【數(shù)學(xué)】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用（第二課時(shí)）課件 2023-2024學(xué)年高二上人教A版（2019）選必二

第四章數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

（第二課時(shí)）復(fù)習(xí)引入1.等差數(shù)列的定義

2.等差中項(xiàng)的定義如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).

3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式2A=a+b4.等差數(shù)列的函數(shù)特征

函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)在同一條直線上：d＞0,等差數(shù)列單調(diào)遞增；d＜0,等差數(shù)列單調(diào)遞減；d＝0,等差數(shù)列為常數(shù)列.例1

已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,d=8,在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

(2)b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng)?若是,它是{an}的第幾項(xiàng)?若不是,請(qǐng)說明理由.

l

4.已知數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,公差分別為d1,d2,數(shù)列{cn}滿足cn=

an

+2bn

.

(1)數(shù)列{cn}是否是等差數(shù)列?若是,證明你的結(jié)論;若不是,請(qǐng)說明理由.(2)若{an},{bn}的公差都等于2,a1=

b1=1,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.課本P175.已知一個(gè)無窮等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d.(1)將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉,其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列,這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)和公差分別是多少?

(2)依次取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)(偶數(shù)項(xiàng)),組成一個(gè)新的數(shù)列,這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)和公差分別是多少?

(3)依次取出數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng),組成一個(gè)新的數(shù)列,它是等差數(shù)列嗎?你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎?課本P17d

cd

pd

等差數(shù)列

即若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則ak，ak＋m

，ak＋2m，…(k，m∈N*)組成公差為

的等差數(shù)列偶數(shù)列{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d，奇數(shù)列{a2n-1}也是等差數(shù)列，公差為2d.md等差數(shù)列的性質(zhì)35問題1

觀察等差數(shù)列:2,4,6,8,10,12,14,16,……說出8是哪兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)？并找到它們滿足的規(guī)律？

問題2觀察項(xiàng)的角標(biāo)滿足什么關(guān)系？由此你能得到什么固定的結(jié)論嗎？探究：對(duì)于等差數(shù)列:a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,…說出a4是哪兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)？觀察與猜想：觀察上述各項(xiàng)的角標(biāo)滿足什么關(guān)系？由此猜想相關(guān)結(jié)論.證明：證明上述猜想。反例：常數(shù)列如：a2+a8＝2a5如：a2+a8＝a4+a6＝a3+a7誤區(qū)1：a7+a8＝a15，a1+a21＝a22(×)誤區(qū)2：若{an}為等差數(shù)列,am+an＝ap+aq,則m+n＝p+q(×)與首末項(xiàng)“等距”的兩項(xiàng)之和等于首末項(xiàng)的和反例:常數(shù)列思考例5是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，圖4.2-2是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎?nanO????spqtasapaqatS(s,as)P(p,ap)Q(q,aq)T(t,at)問題4

2+3=5，a2+a3=a5成立嗎？【注】等式兩邊作和的項(xiàng)數(shù)必須一樣多！不成立練習(xí)

已知

a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，求a3+a6+a9的值.法1：∵∵法2：設(shè)此數(shù)列的公差為d,根據(jù)題意得：[P16-例3]某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少，經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過一年其價(jià)值就會(huì)減少d(d為正常數(shù))萬元.已知這臺(tái)設(shè)備使用年限為10年，超過10年它的價(jià)值將低于進(jìn)價(jià)的5%，設(shè)備將報(bào)廢，請(qǐng)確定d的范圍。解：設(shè)使用n年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值為an萬元，依題意得an－an－1=﹣d(n≥2)，即{an}是公差為﹣d的等差數(shù)列.∴an=220－d+(n－1)(﹣d)=220－nd.[引例]首項(xiàng)為-21的等差數(shù)列{an}從第8項(xiàng)起開始為正數(shù)，求公差d的取值范圍.a1=220－d，例4已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,d=8,在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

(2)b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng)?若是,它是{an}的第幾項(xiàng)?若不是,請(qǐng)說明理由.例5、已知遞減等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)和為18，前三項(xiàng)的乘積為66.求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷－34是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？解：設(shè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為

，

，

，即

，

，.則

，解得

，又∵{an}是遞減等差數(shù)列，所以d<0.故

，

，通項(xiàng)公式.令

，解得

，所以-34是數(shù)列的第10項(xiàng).例6

(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,其和為9,前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍,求這三個(gè)數(shù)；(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列,中間兩項(xiàng)的和為2,首末兩項(xiàng)的積為-8,求這四個(gè)數(shù)．練習(xí)（1）已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為15，積為80，求這三個(gè)數(shù)；（2）已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為34，中間兩個(gè)數(shù)的積為70，求這四個(gè)數(shù).(1)當(dāng)已知條件中出現(xiàn)與首項(xiàng)、公差有關(guān)的內(nèi)容時(shí)，可直接設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，利用已知條件建立方程(組)求出a1和d，即可確定此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)當(dāng)已知數(shù)列有3項(xiàng)時(shí)，可設(shè)為a－d，a，a＋d，此時(shí)公差為d.若有5項(xiàng)、7項(xiàng)、…時(shí)，可同理設(shè)出.(3)當(dāng)已知數(shù)列有4項(xiàng)時(shí)，可設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此時(shí)公差為2d.若有6項(xiàng)、8項(xiàng)、…時(shí)，可同理設(shè)出.等差數(shù)列的設(shè)項(xiàng)方法和技巧:D201.某體育場(chǎng)一角看臺(tái)的座位是這樣排列的：第1排有15個(gè)座位，從第2排起每一排都比前一排多2個(gè)座位.你能用an表示第n排的座位數(shù)嗎?第10排有多少個(gè)座位?nanO?1569121518?2????3463課本P173.在等差數(shù)列{an}中，an=m，am

=n，且n≠m，求am+n.課本P17性質(zhì)：在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都相等，都等于首末兩項(xiàng)之和：a1＋an＝a2＋an－1＝...＝ai＋an＋1－i＝...2．由等差數(shù)列衍生的新數(shù)列：若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有dcd2dpd＋qd′總結(jié)：課堂檢測(cè)：1.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，則a13＝(

)A．9

B．12C．15D．18AC3.已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則數(shù)列{an＋bn}的第37項(xiàng)為(

)A．0B．37C．100D．－37C2.如果在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(

)A．14B．12C．28D．364.我國(guó)古代用日晷測(cè)量日影的長(zhǎng)度，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度．《周脾算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)損益相同．二十四個(gè)節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示．相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)的變化量相同，周而復(fù)始．從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若測(cè)得冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為25.5尺，則冬至日影的長(zhǎng)為(

)A．11.5B．12.5C．13.