2023學(xué)年完整公開課版冪函數(shù)

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授在其《數(shù)學(xué)的用場與發(fā)展》中指出:

“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)?！眴栴}1:如果張紅購買了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要付的錢數(shù)y（元）和購買的蔬菜量x

（千克）之間有何關(guān)系？問題2:如果正方形的邊長為x，那么正方形面積y＝？問題3:如果正方體的棱長為x，那么正方體體積y＝？問題4:如果正方形場地的面積為x，那么正方形的邊長

y＝？問題5:如果某人x秒內(nèi)騎車行進(jìn)1千米，那么他騎車的平均速度y=？（千米/秒）問題情境

你能發(fā)現(xiàn)這幾個函數(shù)解析式有什么共同點嗎?探索發(fā)現(xiàn)2.4冪函數(shù)定義幾點說明:1、對于冪函數(shù)，我們只討論

=1，2，3，，-1時的情形。2、冪函數(shù)不象指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，其定義域隨的不同而不同。冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比式子名稱

a

x

y指數(shù)函數(shù):y=a

x

冪函數(shù):y=x

a

底數(shù)指數(shù)指數(shù)底數(shù)冪值冪值判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點看看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)√√√××1.判斷下列函數(shù)哪些是冪函數(shù)？（1）(2)

(3)(4)

(5)2.若冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(3,27)則f(2)＝＿＿＿＿8思考題例１．寫出下列函數(shù)的定義域，并分別指出它們的奇偶性：定義域為R，奇函數(shù)定義域為，非奇非偶定義域為，偶函數(shù)

研究函數(shù)的定義域和奇偶性,對作函數(shù)圖象有什么作用?二、冪函數(shù)的圖象試作出下列函數(shù)的圖象

幾個冪函數(shù)的性質(zhì):定義域值域奇偶性單調(diào)性公共點RR奇函數(shù)增函數(shù)(0,0),(1,1)R偶函數(shù)(0,0),(1,1)RR奇函數(shù)增函數(shù)(0,0),(1,1)非奇非偶增函數(shù)(0,0),(1,1)奇函數(shù)(1,1)冪函數(shù)的性質(zhì):１.所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且函數(shù)圖象都通過點(1,1);冪函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性，因函數(shù)式中k的不同而各異.３.如果k<0,則冪函數(shù)的圖象過點(1,1),并在(0,+∞)上為減函數(shù);K<0２.如果k>0,則冪函數(shù)的圖象過點(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上為增函數(shù);k>10<k<1練習(xí):如圖所示，曲線是冪函數(shù)y=xk

在第一象限內(nèi)的圖象，已知k分別取四個值，則相應(yīng)圖象依次為:________

一般地，冪函數(shù)的圖象在直線x=1的右側(cè)，大指數(shù)在上，小指數(shù)在下，在Y軸與直線x=1之間正好相反。

C4C2C3C11練習(xí)找出下列函數(shù)：相對應(yīng)的圖象．1、求下列冪函數(shù)的定義域,并判斷奇偶性。（1）y=x

（2）y=x

（3）y=x

（4）y=x-2練習(xí)練習(xí):如果函數(shù)是冪函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，求滿足條件的實數(shù)m的集合。1）函數(shù)f(x)的圖象與x、y軸不相交（或與坐標(biāo)軸無公共點）。2）函數(shù)f(x)的圖象不經(jīng)過原點）。方法技巧:分子有理化例3.比較下列各組數(shù)的大小：<>>>知識應(yīng)用：解后反思兩個數(shù)比較大小時，何時用冪函數(shù)模型，何時用指數(shù)函數(shù)模型？

練習(xí)1）2）3）4）＜＜＞≤變式2.指出函數(shù)f(x)＝的單調(diào)區(qū)間，并比較f(－π)與f的大?。獯穑?/p>

其圖象可由冪函數(shù)y＝x－2圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位得到，該函數(shù)在(－2，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，－2)上是增函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x＝－2對稱(如圖)．冪函數(shù)的圖象在解方程和不等式時有著重要作用．【例4】

點(

，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點在冪函數(shù)g(x)的 圖象上，問當(dāng)x為何值時，有f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)，f(x)＜g(x)．

思維點撥：由冪函數(shù)的定義，求出f(x)與g(x)的解析式， 再利用圖象判斷即可．解：設(shè)f(x)＝xα，則由題意得2＝(

)α，∴α＝2，即f(x)＝x2，再設(shè)g(x)＝xβ，則由題意得＝(－2)β，∴β=-2，即g(x)=，在同一坐標(biāo)系中作出f(x)與g(x)的圖象，如圖所示．由圖象可知：①當(dāng)x＞1或x＜-1時，f(x)＞g(x)；②當(dāng)x=±1時，f(x)=g(x)；③當(dāng)-1＜x＜1且x≠0時，f(x)＜g(x)．已知冪函數(shù)

(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足的a的取值范圍.【考卷實錄】

解答：∵函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，∴m2－2m－3是偶數(shù)．而22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，12－2×1－3＝－4為偶數(shù)，∴m＝1.【答題模板】

而y＝

在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)，等價于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或.故a的取值范圍為

解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出m的值后，依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象建立關(guān)于a的不等式組．在這里極易出現(xiàn)認(rèn)為函數(shù)在(－∞，0)和(0，＋∞)上為減函數(shù)，則函數(shù)必在定義域內(nèi)是減函數(shù)的認(rèn)識誤區(qū)．從而誤用性質(zhì)產(chǎn)生錯誤，事實上由冪函數(shù)y＝

的圖象可知函數(shù)在整個定義域內(nèi)圖象整體不呈下降趨勢，故函數(shù)只能說在定義域的兩個子集上分別為減函數(shù)，另外在分類討論時，要做到不重不漏，尤其是a＋1＜0＜3－2a這種情況容易被忽略，應(yīng)引起注意.

【分析點評】小結(jié)：

⒈冪函數(shù)概念，常見冪函數(shù)的圖像，冪函數(shù)圖像變化情況和性質(zhì)；⒉應(yīng)用常見冪函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同指數(shù)的指數(shù)冪的大小。一、基本內(nèi)容小結(jié)：二、思想方法1.通過研究函數(shù)的性質(zhì)來指導(dǎo)作圖，反過來又借助于函數(shù)圖象來進(jìn)一步研究函數(shù)性質(zhì)；2.根據(jù)對某類事物中的一部分對象的情況，而作出關(guān)于該類事物一般性結(jié)論的推理，其結(jié)論是否正確，還需要理論的證明和實踐的檢驗。y=x3y=x2xOy=x2yy=x311y=x（1）圖象都過（0，0）點和（1，1）點；（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大，即在[0，+∞)上是增函數(shù)。α>