2023學年完整公開課版冪函數

我國著名數學家華羅庚教授在其《數學的用場與發(fā)展》中指出:

“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學?！眴栴}1:如果張紅購買了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要付的錢數y（元）和購買的蔬菜量x

（千克）之間有何關系？問題2:如果正方形的邊長為x，那么正方形面積y＝？問題3:如果正方體的棱長為x，那么正方體體積y＝？問題4:如果正方形場地的面積為x，那么正方形的邊長

y＝？問題5:如果某人x秒內騎車行進1千米，那么他騎車的平均速度y=？（千米/秒）問題情境

你能發(fā)現(xiàn)這幾個函數解析式有什么共同點嗎?探索發(fā)現(xiàn)2.4冪函數定義幾點說明:1、對于冪函數，我們只討論

=1，2，3，，-1時的情形。2、冪函數不象指數函數和對數函數，其定義域隨的不同而不同。冪函數與指數函數的對比式子名稱

a

x

y指數函數:y=a

x

冪函數:y=x

a

底數指數指數底數冪值冪值判斷一個函數是冪函數還是指數函數切入點看看未知數x是指數還是底數冪函數指數函數√√√××1.判斷下列函數哪些是冪函數？（1）(2)

(3)(4)

(5)2.若冪函數y＝f(x)的圖象經過點(3,27)則f(2)＝＿＿＿＿8思考題例１．寫出下列函數的定義域，并分別指出它們的奇偶性：定義域為R，奇函數定義域為，非奇非偶定義域為，偶函數

研究函數的定義域和奇偶性,對作函數圖象有什么作用?二、冪函數的圖象試作出下列函數的圖象

幾個冪函數的性質:定義域值域奇偶性單調性公共點RR奇函數增函數(0,0),(1,1)R偶函數(0,0),(1,1)RR奇函數增函數(0,0),(1,1)非奇非偶增函數(0,0),(1,1)奇函數(1,1)冪函數的性質:１.所有的冪函數在(0,+∞)都有定義,并且函數圖象都通過點(1,1);冪函數的定義域、奇偶性、單調性，因函數式中k的不同而各異.３.如果k<0,則冪函數的圖象過點(1,1),并在(0,+∞)上為減函數;K<0２.如果k>0,則冪函數的圖象過點(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上為增函數;k>10<k<1練習:如圖所示，曲線是冪函數y=xk

在第一象限內的圖象，已知k分別取四個值，則相應圖象依次為:________

一般地，冪函數的圖象在直線x=1的右側，大指數在上，小指數在下，在Y軸與直線x=1之間正好相反。

C4C2C3C11練習找出下列函數：相對應的圖象．1、求下列冪函數的定義域,并判斷奇偶性。（1）y=x

（2）y=x

（3）y=x

（4）y=x-2練習練習:如果函數是冪函數，且在區(qū)間（0，+∞）內是減函數，求滿足條件的實數m的集合。1）函數f(x)的圖象與x、y軸不相交（或與坐標軸無公共點）。2）函數f(x)的圖象不經過原點）。方法技巧:分子有理化例3.比較下列各組數的大?。?lt;>>>知識應用：解后反思兩個數比較大小時，何時用冪函數模型，何時用指數函數模型？

練習1）2）3）4）＜＜＞≤變式2.指出函數f(x)＝的單調區(qū)間，并比較f(－π)與f的大小．解答：

其圖象可由冪函數y＝x－2圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位得到，該函數在(－2，＋∞)上是減函數，在(－∞，－2)上是增函數，且其圖象關于直線x＝－2對稱(如圖)．冪函數的圖象在解方程和不等式時有著重要作用．【例4】

點(

，2)在冪函數f(x)的圖象上，點在冪函數g(x)的 圖象上，問當x為何值時，有f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)，f(x)＜g(x)．

思維點撥：由冪函數的定義，求出f(x)與g(x)的解析式， 再利用圖象判斷即可．解：設f(x)＝xα，則由題意得2＝(

)α，∴α＝2，即f(x)＝x2，再設g(x)＝xβ，則由題意得＝(－2)β，∴β=-2，即g(x)=，在同一坐標系中作出f(x)與g(x)的圖象，如圖所示．由圖象可知：①當x＞1或x＜-1時，f(x)＞g(x)；②當x=±1時，f(x)=g(x)；③當-1＜x＜1且x≠0時，f(x)＜g(x)．已知冪函數

(m∈N*)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數，求滿足的a的取值范圍.【考卷實錄】

解答：∵函數在(0，＋∞)上單調遞減，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函數圖象關于y軸對稱，∴m2－2m－3是偶數．而22－2×2－3＝－3為奇數，12－2×1－3＝－4為偶數，∴m＝1.【答題模板】

而y＝

在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數，等價于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或.故a的取值范圍為

解決本題的關鍵是根據函數的奇偶性求出m的值后，依據冪函數的性質和圖象建立關于a的不等式組．在這里極易出現(xiàn)認為函數在(－∞，0)和(0，＋∞)上為減函數，則函數必在定義域內是減函數的認識誤區(qū)．從而誤用性質產生錯誤，事實上由冪函數y＝

的圖象可知函數在整個定義域內圖象整體不呈下降趨勢，故函數只能說在定義域的兩個子集上分別為減函數，另外在分類討論時，要做到不重不漏，尤其是a＋1＜0＜3－2a這種情況容易被忽略，應引起注意.

【分析點評】小結：

⒈冪函數概念，常見冪函數的圖像，冪函數圖像變化情況和性質；⒉應用常見冪函數的單調性比較兩個同指數的指數冪的大小。一、基本內容小結：二、思想方法1.通過研究函數的性質來指導作圖，反過來又借助于函數圖象來進一步研究函數性質；2.根據對某類事物中的一部分對象的情況，而作出關于該類事物一般性結論的推理，其結論是否正確，還需要理論的證明和實踐的檢驗。y=x3y=x2xOy=x2yy=x311y=x（1）圖象都過（0，0）點和（1，1）點；（2）在第一象限內，函數值隨x的增大而增大，即在[0，+∞)上是增函數。α>