三角函數(shù)中給值求角的解題反思

PAGEPAGE3三角函數(shù)中“給值求角”的解題反思市二中學2006年高三7班數(shù)學學習小組“給值求角”是三角函數(shù)中主要一種求值問題，解答中很容易誤解。如何準確快捷地通過已知的三角函數(shù)值及角的范圍來求出未知角，是值得我們?nèi)パ芯糠此嫉摹＠阎?，且，求的值。分析：給值求角的一般思路是由已知的三角函數(shù)值，選擇適當?shù)娜呛瘮?shù)名求出所求角的三角函數(shù)值，再由已知角的范圍，確定所求角的值。【錯解1】，，即，故.【剖析】上述錯解中，是直接由得，這是同學們最容易犯的錯，因為大家對已非常熟練，殊不知，終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，而角在沒有受限制條件下，有無數(shù)多個，是無法確定的。因此要確定角的范圍，這也是已知三角函數(shù)值求角最關(guān)鍵的一步?！菊?】，，再由，故.【錯解2】，，，，或【剖析】在錯解2）中，考慮了角的限制范圍，解法比錯解1)要有所改善，看似天衣無縫，實際上解法欠嚴密。僅由，而得或兩個值是正確的。但題設中，使得，顯然錯誤的原因是由于的范圍的擴大而導致增解，因此縮小角的有效范圍來解中的角是關(guān)鍵。【正解2】，，，，故由，.例2：已知，求sin2分析：變角：解：又=小結(jié)：做這類題目應根據(jù)已知條件探導角之間的隱含關(guān)系角的變用問題，是最基本的三角變換，較靈活，在教學上是一個難點，在歷年的高考中角的變用多次出現(xiàn)，所以應給予高度的重視，突破這個難點【反思】已知告訴我們一些角的三角函數(shù)值來求其它角，首先觀察分析已知角與所求角的特征，往往將所求的角用已知角來表示，把已知條件中角看作是一個整體，再結(jié)合兩角和與差的三角公式求之。一般情況不將已知條件的角拆開來求，那樣運算比較復雜。若已知是有關(guān)角的正弦值或余弦值，習慣上會用兩角和與差的正弦或余弦公式來求角，但上述兩種錯解不難發(fā)現(xiàn)，利用兩角和的余弦公式的方法較簡單；因此恰當?shù)剡x擇兩角和的正弦還是余弦公式也是導致解題快捷與否的關(guān)鍵，而這突破口就是看所要求的角的范圍，看哪個三角函數(shù)在這個范圍內(nèi)是單調(diào)的，從而可避免增解的產(chǎn)生。如例題中由于已知得，我們可以借助單位圓，不難發(fā)現(xiàn)這個角的余弦值在區(qū)間是是單調(diào)變小，而正弦值則是先增大后減小，不是單調(diào)的。顯然是求出的值來求角可唯一確定。若我們從縮小角的范圍去考慮，也可避免增解的出現(xiàn)（如正解2），但要縮小角的范圍，則需將已知三角函數(shù)值與特殊角的三角函數(shù)值去比較。如能將角的范圍縮的更小，更能確定角的位置來避免增解，但難度會增大，解題過程中我們只要根據(jù)需要，適當縮小到有效范圍就可以了，在解題時注意體會和應用。（４）給值求角解決“給值求角”問題是由兩個關(guān)鍵步驟構(gòu)成：一把所求角用含已知角的式子表示，二由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角．對于通過變形轉(zhuǎn)化為已知三角函數(shù)值求角的問題，關(guān)鍵又在于對角的范圍的討論，必要時可根據(jù)三角函數(shù)值，縮小角的范圍，從而求出準確角．另外，求角一般都通過其三角函數(shù)值來實現(xiàn)，但求該角的哪一種函數(shù)值，往往有一定的規(guī)律．若，則求；若，則求等．“角的演變”規(guī)律，如；；；；，；，；還有有的倍角，是的倍角等．三角函數(shù)式中往往出現(xiàn)較多的差異角，注意觀察角與