開題報(bào)告 數(shù)學(xué)模型

PAGE襄樊學(xué)院畢業(yè)論文開題報(bào)告程巍巍數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)0711班Newton迭代法的應(yīng)用及其改進(jìn)姓名：程巍巍專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號(hào)：07109022指導(dǎo)教師：游學(xué)民研究目的和意義牛頓迭代法也稱為牛頓-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是數(shù)值分析中最重要的方法之一。這種方法使用某個(gè)固定的迭代公式，采用逐次逼近的方法反復(fù)校正根的近似值，使之逐步精確化，最后得到滿足精確度要求的結(jié)果。它是解代數(shù)，超越方程，微分方程等的一種基本而重要的數(shù)值方法。多數(shù)方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優(yōu)點(diǎn)是在方程的單根附近具有平方收斂。用牛頓迭代法解方程，雖然在單根附近具有較快的收斂速度，但每次都要計(jì)算導(dǎo)數(shù)。當(dāng)比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算可能很困難。由于牛頓法解對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要求很高，計(jì)算量也較大，并且迭代的初值與精確值很靠近。為了克服這些缺點(diǎn)，可通過(guò)對(duì)Newton迭代法的一些修正和改進(jìn)，使得到的迭代序列變成超線性收斂，提高迭代的收斂速度。二、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展Newton迭代法是科學(xué)巨匠IsaacNewton爵士于三百多年前提出來(lái)的。今天，Newton法已經(jīng)成為現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)上廣泛采用的求解非線性方程組的主要方法之一。目前，關(guān)于Newton法的理論研究主要集中在下面兩個(gè)方面:一是著重于方法的收斂性證明；另一方面是致力于求出方法的收斂速度。除此之外，能否將Newton法推廣應(yīng)用到其它方面，成為擺在計(jì)算數(shù)學(xué)工作者面前的一個(gè)重要課題。隨著計(jì)算機(jī)圖形圖象處理功能的增強(qiáng)和分形幾何理論研究的深入發(fā)展，人們嘗試借助于計(jì)算機(jī)用各種方法研究和生成分形圖形。牛頓迭代法的不足：①每次迭代一次都要計(jì)算導(dǎo)數(shù)。②Newton迭代法是局部收斂的，對(duì)初值的要求是苛刻的，若初值不在局部收斂的鄰域內(nèi)，則很難保證迭代的收斂性，而實(shí)際應(yīng)用中，往往很難給出與準(zhǔn)確值充分接近的初值。③重根情形下Newton迭代法僅線性收斂，且重?cái)?shù)越高，收斂越慢。④雖然Newton迭代法至少平方收斂，但我們?nèi)钥衫肨aylor展開式將其升級(jí)改進(jìn)，使其收斂階至少達(dá)到3階。三、主要研究?jī)?nèi)容、途徑及主攻方向本課題的主攻方向是對(duì)牛頓迭代法的改進(jìn)。其中本課題的主要內(nèi)容和途徑有：（一）簡(jiǎn)述牛頓迭代法1、牛頓迭代法的原理2、牛頓迭代法的局部收斂性及收斂階3、重根條件下牛頓迭代法的收斂階問(wèn)題（二）牛頓迭代法在計(jì)算中的應(yīng)用舉例——求方程的根、求近似值（三）牛頓迭代法的改進(jìn)１、弦截法牛頓迭代法雖然具有收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，但每次迭代一次都要計(jì)算導(dǎo)數(shù)，當(dāng)比較復(fù)雜時(shí)，不僅每次計(jì)算計(jì)算帶來(lái)很多不便，而且還可能十分麻煩。為避免計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：①若使用差商替代牛頓公式中的導(dǎo)數(shù)，便得到迭代公式。②若用平均變化率：來(lái)近似代替，于是得到如下迭代公式：稱為單點(diǎn)弦截法?？梢宰C明，單點(diǎn)弦截法具有收斂的階r＝1，即具有線性收斂速度。③若把單點(diǎn)弦截法中的不動(dòng)點(diǎn)(，)改為變動(dòng)點(diǎn)(，)，得到下面的雙點(diǎn)弦截法的迭代公式：由于在雙點(diǎn)弦截法中，構(gòu)造的迭代公式在計(jì)算新的近似值時(shí)，不僅用到點(diǎn)上的函數(shù)值，而且還用到點(diǎn)及其函數(shù)值，這就有可能提高迭代法的收斂速度。2、改進(jìn)初值的Newton迭代法——牛頓下山法。3、重根條件下Newton迭代法的改進(jìn)，根據(jù)是否知道重根的重?cái)?shù)進(jìn)行改進(jìn)。4、升級(jí)Taylor展開三階牛頓迭代法——對(duì)于的單根，改進(jìn)迭代法，該迭代法三階收斂。5、牛頓迭代法中初始值取得接近根時(shí)，具有平方收斂速度，而割線法在，取得相當(dāng)接近，且時(shí)，收斂速度約為1。68。對(duì)牛頓迭代公式，令，用在和出導(dǎo)數(shù)的算術(shù)平均值代替，再校正得………………（1）當(dāng)在區(qū)間[a，b]上4階連續(xù)可微，，在[a，b]上不等于零，在[a，b]上不變號(hào)時(shí)，對(duì)任意選定，則由迭代公式（1）生成的點(diǎn)列收斂于的根，且至少具有3階收斂速度。6、利用Newton迭代法和微分中值定理中值點(diǎn)的漸近性，給出Newton迭代法的一個(gè)改進(jìn)。根據(jù)微分中值定理，存在使得，因此，當(dāng)b與a的距離無(wú)限接近時(shí)有，也就是說(shuō)在區(qū)間(a，b)不太大時(shí)，中值點(diǎn)一定在其漸近位置附近，并隨區(qū)間變小而趨于其漸近位置?；谏鲜隹紤]，給出一種通過(guò)迭代點(diǎn)選取另一個(gè)點(diǎn)，利用兩個(gè)點(diǎn)進(jìn)行迭代求近似根的新方法。設(shè)滿足下列條件(A)：(1)在區(qū)間[a，b]上存在二階導(dǎo)數(shù)；(2)在[a，b]上不等于零；(3)在[a，b]上不變號(hào)；(4)。為了更為直觀，我們通過(guò)幾何直觀圖來(lái)構(gòu)造多點(diǎn)迭代。設(shè)滿足條件(A)，當(dāng)選定初值(僅要求)，如圖1所示，作點(diǎn)A的切線交x軸于B（，0），AQ線段的斜率為:。由微分中值定理知，存在使得，是顯然成立的。若取，過(guò)點(diǎn)P(，作切線PC，圖中AD平行于PC，用點(diǎn)P的導(dǎo)數(shù)代替點(diǎn)A的導(dǎo)數(shù)，而仍用點(diǎn)A的迭代格式得到點(diǎn)D的坐標(biāo):(，0)，重復(fù)上述過(guò)程，得到多點(diǎn)迭代公式其中，k=1，2，……此方法不必計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)值，但收斂速度卻更高。最后用數(shù)值試驗(yàn)可以驗(yàn)證此方法比Newton迭代法有效。四、工作的主要階段及進(jìn)度1、本課題主要研究牛頓迭代法的改進(jìn)，在書寫論文初期就需要較多地查閱并收集一些相關(guān)資料，整理好這些資料并初步確定論文提綱，完成開題報(bào)告。2、與老師商討，完成論文框架，包括送交、修改。3、依據(jù)論文大綱完成論文初稿并交給老師批閱。4、完成論文二稿并交給老師批閱。5、翻譯相關(guān)英文資料，并完成相關(guān)論文簡(jiǎn)介、答辯提綱等。6、整理并打印論文。五、參考文獻(xiàn)[1]劉少師，計(jì)算方法[M]。北京，科學(xué)出版社，2005。[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M]。北京:高等教育出版社，2001。[3]何旭初，蘇煜城，包雪松。計(jì)算數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程[M]。北京:高等教育出版社，1986。[4]劉墨德，Newton迭代法及其改進(jìn)[J]。三明學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，24（2）：134-137。[5]高堅(jiān)，預(yù)測(cè)試迭代方法——一種新的迭代思想[J]。煙臺(tái)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，11（1）：87-89。[6]蔡慧萍，牛頓迭代法在非線性方程求重根中的應(yīng)用[J]。石河子大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，24（3）：374-378。[7]馮新龍，張知難.求解非線性方程的加權(quán)迭代法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22(4):85-88。.[8]周鐵，徐樹方，張平文等。計(jì)算方法[M].北京:清華大學(xué)出版社，2006。[9]陳蘭平，焦寶聰，馬恩林。一種該進(jìn)Newton迭代法。首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)[J]。1996，17（3）：90-92。[10]陳新一，Newton迭代法的一個(gè)改進(jìn)[J]。數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006，36（2）。[11]陳新一，一種多點(diǎn)迭代方法[J]。甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，15(1):13—16。[12]陳新一。弦割法的一個(gè)改進(jìn)[J]。甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào)。2001，15（3）：17-19。[13]張新東，王秋華，避免二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算Newton迭代法的一個(gè)改進(jìn)[J]。山東大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，42（7）：72-76。[14]WANGXinghua.ConvergenceontheinterationofHalleyfamilyinweakcondition[J].ChineseScienceBulletin，1997，42(7):552-555.[15]王興華，郭學(xué)萍。Newton法及其各種變形收斂性的統(tǒng)一判定定理[J]。高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1999，21(4):363-368。[16]郭學(xué)萍。避免二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算的迭代族的收斂性[J]。工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001，18(4):29-34。[17]龍愛芳。避免二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算的迭代法[J]。浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，33(5):602-604。[18]葉留青，孫建設(shè)。Newton迭代法的修正算法——預(yù)測(cè)式迭代法[J]。焦作工學(xué)院學(xué)報(bào)2003，22（6）：493-494。[19]劉長(zhǎng)河，劉世祥，汪元倫。Newton迭代法的一點(diǎn)注記[J