新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 求實際問題中的拋物線方程（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．B【分析】建立直角坐標系，待定系數(shù)法求拋物線方程，即可求解到的距離.【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為，由題意設，，，則，解得，所以此拋物線頂端到的距離為．故選:B．2．C【分析】由題意可得到直線所在的方程和圓方程聯(lián)立求得點的坐標，設所求拋物線方程，求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義結合題意，可求得a,c,即得答案.【詳解】由于某運動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，故,所以直線所在的方程為：，代入，解得或（舍，離y軸較遠的點），所以點的坐標為.由于起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，故設拋物線方程為：，則，則由M點處切線斜率為1可得，，又，解得，所以該拋物線的軌跡方程為，即，故選：C.3．C【分析】根據(jù)題意，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蟪鰭佄锞€的方程，代點計算即可求解.【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標系.設橋頂離水面1時，水面與拋物線交于、兩點，易知，當水面下降3時，水面與拋物線交于、兩點，設且.設拋物線方程為，將代入計算，易得，故拋物線方程為，代入，得，解得，故水面下降3，則水面寬為8.故選：C.4．A【分析】設點所在的拋物線方程為，代入點，求方程為，令，解得，根據(jù)，即可求解.【詳解】由題意，設點所在的拋物線方程為，又由拋物線與橢圓的交點，代入拋物線方程得，解得，即拋物線的方程為，令，可得，解得或（舍去），所以，即航天器降落點B與觀測點A之間的距離為.故選：A.5．D【分析】建立坐標系，求出拋物線方程，再由方程得出水面的寬度.【詳解】以拋物線形拱橋的最高點作為坐標原點建立坐標系，如下圖所示設該拋物線方程為，由圖可知，，則，，即，當時，，故所求水面寬度為故選：D.6．B【分析】首先根據(jù)題意建立直角坐標系，設拋物線方程為，代入得到，再根據(jù)拋物線的幾何意義求解即可.【詳解】在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標系，使接收天線的頂點與原點重合，焦點在軸上，如圖所示：設拋物線方程為，由題知：點在拋物線方程上，所以，解得.則點與焦點F的最短距離為.故選：B7．C【詳解】試題分析：建立直角坐標系，借助坐標法先求出落點的最遠距離，從而估算出水池直徑即可．解：以O為原點，OP所在直線為y軸建立直角坐標系（如圖），則拋物線方程可設為y=a（x﹣1）2+2，P點坐標為（0，1），∴1=a+2．∴a=﹣1．∴y=﹣（x﹣1）2+2．令y=0，得（x﹣1）2=2，∴x=1±．∴水池半徑OM=+1≈2.414（m）．因此水池直徑約為2×|OM|=4.828（m）．點評：解決實際問題通常有幾個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型，其中關鍵是建立數(shù)學模型．8．C【分析】先建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，將點坐標代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案．【詳解】解：如圖建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m．故選：C．9．C【分析】建立平面直角坐標系，假設拋物線方程，利用可求得拋物線方程；代入即可求得結果.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為：，將代入拋物線方程得：，解得：，；當時，，水面寬度為米.故選：C.10．B【解析】設拋物線的方程為，可知點在該拋物線上，求出的值，將代入拋物線方程，求出的值，即可得解.【詳解】設拋物線的方程為，可知點在該拋物線上，則，解得，所以，拋物線的方程為，將代入拋物線方程得，解得，因此，車輛通過隧道的限制高度為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查拋物線的實際應用，設出拋物線的方程，分析出拋物線上的點的坐標，求出拋物線的方程是解題的關鍵，同時要注意車輛限高的意義.11．B【分析】根據(jù)題意建立合適平面直角坐標系，設出拋物線的方程，根據(jù)的坐標求解出拋物線的方程，由的橫坐標可計算出的縱坐標，結合長度可求解出的高度.【詳解】以為坐標原點建立平面直角坐標系如下圖所示，記且垂足為，在軸上的投影點為，設拋物線方程為，由題意可知：，所以，所以，代入拋物線方程可知，所以，所以拋物線方程為，又因為，所以，所以，所以，所以的高度為，故選：B.12．B【分析】首先畫出拋物面的軸截面，并建立坐標系，設拋物線方程，由條件求出，由集光板的原理可知，若達到最佳吸收陽光的效果，容器灶圈應在拋物線的焦點處.【詳解】若使吸收太陽光的效果最好，容器灶圈應在拋物面對應軸截面的拋物線的焦點處，如圖，畫出拋物面的軸截面，并建立坐標系，設拋物線方程集光板端點，代入拋物線方程可得，所以拋物線方程，故焦點坐標是.所以容器灶圈應距離集光板頂點.故選：B【點睛】本題考查拋物線的簡單應用，重點考查解析式的求法，屬于基礎題型，本題的關鍵是讀懂題意，將問題抽象概括為數(shù)學問題.13．B【解析】建立適當坐標系，設點與的坐標，設拋物線方程為：，列出方程組，求解，即可得出結果.【詳解】建系如圖，設拋物線方程為：，由題意設，，則，解得：，.所以此拋物線頂端到連橋的距離為：.故選：B.14．D【解析】根據(jù)題意,抽象出拋物線的幾何模型.根據(jù)拋物線的通經(jīng)性質求得拋物線方程,即可求得當寬為時的縱坐標,進而求得水面到頂部的距離.【詳解】根據(jù)題意,畫出拋物線如下圖所示:設寬度為時與拋物線的交點分別為.當寬度為時與拋物線的交點為.當水面經(jīng)過拋物線的焦點時,寬度為由拋物線性質可知,則拋物線方程為則當寬度為時,設代入拋物線方程可得,解得所以直線與直線的距離為即船體兩側的貨物距離水面的最大高度應不超過故選:D【點睛】本題考查了拋物線在實際問題中的應用,拋物線幾何性質的應用,屬于基礎題.15．A【分析】根據(jù)題意先建立恰當?shù)淖鴺讼?，可設出拋物線方程，利用已知條件得出點在拋物線上，代入方程求得p值，進而求得焦點到頂點的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上．設拋物線的標準方程為，由已知條件可得，點在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故選：A.16．B【分析】根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，求出拱形橋的曲線方程后可得水面下降1的寬.【詳解】如圖所示，拋物線的頂點為，與軸的兩個交點為，故拋物線的方程為，令，則，故水面的寬為，選B.【點睛】本題考查拋物線的應用，屬于基礎題.17．D【分析】由題建立平面直角坐標系，設拋物線方程為，結合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系：設拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.18．C【分析】根據(jù)給定條件建立坐標系，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程即可計算作答.【詳解】以頂點O為坐標原點，射線OF為x軸建立平面直角坐標系，如圖，令軸截面邊界曲線所在拋物線方程為：，則，，而點A在拋物線上，于是得，又，解得，則到距離，所以頂點到防護罩外端的距離為35cm.故選：C19．B【詳解】建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設拋物線方程為x2=﹣2py（p＞0），由題意知，拋物線過點（2，﹣2），∴4=2p×2．∴p=1．∴x2=﹣2y．當y0=﹣3時，得x02=6．∴水面寬為2|x0|=．故選B點睛：本題充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想：用代數(shù)方法處理平面幾何問題，利用坐標系，把已知條件與未知條件都轉化為代數(shù)問題來處理.20．B【分析】先以拋物線的頂點為原點建立直角坐標系，設拋物線方程為，將點代入求得拋物線的方程，再將代入拋物線方程求解.【詳解】以拋物線的頂點為原點建立直角坐標系，設拋物線方程為，因為點在拋物線上代入可得，所以拋物線方程為又因為，所以則水面寬為.故選：B【點睛】本題主要考查了拋物線方程的實際應用，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.21．D【分析】建立直角坐標系，利用代入法，結合拋物線的方程進行求解即可.【詳解】如圖，以拱頂為原點，對稱軸為y軸建立直角坐標系，則該拋物線方程為，依題點在其上，所以，，拋物線方程為.設，則，，所以水面寬為，故選：D.22．B【解析】以拱橋頂點為原點，建立直角坐標系，設拋物線方程并求出，最后求解當時的值即可求出水面寬度.【詳解】由題意，以拱橋頂點為原點，建立直角坐標系，設拋物線方程，由題意知，拋物線經(jīng)過點和點，代入拋物線方程解得，，所以拋物線方程，水面下降米，即，解得，，所以此時水面寬度.故選：B【點睛】本題主要考查通過建模解決實際問題和拋物線的性質，屬于基礎題.23．B【詳解】如圖建立直角坐標系：設拋物線方程為，將代入，得.∴設，代入，得.∴水面寬為米故選B.24．D【解析】根據(jù)圓錐的性質,建立坐標系,確定拋物線的方程,計算出的長度,結合直角三角形的關系進行求解即可.【詳解】如圖所示,過點作,垂足為.∵是母線的中點,圓錐的底面半徑和高均為,∴

=.∴=.在平面內建立直角坐標系如圖.設拋物線的方程為=.,為拋物線的焦點.,∴=.解得=..即,∵=,=,∴該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離為故選：D【點睛】本題考查了拋物線的標準方程，解題的關鍵是建立坐標系，屬于中檔題.25．B【解析】以隧道的頂點為原點O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，利用點在拋物線上，可求得拋物線方程，利用的坐標可求得結果.【詳解】以隧道的頂點為原點O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖)，依題意，設該拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，解得，所以該拋物線的方程為.設車輛高h米，則|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以車輛通過隧道的限制高度為4.05米.故選：B【點睛】方法點睛：拋物線的應用的主要解題步驟：(1)建立平面直角坐標系，求拋物線的方程；(2)利用方程求點的坐標.26．B【分析】通過建立直角坐標系，設出拋物線方程，將A點代入拋物線方程求得m，得到拋物線方程，再把B（x0，﹣3）代入拋物線方程求得x0進而得到答案．【詳解】如圖建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，將A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0，故水面寬為2m．故選：B．27．3.84.##【分析】建立直角坐標系.利用待定系數(shù)法求出拋物線的標準方程，求出點的坐標，即可求出支柱的長度.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系,使拋物線的焦點在y軸上.可設拋物線的標準方程為：.因為橋的跨度米，拱高米，所以,代入標準方程得：，解得：，所以拋物線的標準方程為把點的橫坐標-2代入,得，解得：，支柱的長度為(米).即支柱的長度為3.84(米).故答案為：3.84.28．【分析】以橋的頂點為坐標原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標系，則根據(jù)點在拋物線上，可得拋物線的方程，設水面與橋的交點坐標為，求出，進而可得水面的寬度.【詳解】以橋的頂點為坐標原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標系，則拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設河水上漲1米后，水面與橋的交點坐標為，則，得，所以此時橋洞中水面的寬度為米．故答案為：．29．【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得到關于的方程，利用韋達定理得到的值，然后表示兩平行光線距離，并求出其最小值為，而由題意可知最小值為，從而得到，拋物線方程得解.【詳解】設，設兩平行光距離為，由題意可知，，因為，而直線過點，則設直線方程為：，因為，消去得，由韋達定理可得，則，所以，故拋物線方程為.【點睛】本題主要考查了拋物線方程的求解，涉及到韋達定理的應用，屬于難題.對于涉及到直線與曲線相關的距離問題，常常運用到韋達定理以及弦長公式進行求解.30．【分析】先建立坐標系，根據(jù)題意求出拋物線的方程，再利用水升高1米后，則，解出的值，進而求出水面寬度.【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標系，可設拋物線的標準方程為，因為頂點距水面2米時，水面寬8米，所以，代入方程得，所以，當水面上升1米后，即，代入方程得所以水面的寬是米故答案為:31．【分析】待定系數(shù)法設拋物線方程后求解【詳解】設拋物線方程為，若其過點，則，當時，解得，故此時水面寬為．故答案為：32．【解析】在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，焦點在軸上，根據(jù)題意求得拋物線的標準方程，可求得該拋物線的焦點坐標，進而可得出結果.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，焦點在軸上，設拋物線的標準方程為，由已知條件可得，點在拋物線上，所以，，解得，所以，所求拋物線的標準方程為，焦點坐標為，因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為.故答案為：.【點睛】本題考查拋物線方程的實際應用，考查計算能力，屬于基礎題.33．5【分析】將斜上拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻變速直線運動，然后結合各自的規(guī)律解答即可.【詳解】設鉛球運動時間為，t時刻的水平方向位移為x，則．由知故當時，，解得：，如圖建立平面直角坐標系，，設拋物線方程為則拋物線的焦點到準線的距離故答案為：534．【解析】寫出直線的方程，代入，整理并寫出韋達定理，四邊形是直角梯形，利用面積公式可得，將最后用韋達定理表示出來，建立關于的方程，解方程即可.【詳解】因為拋物線的焦點為，所以直線的方程為，代入，整理得.設，，則由方程的根與系數(shù)的關系，得，.又，且四邊形是直角梯形，其面積為，所以，即，所以，解得，又，所以，故拋物線的方程為.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.35．（1）；（2）①證明見解析；②存在，.【分析】（1）可設，可由與關于圓心對稱，求得圓心，再由半徑處處相等建立等式，化簡即可求解；（2）設直線，，聯(lián)立方程得關于的表達式，結合韋達定理和向量的表示方法，即可求證；（3）可假設存在點，設的中點為，由直線和垂直關系求出點，由韋達定理和弦長公式求得弦，結合即可求解具體的的值，進而求解點；【詳解】（1）設，因為點在圓上，且點關于圓心的對稱點為，則，而，則，化簡得：，所以曲線的方程為.（2）①設直線，,由，得，則.，，則不可能是鈍角.②假設存在這樣的點，設的中點為，由①知;，則，則，則，而，由得，，所以存在點.【點睛】本題主要考查拋物線軌跡方程的求法，韋達定理，向量法在解析幾何中的具體應用，由特殊三角形