2024屆北京市海淀區(qū)首都師大附中高三上學(xué)期12月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat20頁2024屆北京市海淀區(qū)首都師大附中高三上學(xué)期12月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)可得出復(fù)數(shù).【詳解】由已知可得.故選：C.2．設(shè)平面向量，若，則等于（

）A．1 B． C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：D3．設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.4．一個(gè)袋中裝有大小相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)在不放回的取2次球，每次取出一個(gè)球，記“第1次拿出的是白球”為事件，“第2次拿出的是白球”為事件，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件概率結(jié)合古典概型計(jì)算求解即可.【詳解】由已知條件得由條件概率公式可得.故選：D.5．二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，得，所以二?xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故選：C.6．《九章算術(shù)》卷五商功中有如下描述：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．意思為：今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)2丈，高1丈．現(xiàn)有一芻甍，如圖所示，則該芻甍的體積為（

）

A．5立方丈 B．20立方丈 C．40立方丈 D．80立方丈【答案】A【分析】芻甍的體積為直三棱柱的體積減去兩個(gè)相同的三棱錐的體積，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：芻甍的體積為直三棱柱的體積減去兩個(gè)相同的三棱錐的體積，

即.故選：A7．已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.則“”是“對(duì)于任意且，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷“對(duì)于任意且，”與“”推出關(guān)系，進(jìn)而確定它們的關(guān)系.【詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式知：，∴要使對(duì)于任意且，，則，即是遞增等差數(shù)列，∴“對(duì)于任意且，”必有“”，而，可得，但不能保證“對(duì)于任意且，”成立，∴“”是“對(duì)于任意且，”的必要而不充分條件.故選：B.8．記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A9．我國(guó)油紙傘的制作工藝巧妙．如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動(dòng)．如圖（2），傘完全收攏時(shí)，傘圈已滑動(dòng)到的位置，且、、三點(diǎn)共線，，為的中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為，則當(dāng)傘完全張開時(shí)，的余弦值是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】求出、、的長(zhǎng)，利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.【詳解】依題意分析可知，當(dāng)傘完全張開時(shí)，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，當(dāng)傘完全收攏時(shí)，，所以，，在中，，所以，.故選：A.10．下圖展示了一個(gè)由區(qū)間到實(shí)數(shù)集R的映射過程：區(qū)間中的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)（如圖1）；將線段圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)、恰好重合（從到是逆時(shí)針，如圖2）；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（如圖3），圖3中直線與x軸交于點(diǎn)，則的象就是，記作．則下列命題中正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．在其定義域上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】C【分析】借助于圖形來看四個(gè)選項(xiàng)，先由可判斷A，實(shí)數(shù)所在區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知B錯(cuò)，從圖形上可得在定義域上單調(diào)遞增，C對(duì)，先找到，再利用圖形判斷D錯(cuò)，【詳解】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)為，，直線的方程為，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，即A錯(cuò).對(duì)于B，因?yàn)閷?shí)數(shù)所在區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不存在奇偶性．故B錯(cuò)．對(duì)于C，當(dāng)實(shí)數(shù)越來越大時(shí)，直線與軸的交點(diǎn)也越來越往右，即也越來越大，所以在定義域上單調(diào)遞增，即C對(duì)．對(duì)于D，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)的正下方，此時(shí)點(diǎn)，所以，再由圖形可知的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，而非關(guān)于軸對(duì)稱，即D錯(cuò)．故選：C．二、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，求解分式不等式即可求得結(jié)果.【詳解】要使得函數(shù)有意義，則，即，且，解得，故的定義域?yàn)?故答案為：.12．已知直線和平面.給出下列三個(gè)論斷：①∥；②∥；③.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.【答案】若，則【分析】分三種情況判斷：①②作條件，③作結(jié)論；①③作條件，②作結(jié)論；②③作條件，①作結(jié)論.只要以上三個(gè)命題為真即可.【詳解】解：將①②作條件，③作結(jié)論：若∥，∥，則.此命題為假命題（結(jié)論應(yīng)為或∥）；將①③作條件，②作結(jié)論：若∥，，則∥.此命題為假命題（結(jié)論應(yīng)為與相交或∥）；將②③作條件，①作結(jié)論：若∥，，則∥.由兩平面平行的性質(zhì)定理可知此命題為真命題.故答案為：若∥，，則∥.三、雙空題13．某部門計(jì)劃對(duì)某路段進(jìn)行限速，為調(diào)查限速60km/h是否合理，對(duì)通過該路段的300輛汽車的車速進(jìn)行檢測(cè)，將所得數(shù)據(jù)按，，，分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖.則；這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有輛.【答案】【分析】根據(jù)個(gè)小矩形面積之和為1即可求出的值；根據(jù)頻率分布直方圖可以求出車速低于限速60km/h的頻率，從而可求出汽車有多少輛．【詳解】由解得：．這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有．故答案為：；．14．設(shè)函數(shù)，①若，則不等式的解集為；②若，且不等式的解集中恰有一個(gè)正整數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【分析】①在坐標(biāo)系中分別作出和的圖象，利用圖像法求解即可；②在坐標(biāo)系中分別作出和的圖象，根據(jù)圖象列不等式組求解即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，和的圖象如圖所示，由圖象可得當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，若不等式的解集中恰有一個(gè)正整數(shù)，則由圖象可得，即，解得，故答案為：；四、填空題15．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②存在點(diǎn)使得平面；③的最小值為；④對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，在棱上總存在一點(diǎn)，使得平面；⑤是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為．

其中正確的命題的序號(hào)是．【答案】①⑤【分析】對(duì)于①，利用等體積法轉(zhuǎn)化為，從而得到體積為定值；對(duì)于②，假設(shè)存在點(diǎn)使得平面，經(jīng)過推理得，與矛盾；對(duì)于③，將側(cè)面與側(cè)面展開鋪平即可得到最小值;對(duì)于④,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，此時(shí)與平面相交,得到在棱上不存在一點(diǎn)，使得平面；對(duì)于⑤，利用立體幾何的相關(guān)知識(shí)找到該截面，并表示截面的面積，求出最小值即可.【詳解】解：對(duì)于①，，顯然是定值，因?yàn)槠矫?，所以是定值，所以三棱錐的體積是定值，①正確；對(duì)于②，若存在點(diǎn)，使得平面，又平面，可得，所以四邊形為正方形，即，這與矛盾，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如圖，將側(cè)面與側(cè)面展開鋪平，則的最小值，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，平面即是平面，此時(shí)與平面相交，故不存在點(diǎn)符合要求，④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，如圖，在正方體中，可得，且是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槭巧系膭?dòng)點(diǎn)，且過點(diǎn)的截面垂直，所以截面過點(diǎn)，截面交與，交于，設(shè)，則，在中，可得，，則該截面的面積為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)分別是和的中點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，，即，所以平面，滿足題意，⑤正確．故答案為：①⑤．五、證明題16．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值？若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)得出；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；(3)由，C，M三點(diǎn)共線，利用向量共線得出，利用線面垂直的判定定理證明平面，由于，不平行，則不存在棱上的點(diǎn)，使得平面.【詳解】（1）在四棱錐中因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面又因?yàn)?，平面所以平面因?yàn)槠矫嫠裕?）取中點(diǎn)，連接因?yàn)樗砸驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面因?yàn)槠矫嫠云矫嫠砸驗(yàn)樗运运倪呅问瞧叫兴倪呅嗡匀鐖D建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚杂蓤D可知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.（3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.設(shè)，則所以所以所以.所以.因?yàn)槠矫嫠云矫?所以是平面的一個(gè)法向量.若平面，則.所以因?yàn)榉匠探M無解，所以在棱上不存在點(diǎn)，使得平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線面垂直證明線線垂直以及利用向量法求二面角，屬于中檔題.17．人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過，它所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論.為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語料庫，其中“一”出現(xiàn)了30次，統(tǒng)計(jì)“一”與其后面一個(gè)字（或標(biāo)點(diǎn)）的搭配情況，數(shù)據(jù)如下：“一”與其后面一個(gè)字（或標(biāo)點(diǎn)）的搭配情況頻數(shù)“一個(gè)”6“一些”4“一窮”2“一條”2其他假設(shè)用頻率估計(jì)概率.(1)求的值，并估計(jì)甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；(2)在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個(gè)“一”，其中搭配“一個(gè)”出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列和期望；(3)另外隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語料庫進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，“一”出現(xiàn)了24次，“一格”出現(xiàn)了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫中，輸入拼音“yige”時(shí)，“一個(gè)”和“一格”誰在前面更合適？（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)16；(2)分布列見解析；(3)“一個(gè)”在前更合適【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)即可求得a的值；根據(jù)古典概型的概率公示可求得甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；（2）確定，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算即可求得答案；（3）計(jì)算樣本語料庫A，中“一個(gè)”和“一格”出現(xiàn)的概率，比較大小，可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得；故甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率為；（2）由題意在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個(gè)“一”，搭配“一個(gè)”出現(xiàn)的概率為，則，則,,,故X的分布列為：X012P則.（3）由題意知樣本語料庫中“一格”出現(xiàn)的概率為，甲類題材中“一個(gè)”出現(xiàn)的概率為，由于，故輸入拼音“yige”時(shí)，“一個(gè)”在前面更合適.18．在△中，，.(1)求證：△為等腰三角形；(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△存在且唯一，求的值.條件①：；條件②：△的面積為；條件③：邊上的高為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見解析；(2)詳見解析.【分析】（1）把轉(zhuǎn)化為邊a、b之間的倍數(shù)關(guān)系，把轉(zhuǎn)化為三邊a、b、c之間的關(guān)系，綜合可得證；（2）條件①,與已知矛盾，三角形無解，不可選；條件②，通過三角形面積公式解得a，可使△存在且唯一；條件③，通過轉(zhuǎn)化條件，可使△存在且唯一.【詳解】（1）在△中，由，可得則由，可得即，故有故△為等腰三角形.（2）選擇條件①：時(shí)，由（1）知，則有，此時(shí)，與已知矛盾，三角形無解.不能選；選擇條件②：△的面積為時(shí)，由得，故有，解得，,.三角形存在且唯一，可選.選擇條件③：邊上的高為.由得，可得，則有,.三角形存在且唯一，可選.綜上可知:選擇條件②時(shí)，三角形存在且唯一，.選擇條件③時(shí)，三角形存在且唯一，.六、解答題19．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于Q，線段PQ的中點(diǎn)為M.直線AM與直線交于點(diǎn)N，D為線段BN的中點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷以O(shè)D為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.【答案】（1）（2）點(diǎn)在以為直徑的圓上【解析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，則，，求出直線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)的坐標(biāo)，下面結(jié)合點(diǎn)在橢圓上證出，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上．【詳解】（1）由題意可知，，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)點(diǎn)，，則，，直線的斜率為，直線的方程為：，令得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，又點(diǎn)，在橢圓上，，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及平面向量的基本知識(shí)，屬于中檔題．20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）將代入函數(shù)中，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式即可；（2）先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，然后利用分類討論的思想進(jìn)行分析求解即可；（3）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1），，，當(dāng)時(shí)，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，切線斜率為，曲線在處切線方程為：.（2），，，，，，①當(dāng)時(shí)，成立，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.②當(dāng)時(shí)，令，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減時(shí)，，在上單調(diào)遞增綜上:時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3），，，令，，由已知可得：且，的單調(diào)區(qū)間是，，時(shí)，恒成立，，，令，，即證，，成立，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，恒成立，綜上：的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時(shí)，通常會(huì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等解決.七、證明題21．?dāng)?shù)列：，，…，滿足：，，或1（，2，…，），對(duì)任意i，j，都存在s，t，使得，其中且兩兩不相等．(1)若，直接寫出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào)：①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2(2)記，若，證明：；(3)若，求n的最小值．【答案】(1)②③(2)證明見解析(3)2030【分析】（1）根