng)公式，所以數(shù)列的第4項(xiàng)；（2）由，得，即，因?yàn)?，可?所以65是這個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng).故答案為：，.【題9】已知無(wú)窮數(shù)列，，，…，，…．(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)和第31項(xiàng)．(2)是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？(3)證明：不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)．【答案】(1)，；(2)是這個(gè)數(shù)列中的第項(xiàng)；(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由數(shù)列的定義得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求得其第10項(xiàng)和第31項(xiàng)；（2）將代入該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得解；（3）將代入該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得證.【詳解】（1）因?yàn)闊o(wú)窮數(shù)列，，，…，，…，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，.（2）因?yàn)?，將代入，得，解得或（舍去），所以是這個(gè)數(shù)列中的第項(xiàng).（3）因?yàn)?，將代入，得，即，解得（?fù)值舍去），又，故也不滿(mǎn)足題意，所以不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng).【題10】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(1)數(shù)列從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大？(2)數(shù)列的哪些項(xiàng)為正數(shù)？(3)數(shù)列中是否存在數(shù)值與首項(xiàng)相同的項(xiàng)？【答案】(1)；(2)及其時(shí)，.；(3)存在，【分析】（1），利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案；（2）令，解得即可得出答案；（3）令，解得.【詳解】（1），數(shù)列從第項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大.（2）令，解得：或，因此及其時(shí)，.（3），令，解得：或，因此數(shù)列中存在數(shù)值與首項(xiàng)相同的項(xiàng)，.【題型三數(shù)列的遞推公式】【題1】在數(shù)列中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次計(jì)算，得到為周期數(shù)列，一個(gè)周期為3，從而求出.【詳解】由題意得，，，，……故為周期數(shù)列，一個(gè)周期為3，故.故選：C【題2】已知數(shù)列滿(mǎn)足且，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】由已知可得數(shù)列遞推式，求出其前面幾項(xiàng)，可得數(shù)列的周期，由此可求得答案.【詳解】由題意數(shù)列滿(mǎn)足，則，故由，得，由此可知數(shù)列的周期為4，故，故選：B【題3】已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，若，則的值可能為（

）A．2021 B．2022C．2023 D．2024【答案】D【分析】由遞推公式，寫(xiě)出數(shù)列前幾項(xiàng)，得到數(shù)列的周期，可求可能的值.【詳解】數(shù)列的遞推公式為，由，則有，，則是以4為周期的周期數(shù)列，，有，，故的值可能為2024．故選：D.【題4】在數(shù)列中，，，，則的值為（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】B【分析】由已知條件利用數(shù)列的遞推公式，依次令，3，4，5，結(jié)合遞推思想能求出結(jié)果．【詳解】在數(shù)列中，，，，，，．故選：B．【題5】盧卡斯數(shù)列滿(mǎn)足，．且的前6項(xiàng)和．則（

）A．29 B．47 C．76 D．123【答案】C【分析】設(shè)，列舉出各項(xiàng)，即可求.【詳解】設(shè)，則，則即，則，，，．故選：C【題6】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系分別求解數(shù)列的前13項(xiàng)，即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】根據(jù)遞推關(guān)系，可得數(shù)列的項(xiàng)為，進(jìn)而可得數(shù)列的前13項(xiàng)分別為：，所以，，，，故ABD正確，C錯(cuò)誤，故選：C【題7】“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列滿(mǎn)足遞推關(guān)系：，．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用遞推關(guān)系找到通項(xiàng)即可.【詳解】，以此類(lèi)推，．故選：D【題8】已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則的前10項(xiàng)和.【答案】75【分析】根據(jù)題意分別求，進(jìn)而求.【詳解】由題意可知：，，，，，，，，，，所以的前10項(xiàng)和.故答案為：75.【題9】已知數(shù)列滿(mǎn)足，若，則.【答案】/【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出前4項(xiàng)，推導(dǎo)出是以3為周期的數(shù)列，由此能求出.【詳解】數(shù)列滿(mǎn)足，，∴，，，∴是以3為周期的數(shù)列，∵，∴.故答案為：.【題10】已知數(shù)列中，，，則其第3項(xiàng)為．【答案】【分析】根據(jù)遞推公式及求出，進(jìn)而求出，得到.【詳解】因?yàn)?，所以，故，所?故答案為：【題11】已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則；數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為.【答案】21【分析】根據(jù)遞推關(guān)系寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)，可得數(shù)列的周期，利用周期求解.【詳解】由，且，可得，，，，，，故從開(kāi)始，每6項(xiàng)循環(huán)一次，且一個(gè)循環(huán)內(nèi)6項(xiàng)的和為0，，即前2023項(xiàng)的和為.故答案為：2；1【題12】已知數(shù)列滿(mǎn)足遞推關(guān)系，且.(1)求，，；(2)嘗試歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)，，；(2)【分析】（1）根據(jù)遞推公式，直接代入求解即可（2）根據(jù)題意歸納出規(guī)律：，進(jìn)而可求解【詳解】（1）因?yàn)椋?，，，?（2）由（1）可歸納得，，，，可以猜測(cè)，所以，可以猜測(cè)【題型四關(guān)系式法求數(shù)列通項(xiàng)】【題1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】利用，求出即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.【題2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，下列判斷中正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列前項(xiàng)的乘積有最大值 D．?dāng)?shù)列前項(xiàng)的乘積有最小值【答案】C【分析】根據(jù)已知求的方法求出通項(xiàng)公式，然后逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，代入上式，即，符合上式，所以，故A錯(cuò)誤；由可知，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，，，，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列前項(xiàng)的乘積有最大值，最大值為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.【題3】設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A．7 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意令，，兩式作差即可得結(jié)果.【詳解】令，可得，令，可得，兩式相減可得，所以.故選：C.【題4】已知數(shù)列滿(mǎn)足，則的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題中等式，可得，再結(jié)合時(shí)，可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，由，，兩式相減得，此時(shí)，，也滿(mǎn)足，所以的通項(xiàng)公式為.故選：B.【題5】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合和，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.【題6】已知數(shù)列的前項(xiàng)和（為正整數(shù)），則此數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】利用可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和（為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足.所以，.故答案為：.【題7】已知數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】利用數(shù)列和與通項(xiàng)的關(guān)系，分兩種情況求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?xún)墒较鄿p可得；顯然不滿(mǎn)足上式，綜上可得.故答案為：【題8】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求，；(2)求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)18，；(2).【分析】（1）代入求，由可得；（2）由與的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，則；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題型