新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 與橢圓有關(guān)的最值(范圍)問題（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．D【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，結(jié)合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當且僅當時取等號.故選：D.2．B【分析】令，得到，結(jié)合的最小值為，利用橢圓的定義和對勾函數(shù)的單調(diào)性，得到當時成立，求得的值，進而求得的值.【詳解】令，則，因為的最小值為，即的最小值為，由橢圓，可得，則，所以，所以，即，令，解得或（舍去），由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得，當取得最大值時，的最小值為，即當時，的最小值為，即，解得，所以.故選：B.3．A【分析】點為橢圓上的動點，，分別為兩個圓上的動點，三個點都是動點，需要研究圖形的結(jié)構(gòu)特征，注意到兩圓的圓心分別是橢圓的左、右焦點，如圖，因此可以固定其中兩個點，實現(xiàn)動靜轉(zhuǎn)化．由橢圓的定義得到為定值，至于，只需與圓的半徑產(chǎn)生聯(lián)系即可．【詳解】根據(jù)橢圓的定義，得，所以，即所求取值范圍為．故選：A4．B【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合兩點間距離公式、配方法進行求解即可.【詳解】解：設(shè)圓的圓心為，則，設(shè)，則，所以，當且僅當時取得最大值，所以．故選：B．5．B【解析】設(shè)點的坐標為，結(jié)合兩點間的距離公式，化簡得到，即可求解.【詳解】設(shè)點的坐標為，其中，由，可得，又由，當時，取得最小值，最小值為.故選：B.6．D【分析】寫出橢圓的參數(shù)方程，利用兩點間的距離公式表示，然后利用三角函數(shù)和二次函數(shù)的知識求得最大值.【詳解】解：橢圓，由橢圓的參數(shù)方程可得，，

，，，令，則，的圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當時，取最大值50，此時取最大值：．故選D．【點睛】本題考查三角函數(shù)求最值，涉及橢圓的參數(shù)方程和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．三角換元的思想，源自于，而橢圓方程是，類比這兩個式子，可以認為，即，這也就是橢圓的參數(shù)方程.7．C【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，將求兩線段之和的最小值轉(zhuǎn)變?yōu)閮删€段之差的絕對值的最大值即可.【詳解】橢圓的，如圖，設(shè)橢圓的右焦點為，則；；由圖形知，當在直線上時，，當不在直線上時，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，，當在的延長線上時，取得最小值的最小值為．故選：C．8．B【分析】由，結(jié)合圖形即得.【詳解】因為橢圓，所以，，則橢圓的右焦點為，由橢圓的定義得：，當點P在點處，取等號，所以的最大值為5，故選：B.9．B【分析】橢圓上的點P滿足，找到取等時點P位置即可求出最大值.【詳解】橢圓上的點P滿足，當點P為的延長線與C的交點時，達到最大值，最大值為．故選：B10．A【分析】由橢圓定義把轉(zhuǎn)化為到右焦點的距離，然后由平面上到兩定點的距離之差最小的性質(zhì)可得.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點為，，，又，，當三點共線時取等號，的最小值為3（取最小值時是射線與橢圓的交點），故選：A.11．B【分析】表示的是橢圓的部分，而是橢圓的下焦點，設(shè)為橢圓的上焦點，為直線與軸的夾角，則由橢圓的性質(zhì)和定義可得結(jié)論.【詳解】表示的是橢圓的部分，而是橢圓的下焦點，設(shè)為橢圓的上焦點，為直線與軸的夾角，則，，當且僅當軸時取等號，則只與有關(guān)，與無關(guān)，故選：B.12．D【分析】結(jié)合橢圓的定義求得的最小值【詳解】，設(shè)橢圓的右焦點為，，當在的正上方時，等號成立.故選：D13．C【分析】作出圖形，可知兩圓圓心恰為橢圓的兩個焦點，利用圓的幾何性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義可求得的最小值.【詳解】在橢圓中，，，，該橢圓的左焦點為，右焦點為，如下圖所示：由橢圓的定義可得，由圓的幾何性質(zhì)可得.故選：C.【點睛】本題考查利用橢圓的定義以及圓的幾何性質(zhì)求橢圓上點到兩圓上的點的距離之和的最小值，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.14．A【分析】根據(jù)的值判斷A選項；通過計算直線與直線斜率乘積判斷B選項；結(jié)合橢圓的定義以及基本不等式判斷C選項；結(jié)合橢圓的定義來判斷D選項.【詳解】對于A，依題意，，A選項錯誤.對于B，設(shè)，則，，為定值，B選項正確.對于C，，，當且僅當時等號成立.C選項正確.對于D，Q在橢圓外，設(shè)直線、與橢圓相交于如圖所示，則，，，，即，所以所以.D選項正確.故選：A15．D【解析】求得，結(jié)合，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，在橢圓中，，，則，由題意可知，點、關(guān)于原點對稱，且為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，由橢圓的定義可得，，，即，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵在于以下幾點：（1）問題中出現(xiàn)了焦點，一般利用相應(yīng)曲線的定義，本題中利用對稱性結(jié)合橢圓定義可得出；（2）利用橢圓的幾何性質(zhì)得出焦半徑的取值范圍.16．A【分析】結(jié)合題意畫出圖形，對，由三角形三邊關(guān)系可得①，同理對，可得②，兩式作和，結(jié)合橢圓第一定義即可求解.【詳解】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中、是橢圓的左，右焦點，在中可得：①，當且僅當、、三點共線時，等號成立，在中可得：②，當且僅當、、三點共線時，等號成立，由①②得：，由橢圓方程可得：，即，由橢圓定義可得：，所以，.故選：A.17．D【分析】設(shè)橢圓右焦點為，容易判斷點A在橢圓內(nèi)部，進而根據(jù)橢圓定義得到，最后求出答案.【詳解】因為，所以在橢圓的內(nèi)部，設(shè)橢圓右焦點為，易得，則，由橢圓定義可知：，所以，因為，所以.故選：D.18．B【解析】由橢圓定義得，然后由基本不等式可得結(jié)論．【詳解】解：由題意，，，當且僅當時等號成立，故選：B．19．B【分析】表示的是橢圓的部分，而是橢圓的左焦點，設(shè)為橢圓的右焦點，為直線的傾斜角，則由橢圓的性質(zhì)和定義可得結(jié)論【詳解】解：表示的是橢圓的部分，而是橢圓的左焦點，設(shè)為橢圓的右焦點，為直線的傾斜角，則，當且僅當軸時取等號，則只與有關(guān)，故選：B20．A【分析】設(shè)橢圓的左焦點為，得到，得出，結(jié)合圖象，得到當且僅當，，三點共線時，取得最小值，即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，則，可得，所以，如圖所示，當且僅當，，三點共線（點在線段上）時，此時取得最小值，又由橢圓，可得且，所以，所以的最小值為1．故選：A．21．CD【分析】由橢圓方程可確定，根據(jù)離心率，焦點三角形周長為可確定AB錯誤；當為橢圓短軸端點時最大，由此可確定，知C正確；根據(jù)可知D正確.【詳解】對于A，由橢圓方程知：，，離心率，A錯誤；對于B，由橢圓定義知：，，的周長為，B錯誤；對于C，當為橢圓短軸端點時，，，，即，，C正確；對于D，，，，D正確.故選：CD.22．9【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，結(jié)合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當且僅當時取等號.故答案為：9.23．##【分析】結(jié)合橢圓的定義求得正確答案.【詳解】依題意，橢圓方程為，所以，所以是橢圓的右焦點，設(shè)左焦點為，根據(jù)橢圓的定義可知，，所以的最大值為.故答案為：24．3【解析】由圓的性質(zhì)結(jié)合平面向量的線性運算、數(shù)量積運算可得，再由橢圓的性質(zhì)可得，即可得解.【詳解】橢圓的焦點為，,半焦距，圓的圓心，半徑為1，AB為圓M的直徑，可得，則，又P為橢圓上一點，M為橢圓的右焦點，可得，當P為橢圓的左頂點時，上式取得等號，則，所以即.故答案為：3.【點睛】本題考查了圓與橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用及平面向量的應(yīng)用，考查了運算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.25．【分析】由題意可知橢圓C中，要使離心率最大，只需最小，即最小，求出點關(guān)于直線的對稱點，求出的坐標，即可得最小為，即可求解.【詳解】點關(guān)于直線的對稱點為，則解得：，即連接交直線與點，則橢圓C的長軸長的最小值為，所以，即，所以橢圓C的離心率，所以橢圓C的離心率的最大值為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是求出橢圓C的長軸長的最小值，即可得離心率的最大值.26．【解析】先設(shè)橢圓的下焦點為，由橢圓的定義知：，利用，即可得到的最大值．【詳解】解：如圖所示：設(shè)橢圓的下焦點為，，，，又，即，，又，當且僅當，，共線且在線段上時等號成立，，，，的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三角形的三邊性質(zhì)及橢圓的定義即可得到最值.27．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）若垂直于右準線于，由題設(shè)有，則，易知當共線時有最小值，即可求最小值.（2）設(shè)，，，聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達定理可求、，寫出直線、的方程，令求對應(yīng)的縱坐標，利用作差法判斷它們是否相等，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)知：的右準線為且，若垂直于右準線于，如下圖示：∴，即，∴，故當且僅當共線時最短，即為到右準線的距離.∴的最小值.（2）由題意，可設(shè)，聯(lián)立橢圓方程并整理得：，若，，則，，而，，則，，∴當時，，，而，即.∴直線與的交點在橢圓的右準線上，得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達定理得到、，再寫出直線、的方程，當橫坐標為4時判斷它們的縱坐標是否相等即可.28．16.【分析】根據(jù)已知條件，作出圖形，的中點連接橢圓的兩個焦點，便會得到三角形的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)及橢圓上的點到兩焦點的距離和為，即可求出的值.【詳解】由得：，設(shè)分別是橢圓C的左、右焦點，M關(guān)于的對稱點為A，關(guān)于的對稱點為B，為線段的中點，由已知條件，易得分別是線段的中點，則在和中，有，又由橢圓的定義，得，所以．故答案為：16【點睛】本題主要考查了橢圓的定義的運用，三角形的中位線的性質(zhì)，屬于中檔題.29．(1)證明見解析(2)4【分析】（1）證明橢圓M上任意一點到圓心C的距離大于半徑1即可解決；（2）以設(shè)而不求的方法得到△面積的表達式，再去求最大值即可.(1)圓心，半徑．設(shè)為橢圓M上一點，則．∵，∴當時，有最小值．而，即，故點A總在圓C外．∴圓C在橢圓M內(nèi)．(2)若直線m斜率不存在，m不能過點，則m的方程只能為，，．若直線m斜率存在，設(shè)m的方程為．由直線m與圓C相切得，化簡得，則．由得，則．又到直線m的距離．設(shè)，則，．綜上，面積的最大值為4．30．（1）；（2）是，定點為和.【分析】（1）的三邊有一邊已經(jīng)確定，問題轉(zhuǎn)化為，何時另外兩邊之和最大，結(jié)合橢圓的定義，以及三角形兩邊之差小于第三邊即可確定思路；（2）分直線斜率存在與不存在分別研究，不存在容易得出定點，存在時，可以設(shè)出斜率，再聯(lián)立橢圓方程，求出坐標，最后求出以為直徑的圓