自考4184線性代數(shù)(經(jīng)管類)歷年真題及答案2

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

全國2008年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

課程代碼：04184

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1.設(shè)A為三階方陣且|A|2則|3ATA|（D）

A.-108B.-12C.12D.108

3x1kx2x30

2.如果方程組4x2x30有非零解，則k=(B)

4x2kx30

A.-2

B.-1C.1D.2

3.設(shè)A、B為同階方陣，下列等式中恒正確的是(D)

A.ABBA

B.(AB)1A1B1D.(AB)TATBTC.|AB||A||B|

4.設(shè)A為四階矩陣，且|A|2,則|A|(C)

A.2

B.4

C.8D.125.設(shè)可由向量1(1,0,0),2(0,0,1)線性表示，則下

列向量中只能是(B)

A.(2,1,1)B.(3,0,2)C.(1,1,0)

D.(0,1,0)6.向量組1,2,,s的秩不為s(s2)的充分必要條件是

(C)

A.1,2,,s全是非零向量

B.1,2,,s全是零向量

1

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

C.1,2,,s中至少有一個向量可由其它向量線性表出D.1,2,,s

中至少有一個零向量

7.設(shè)A為mn矩陣，方程AX=0僅有零解的充分必要條件是（C）A.A

的行向量組線性無關(guān)C.A

的列向量組線性無關(guān)

B.A的行向量組線性相關(guān)D.A的列向量組線性相關(guān)

..A.|A||B|

B.秩（A尸秩（B）D.EAEB

C.存在可逆陣P,使P1APB

1

9.與矩陣A=0

01A.0

0

020

001

010

0

0相似的是（A）21

B.0

0

110

002

1

C.1

0

010

002

1

D

.0

0

020

101

22

10.設(shè)有二次型f(xl,x2,x3)xl2x2x3,則f(xl,x2,x3)(C)

A.正定B.負定C.不定D.半正定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20

分)11.若

kl

12

0,則卜=

12

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

3

12.設(shè)人=0

12

1

1,B=

0401

3

2,則AB=00

1011214

6

0.

2

2

13.設(shè)人=0

00121/20

0,則A10

020

0.

1/2

14.設(shè)A為33矩陣，且方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有兩個解向量，則秩

(A.15.已知A有一個特征值2,則BA22E必有一個特征值.

16.方程組xlx2x30

的通解是kl(1,1,0)Tk2(l,0,l)T.

17.向量組1(1,0,0),2(1,1,0),3(5,2,0)的秩是.

020

2

18.矩陣A=0

0kl(l,0,0)

T

0

0的全部特征向量是2

T

k2(0,l,0)

k3(0,0,l)(kl,k2,k3不全為零).

T

3

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

19.設(shè)三階方陣A的特征值分別為2,1,1,且B與A相似，則|2B|_-16

210

1

220所對應(yīng)的二次型是f(xl,x2,x3)xl2x23x34x1x22x1x3.3

1

20.矩陣A=2

1

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

1

21002104

02100210002100211000

2100

0218

00211000

2100

0210

00215

15.

21.計算四階行列式

002

的值.

12100

0210210111102001

0021

1000

解：

002

3

22.設(shè)人=1

13解：1

110

010

0

010010210

1

1,求A1.101001211110

01

31

012

111010001202010

11

00

00001

012

012

102

0010100100021

13101

212

1

11

1000011/20

21

10

0122

10

01

1/2

1/21/2

1,A1=0

1/21/211/2

11.11/2

4

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

1

23.設(shè)人=0

0

100

10

2,B=0

02

120

0

2,且A,B,X滿足(EB1A)TBTXE,求X,X3

1

T

A)XE,

1

解：由(EB1A)TBTXE,得[B(EB1A)]TXE,即(BEBB

2

00

020

0

01

T

(BA)XE,X

T1

(BA)

T

2

00

020

01/2

0,X0

10

01/20

0

0.1

24.求向量組1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,14),4(2,1,5,6),

5(1,1,2,0)的一個極大線性無關(guān)組.

0解：3

21

13011

21752

41201406000

13330

21110

41

202020

40

13000

21000

41

200040

40

13000

21000

4

20,4

0

1,2,4是一個極大線性無關(guān)組.

xlx2x3x4x57

3x12x2x3x43x52

25.求非齊次方程組的通解.

x2x2x6x232345

5x4x3x3xx12

234511

3解：A0510

00

1100

12141206

11231200

112316001361

7120

02312071230

0000

11111100

12281260

12221200

16661600

7

23

23

23723

00

5

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

1111171

101171

001516

01226231026230102623

00100

00001000

001000，00

00

00

0

x16x145x5

15

x232x

16246x523

26

x30

，通解為0

k10k2

0.

x4x40

10x5

x

50

01

2

2026.設(shè)A=

2

12

，求P使P1AP為對角矩陣.02

0

220

解：IEA|

21

2(1)(2)4(2)43

32

68

(3

8)3(2)(2)(2

24)3(2)(2)(2

54)(2)(1)(4),

特征值12,21,34.

對于12,解齊次線性方程組(EA)x0：

4

20102

102

10

EA

2

3222

320

220

22

02

2

02

2

02

2

00

0

110011

01/2

xl2x32

0

1120

110

11,

x1/2

x23,基礎(chǔ)解系為11；

00

0

00

0

00

0

x3x

31

對于21,解齊次線性方程組（EA）x0：

6

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

1

EA2

010

0

010

202

0121

01

202

01

10

01

222

01

10

01

220

01

10

00

020

1

10

xlx3

111

,,基礎(chǔ)解系為21/2；1/2x2x3

210x3x3

對于34,解齊次線性方程組（EA)x0：

2

EA2

0

232

0220

04

212

02

20

04

210

01

20

00

110

01

20

00

010

2

2,0

x12x32

,基礎(chǔ)解系為32.x22x3

1xx

33

1/2

令P1

1

11/21

221

2,則P是可逆矩陣，使PAP0

01

010

0

0.4

四、證明題（本大題6分）

27.設(shè)1,2,3是齊次方程組Ax=O的基礎(chǔ)解系，證明

1,12,123也是Ax=0的基礎(chǔ)解系.證：

(1)Ax=0的基礎(chǔ)解系由3個線性無關(guān)的解向量組成.

(2)1,2,3是Ax=0的解向量，則1,12,123也是Ax=0

的解向量.(3)設(shè)kl1k2(12)k3(123)0,則

(klk2k3)1(k2k3)2k330,

由1,2,3

1klk2k30

線性無關(guān)，得k2k30,系數(shù)行列式0

0k30

110

1

110,只有零解1

klk2k30,所以1,12,123線性無關(guān).

7

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

由(1)(2)(3)可知，1,12,123也是Ax=0的基礎(chǔ)解系.

全國2008年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

課程代碼:04184

一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

all

al2a22a32

al3a33

alla31

5all2al25a212a225a312a32

al3

a23,則DI的值為(C)a33

1.設(shè)行列式D=a21

a31

a23=3,Dl=a21

A.-15

ab

B.-6

C.6D.15

2.設(shè)矩陣

42

=dcab

，則(C)3

A.a3,bl,cl,d3C.a3,bl,c0,d3

B.al,b3,cl,d3D.al,b3,c0,d3

3.設(shè)3階方陣A的秩為2,則與A等價的矩陣為(B)

1

A.0

0

100

100

1

B.0

0

110

110

1

C.2

0

120

120

1

D.2

3

123

123

4.設(shè)A為n階方陣，n2,則|5A|(A)A.(5)n|A|5.設(shè)A=A.-4

13

B.5|A|

C.5|A|

D.5n|A|

2

|A|(B),則4

B.-2C.2D.4

8

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

6.向量組1,2,,s(s2)線性無關(guān)的充分必要條件是(D)

A.1,2,,s均不為零向量

B.1,2,,s中任意兩個向量不成比例

C.1,2,,s中任意s1個向量線性無關(guān)

D.1,2,,s中任意一個向量均不能由其余s1個向量線性表示

7.設(shè)3元線性方程組Axb,A的秩為2,1,2,3為方程組的解,

12(2,0,4)T,

T13(1,2,1),則對任意常數(shù)k,方程組Axb的通解為(D)

A.(1,0,2)Tk(l,2,1)T

C.(2,0,4)Tk(l,2,1)T

B.(1,2,1)Tk(2,0,4)TD.(l,0,2)Tk(l,2,3)T

8.設(shè)3階方陣A的特征值為1,

1,2,則下列矩陣中為可逆矩陣的是(D)

A.EAB.EAC.2EAD.2EA9.設(shè)=2是可逆矩陣

A的一個特征值，則矩陣

(A2)1必有一個特征值等于(A)

A.1

4B.12

C.2D.4222x3x42x3x4的秩為(C)10.二次型

f(xl,x2,x3,x4)xl2x2

9

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

A.1

B.2

C.3D.4

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

albl

alb2a2b2a3b2

alb3

a2b3.a3b3

11.行列式a2bl

a3bl

12.設(shè)矩陣A=

1321,P=

0413T

，則AP712

.40

13.設(shè)矩陣A=0

1011

101

1,則A1

11

110

1

0

0

2t41

14.設(shè)矩陣A=2

3

2

3，若齊次線性方程組Ax=O有非零解，則數(shù)

t=_2_.511t

15.已知向量組11,22,31的秩為2,則數(shù)t.

211

10

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

16.已知向量（2,l,0,3）T,（1,2,l,k）T,與的內(nèi)積為2,則數(shù)k=

11

17.設(shè)向量b?為單位向量，則數(shù)b.22

T

23

222

2

2的2重特征值，則A的另一特征值為_4_.2

0

18.已知=0為矩陣A=2

2

1

4x1x22x2x3的矩陣為2

0

221

01.5

22

19.二次型f(xl,x2,x3)xl22x25x3

2220.已知二次型f(xl

,x2,x3)(k1)x12(k1)x2則數(shù)k的取值范圍為k2.(k2)x3正定,

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

1

120011111030

10041121

1113

1000

1100

1112

1122

1000

1100

1110

1122

11

21.計算行列式D=

111

的值.

11200

1030

1004

1000

解：

111

2.

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

1

22.已知矩陣人=1

0

011

130,B=1

02

011

1

0,4

(1)求A的逆矩陣A1；(2)解矩陣方程AXB.

1

解：⑴1

010

0

010

001011221102

100121

010

0100

01

010011011001

112221

110121

010

01

00

01

010

111121

111

011

0

01

1

10

01121

111

3

10

121,=1A2

112

2.3

1

1:1

2

(2)XAIB2

1150=4

42

232

23.設(shè)向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),求(1)矩陣AT；(2)

A2.

11

11

解：⑴AT=(1,1,1,1)

11111

12

(2)A=

11

1111

1111

1111

1

111

1111

11111111

1111

11

;11

4444

4444

4

4

.4

4

14

14

4

14

24.設(shè)向量組1(1,1,2,4)T,2(0,3,l,2)T,3(3,0,7,14)T,

4(1,l,2,0)T,求向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極

大線性無關(guān)組線性表示.

1

1

解：(1,2,3,4)

24

0312

30714

11

10

02

00

0312

3312

11

00

0004

0111

3111

1

0

02

12

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

10

00

0100

3100

1100

0002

0100

3100

11

00

0001

0100

3100

1

0,10

向量組的秩為3,1,2,4是一個極大線性無關(guān)組，331204.

2x31xl

25.已知線性方程組xlx23x32,(1)求當(dāng)a為何值時，方程組無解、

有解;

2xx5xa

231

(2)當(dāng)方程組有解時，求出其全部解(要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解

系表示).

1

解：(A,b)1

2

011

235

1120

0a

011

211

11

10

0a2

010

210

1

1.a3

(Da3時，方程組無解,a3時，方程組有解;

1

(2)a3時，(A,b)0

0

010

210

1xl12x312

1,x21x3,全部解為1k1

01x0x33

26.設(shè)矩陣A=

817

,(1)求矩陣A的特征值與對應(yīng)的全部特征向量;2

(2)判定A是否可以與對角陣相似，若可以，求可逆陣P和對角陣，使得

P1AP.解：|EA|

8

1

7

109(1)(9),特征值11,29.

2

2

對于11,解齊次線性方程組(EA)x0：

7

EA1

71

01

xlx211

,,基礎(chǔ)解系為11,對應(yīng)的全部特征向xx022

量為kl1(kl是任意非零常數(shù))；

對于29,解齊次線性方程組(EA)x0：

EA1

1

71

07

xl7x277

,,基礎(chǔ)解系為21,對應(yīng)的全部特征向xxO22

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

量為k22(k2是任意非零常數(shù)).

令P1171,010,則P是可逆矩陣，使

得P1AP.9

四、證明題(本題6分)

27.設(shè)n階矩陣A滿足A2A,證明E2A可逆，且(E2A)1E2A.證:

由A2A,得(E2A)(E2A)E4A4A2E4A4AE,所以E2A可

逆，且(E2A)1E2A.

全國自考2008年7月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試卷答案

一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

L設(shè)3階方陣A=[1,2,3],其中i(i=l,2,3)為A的列向量，且|A|=2,

則|B|=|[132,2,3]|=(C)

A.-2B.0

C.2D.6

xlx20

kxx202.若方程組1有非零解，則k=(A)

A.-lB.0

C.lD.2

3.設(shè)A,B為同階可逆方陣，則下列等式中錯誤的是(C)

A.|AB|=|A||B|B.(AB)-1=B-1A-1

C.(A+B)-1=A-1+B-1D.(AB)T=BTAT

4.設(shè)A為三階矩陣，且|A|=2,則|(A*)-1|=(D)1

A.4

C.2D.4

B.l14

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

5.已知向量組A：1,2,3,4中2,3,4線性相關(guān)，那么（B）

A.1,2,3,4線性無關(guān)B.1,2,3,4線性相關(guān)

C.1可由2,3,4線性表示D.3,4線性無關(guān)

6.向量組1,2,s的秩為r,且r<s,則（C）

A.1,2,s線性無關(guān)B.1,2,s中任意r個向量線性無關(guān)

C.1,2,s中任意什1個向量線性相關(guān)

D.1,2,s中任意r-1個向量線性無關(guān)

7.若A與B相似，則（D）

A.A,B都和同一對角矩陣相似B.A,B有相同的特征向量

C.A-XE=B-XED.|A|=|B|

8.設(shè)1,2是Ax=b的解，r|是對應(yīng)齊次方程Ax=0的解，則（B

A.n+1是Ax=0的解B.n+（1-2）是Ax=0的解

C.1+2是Ax=b的解D.1-2是Ax=b的解

9.下列向量中與=（1,1,-1）正交的向量是（D）

A.1=（1,1,1）B.2=（-1,1,1）

C.3=（1,-1,1）D.4=（0,1,1）

11

10.設(shè)A=12,則二次型Rxl,x2戶xTAx是（B）

A.正定B.負定

C.半正定D.不定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

11.設(shè)A為三階方陣且|A|=3,則12Al=_24.

15）

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

12.已知=（1,2,3）,貝力T|=0

1

00

230

0

02

13.設(shè)A=,則A*=

6

00

420

0

03

14.設(shè)A為4x5的矩陣，且秩（A）=2,則齊次方程Ax=0的基礎(chǔ)解系所含向量

的個數(shù)是3

3

15.設(shè)有向量1=(1,0,-2),2=(3,0,7),=(2,0,6).則1,2,3

的秩是2.

16.方程xl+x2-x3=l的通解是

(1,0,0)kl(1,1,0)k2(1,0,1)

A

1

TTT

13

(AE)

17.設(shè)A滿足3E+A-A2=0,則

18.設(shè)三階方陣A的三個特征值為1,2,3.則|A+E|=_24.

19.設(shè)a與0的內(nèi)積(a,P)=2,IIpII=2,則內(nèi)積(2a+{3,不)=_-8.

3

11

102

1

22

20.矩陣A=所對應(yīng)的二次型是

3x12x32x1x22x1x34x2x3

22

三、計算題

13000

200000

001002

000100

000010

002001

21.計算6階行列式0

2

1A=

53

=18

12

22.已知

14

,B=

23

25

,C=

2

2X

1,X滿足AX+B=C,求X.8

3

23.求向量組1=(1,2,1,3),=(4,-1,-5,-6),3=(1,-3,-4,-7)

的秩和

16

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

121

其一個極大線性無關(guān)組.3

4156

11304070

4900

1

500

秩為2,極大無關(guān)組為1,2

24.當(dāng)a,b

x31xlx2

x2x31

2x3x(a2)xb3

23

為何值時，方程組1

T

有無窮多解？并求出其通解.

T

al,b0時有無窮多解。通解是(0,1,0)k(2,1,1)

37A=

111

25.已知，求其特征值與特征向量.

T

T

特征值4,10,4的特征向量k(l,1),10的特征向量k(l,7)

21A=

12

26.設(shè)

113A

213n

,求An.

n

n

3n13

1

n

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.設(shè)為Ax=O的非零解，為Ax=b（b0）的解，證明與線性無關(guān).

klak2p0

A（klak2p）AO0klAak2Ap0k2bk2b0k20

證明：klak2p0kla0kl0所以與線性無關(guān)。

全國2009年1月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)試題及答案課程代碼：04184

試卷說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣,

E表示單位矩

陣，|A|表示方陣A的行列式，A-1表示矩陣A的逆矩陣，秩（A）表示矩陣A

的秩.

17

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是最符合題目要求的。請將其代碼填寫

在題后的括號D）

A.A=OB.A2=OC.AT=OD.|A|=0

T-12.設(shè)A,B都是n階方陣，且|A|=3,則|AB|=(A)

A.-3B.-C.3113D.3

T3.設(shè)A為5x4矩陣，若秩(A)=4,則秩(5A)為(C)

A.2B.3C.4D.5

4.設(shè)向量01=(4,-1,2,-2),則下列向量中是單位向量的是(B)A.1

3aB.15aC.19aD.125a

25.二次型f(xl,x2)=5xl23x2的規(guī)范形是(D)

22222A.yl-y22B.-yl-y2C.-yl+y22D.yl+y22

6.設(shè)A為5階方陣，若秩(A尸3,則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中包含的

解向量的個數(shù)是(A)

A.2B.3C.4D.5

7.向量空間W={(0,x,y,z)|x+y=0}的維數(shù)是(B)

A.lB.2C.3D.4

8.設(shè)矩陣A=

3

4142*，則矩陣A的伴隨矩陣A=(B）323

C.2143D.214

1A.23B.41

1

0A=00120011309.設(shè)矩陣11,則13A的線性無關(guān)的

特征向量的個數(shù)是（D）

A.lB.2C.3D.4

10.設(shè)A,B分別為mxn和mxk矩陣，向量組（I）是由A的列向量構(gòu)成的向

量組，向量組（II）是由（A,B）的列向量構(gòu)成的向量組，則必有（C）

A.若（I）線性無關(guān)，則（II）線性無關(guān)B.若（I）線性無關(guān)，則（II）線

性相關(guān)

C.若(II)線性無關(guān)，則(I)線性無關(guān)D.若(II)線性無關(guān)，則(I)線

性相關(guān)

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分。

18

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

211.設(shè)人=(3,1,0),B=4

310,則AB=_(2,3).5

12.已知向量。=(3,5,7,9),p=(-1,5,2,0),如果a+9a則9.

13.設(shè)A,B為6階方陣，且秩(A)=6,秩(B)=4,則秩(AB)14.已知3

階方陣A的特征值為1,-3,9,則13A=_-1_.

15.二次型f(xl,x2,x3,x4)=x2222

13x22x3x4的正慣性指數(shù)為16.設(shè)A為3階方陣，若|AT|=2,則

|-3A|=_-54.

17.已知向量。=(1,2,-1)與向量B=(0,1,y)正交，則yl8.設(shè)非齊次

線性方程組Ax=b的增廣矩陣為

10021xl12c

01012

,則該方程組的結(jié)構(gòu)式通解為_)—.

x22c,(c為任意常數(shù)

00246x332c

19.設(shè)B為方陣，且|B|=3,則|B4120720

20.設(shè)矩陣A=

370,50=_

-1310

001001

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

333

21.計算行列式D=3533

3353.

3335

53333333331333

解:D=3533

353=533533200

3353=14353=140

0020=112

33353353350002

22.求向量組al=(1,4,3,-2),a2=(2,5,4,-1),a3=(3,9,7,-3)的

秩.

123123

解：(aT,aTT459

Oil

12,a3)=

347OOO，故秩為2。

213

000

19

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

xlx2x3x40

23.求齊次線性方程組xl2x24x34x40的一個基礎(chǔ)解系.

2x3x5x5x0

2341

111111111022

x12x32x4

解：系數(shù)矩陣人=124401330133得同解方程組

再

235500000000

x23x33x4x2

231,x303

x得基礎(chǔ)解系：3

40x41

,10.0

1

1

102

24.設(shè)A=0

11

,B=1

01

.1，又AX=B,求矩陣X

00

2

10

解：由于A0,故A可逆。110100

(AE)011010

100112

112

010012，故A

1

=012

,所00001

2

001002

002

13XA1

B

21

20

25.用配方法化二次型f(xl,x2,x3)=x2215x2

3x2

34x1x26x1x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并判別其正定性.ylxl2x解：f^(x222

12x2)(x23x3)6x3,

令2yx222223x3故得標(biāo)準(zhǔn)型f^yly26y3y3x3

20

以

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

1

對于二次型矩陣A2

3

1

26.求方陣A=0

0

220

250

3

所以不是正定性的。0，由于D10,D20,D30,

3

3

3的特征值和特征向量.3

1

解

令

2330

IA=00

20

即

3

(1)(2)(3)0得特征值11,22,33

將11代入I-Ax0即000

210

3

3x0解此方程組得其基礎(chǔ)解2

1

系0,故1的特征向量為0

1

kl0(kl0)；0

同理

2

(k20)將22,33代入I-Ax0得相應(yīng)的特征向為量k2分1別

0

92

k33(k30)1

四、證明題(本大題共1小題，6分)

27.設(shè)向量組al,a2,a3線性無關(guān)，證明：向量組al+2a3,a2-a3,al+2a2

線性相關(guān).證：設(shè)1al+2a3，2a2-a3,3al+2a

102

011

2

則123123

112,記A=0

20

011

1

2得A0,由于向量組al,0

a2,a3線性無關(guān)，故1,2,3線性相關(guān)，即al+2a3,a2-a3,al+2a2

線性相關(guān)。

全國2009年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

21

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

1.3階行列式|aij|10

111中元素a21的代數(shù)余子式A21(C)0

C.1D.2

11A.2B.1

all2.設(shè)矩陣Aa21

A.P1P2ABal2a21all,Ba22allB.P2P1AB

a22al20,Pllal2C.AP1P2B11,

P2100,則必有(A)1D.AP2P1B

3.設(shè)n階可逆矩陣A、B、C滿足ABCE,則B1(D)

A.AC11

B.C1A1C.ACD.CA04.設(shè)3階矩陣A0

0

A.01000

21,則A的秩為(B)0C.2D.3B.1

5.設(shè)

1,2,3,4是一個4維向量組，若已知4可以表為1,2,3的線性組

合，且表示法惟一，則向量組1,2,3,4的秩為（C）

A.1B.2C.3D.4

6.設(shè)向量組1,2,3,4線性相關(guān)，則向量組中（A）

22

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

A.必有一個向量可以表為其余向量的線性組合B.必有兩個向量可以表為其

余向量的線性組合C.必有三個向量可以表為其余向量的線性組合D.每一個

向量都可以表為其余向量的線性組合

7,設(shè)1,2,3是齊次線性方程組Ax0的一個基礎(chǔ)解系，則下列解向量組

中，可以"為該方程組基礎(chǔ)解系的是（B）A.1,2,12

C.1,2,12

B.12,23,31D.12,23,31

2

8.若2階矩陣A相似于矩陣B2

1A.1

04

0

,E為2階單位矩陣，則與矩陣EA相似的矩陣是（C）

304

1

B.1

1C.2

04

1

D.2

0

4

2

9.設(shè)實對稱矩陣A0

0

042

0T

2,則3元二次型f(xl,x2,x3)xAx的規(guī)范形為(D)1

2

2

2

A.zlz2z3

222

B.zlz2z3

C.zlz2

22

D.zlz2

22

10.若3階實對稱矩陣A（aij）是正定矩陣，則A的正慣性指數(shù)為（D）

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

23

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

all

11.已知3階行列式2a21

2al24a226a32

3al36a239a33all

6,則a21

a31

al2a22a32

al3a23a33

3a31

12.設(shè)3階行列式D3的第2列元素分別為1,2,3,對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為

3,2,1,則

D3.

1

13.設(shè)A1

22

,則A2AE.0

2

，貝14

1

14.設(shè)A為2階矩陣，將A的第2列的（2）倍加到第1列得到矩陣B.若

B3

A.

0

15.設(shè)3階矩陣A0

302311

2，則A.3

24

08年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

16.設(shè)向量組1(a,1,1),2(1,2,1),3(1,1,2)線性相關(guān)，則數(shù)

a

T

T

17.已知xl(1,0,1),x2(3,4,5)是3元非齊次線性方程組Axb的兩個解

向量，則對應(yīng)齊次線性方程組Ax0有一個非零解向量.

18.設(shè)2階實對稱矩陣A的特征值為1,2,它們對應(yīng)的特征向量分別為

1(1,1),2(l,k)k.

TT

,則數(shù)

19.已知3階矩陣A的特征值為0

,2,3,且矩陣B與A相似，則|BE|

20.二次型4xl,x2,x3)(xlx2)(x2x3)的矩陣A

2

2

25

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

1

21.已知3階行列式|aij|

x21

3

0中元素al2的代數(shù)余子式A128,求元素a21的代數(shù)余子式A21的4

x5

值.

解：由A12

x5

04

4x8,得x2,所以A21

21

34

(83)5.

1

22.已知矩陣A

111,B001

,矩陣X滿足AXBX,求X.2

解：由AXBX,得(EA)XB,于是

X(EA)

1

2

B1

T

11

1

1

0111231

T

11

20111

231

T

31/3

31/3

T

1

.1的一個極大

23.求向量組1(1,1,1,3)，2(1,3,5,1),3(3,2,1,4),

4(2,6,10,2)無關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無關(guān)組線性表出.

1

1解:

13

1351

321412001100

0010

21

60

010023170

1264

31451200

21

40

01208311002,00

1200

31771200

0010

2

4

002

4

00

1

0

0010

00

21

40

00002120

0000

0100

21

40

0000

0010

1,2,3是一個極大線性無關(guān)組,4012203.

axlx2x30

24.設(shè)3元齊次線性方程組xlax2x30,

xxax0

231

26

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

(1)確定當(dāng)a為何值時，方程組有非零解；

(2)當(dāng)方程組有非零解時，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解.

a

解：⑴|A|1

lai

la21al

lllal

Illa10

10a1

1a2a

a2

1(a2)la

1

1(a2)0a

1

2

(a2)(a1),a2或a1時，方程組有非零解；

1

(2)a2時，A0

0

130

21

30

00

110

21

10

00

010

1xlx3

1,x2x3,基礎(chǔ)解系為

0x3x3

11

1，全部解為k1,k為任意實數(shù)；11

1

a1時，A0

0

100

1xlx2x311

，基礎(chǔ)解系為1,0,全部解為0,x2x2

01x0x3

3

11

kl1k20,kl,k2為任意實數(shù).012

25.設(shè)矩陣B3

4

010

13,5

(1)判定B是否可與對角矩陣相似，說明理由；

(2)若B可與對角矩陣相似，求對角矩陣和可逆矩陣P,使P

1

BP

2

解：⑴|EB|

013

(1)

34

2

1

2

4

1

5

5

(1)(76)

2

(1)(6),特征值121,36.

對于121,解齊次線性方程組(EB)x0：

27

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

1

EB3

4

000

11

30

04

000

x31xl01

，基礎(chǔ)解系為pl1,p200x2x2

01x0x3

3

對于36,解齊次線性方程組(EB)x0：

4

EB3

4

050

1130

01

010

1

xx314

1/41/4

3

3/4,x2x3,基礎(chǔ)解系為p33/4.

410x3x3

3階矩陣B有3個線性無關(guān)的特征向量，所以B相似于對角陣；

1

(2)令0

0

010

000,P1

06

2

101

2

1/4

1

3/4,則P是可逆矩陣，使得PBP.1

2

26.設(shè)3元二次型f(xl,x2,x3)xl2x2x32x1x22x2x3,求正交變換

xPy,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.

1

解：二次型的矩陣為A1

0

121

01.101

1

IEA|

1011

1

1

101

11

1

101

2

1

2

111

2

1

1

01

1

1

3

(3)

1

1

(1)(3),

特征值10,21,33.

對于10,解齊次線性方程組(EA)x0：

1

EA1

0

121

0110

01

010

1/1xlx31

1,x2x3,11,單位化為pl1/

1xx1/0333

3；3

28

08年1月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

對于21,解齊次線性方程組(EA)x0：

0

EA1

0

111

0110

00

010

1/21xlx31

；00,x20,20,單位化為p2

1xx1/2033

對于33,解齊次線性方程組（EA）x0：

2

EA1

0

111

0110

02

010

1/6x31xl1

2，x22x3,32，單位化為p32/6

1x1/60x33

010

0

0,經(jīng)正交變換3

1/

令P1/

1/

333

1/01/

2

2

602/6,則P是正交矩陣，使得PTAP0

01/61/

2

2

2

xPy后，原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f0yly23y3.

四、證明題（本題6分）

27.已知A是n階矩陣，且滿足方程A2A0,證明A的特征值只能是0或

2.證：設(shè)是A的特征值，則滿足方程20,只能是0或2.

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全國2009年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1.設(shè)A,B,C為同階方陣，下面矩陣的