x第2章 計算機運算基礎

第二章計算機運算基礎進位計數(shù)制。數(shù)的表示方法。

數(shù)的運算方法。本節(jié)重點：數(shù)的表示方法,二進制加法電路。本節(jié)難點：數(shù)的表示方法,二進制加法電路。本節(jié)內容：第一節(jié)數(shù)制一、進位計數(shù)制：按進位的原則進行記數(shù)的數(shù)制，稱為進位記數(shù)制。1、十進制(DecimalSystem)：逢十進一共有十個數(shù)碼:0,1,2,...,952389十進制萬千百十個進位記數(shù)制兩個最基本概念a權：個，十，百，千等表示權。十進制的權是以10為底的冪，第i位的權為10i。

b基：所使用數(shù)碼的個數(shù)。十進制的基是10。52389=5x104+2x103+3x102+8x101+9x1002、二進制(BinarySystem)：逢二進一共有2個數(shù)碼:0,1

權是2i；基是2。3、八進制(OctaveSystem)：逢八進一共有8個數(shù)碼:0，1，2，...，7

權是8i；基是8。4、十六進制(HexadecimalSystem)：逢十六進一共有16個數(shù)碼:0，1，...，9，A，...，F(xiàn)

權是16i；基是16。十進制二進制八進制十六進制十進制二進制八進制十六進制000091001119111110101012A2102211101113B3113312110014C41004413110115D51015514111016E61106615111117F7111771610000201081000108表2-1常用記數(shù)制表示數(shù)的方法

二、計算機中為什么要用二進制或十六進制記數(shù)能用最少的狀態(tài)表示最大的數(shù)，這樣計算機硬件結構最簡單十進制八進制二進制狀態(tài)數(shù)40（4位）40（5位）40（10位）最大值999985-1=32767210-1=1048575采用x進制數(shù)，位數(shù)為n，x.n為狀態(tài)數(shù)。假設x.n=c（常數(shù)），其表示的最大數(shù)為xn-1。設f(x)=xn-1，顯然f(x)為最大時最節(jié)省狀態(tài)。令p(x)=f(x)+1=xn，顯然f(x)最大時p(x)也最大。對p(x)=xn=xc/x兩邊取對數(shù)并求導，令導數(shù)為0即可取得極大值，經(jīng)過推導得：

ln

x=1，即x=2.71828理論上3進制所用的狀態(tài)量最少，其次為2進制。但因電路中一般只有2種狀態(tài)，故計算機中采用2進制數(shù)是必然的。因二進制表示數(shù)的位數(shù)很長，為了書寫簡短，便于記憶，也采用16進制。如：（1010

1101

1000

0101）2=（AD85）16

A

D

8

5三數(shù)制之間的轉換

1十進制

二進制整數(shù)部分：除2取余法2532613631001011122222低位高位（52）10=（110101）2整數(shù)部分1整數(shù)部分0整數(shù)部分10.625

21.250.250.50

21.0

2（0.625）10=（0.101）2小數(shù)部分：乘2取整法注：如果小數(shù)部分不是0，則要繼續(xù)乘下去。對于有些數(shù)，小數(shù)部分不可能為0，則只能根據(jù)精度要求取近似值。

2二進制

十進制

按權展開即可:按權展開即可:3二進制

十六進制將二進制數(shù)4位一組，用相應16進制數(shù)表示，不足部分添0。(0001

0110

1101.0100

1010)2

=(16D.4A)164十六進制

二進制一位十六進制數(shù)可以用四位二進制數(shù)表示。（0001100001100011.01011011）2（1863.5B）16所以(1863.5B)16=(0001100001100011.01011011)2第二節(jié)數(shù)的表示方法一、真值與機器數(shù)機器數(shù)：一個數(shù)在機器中的表示形式；真值：這個數(shù)本身，即用+-號表示的數(shù)；N1=+1001010BN2=-1001010B0100101011001010符號位數(shù)值部分帶符號數(shù)：在符號位用0表示正，1表示負。比如上面的N1=74，N2=-74。無符號數(shù)：全部有效位均表示數(shù)的大小，無符號位。01001010表示無符號數(shù)7411001010表示無符號數(shù)202

二、數(shù)的定點和浮點表示方法定點表示法：小數(shù)點在數(shù)中的位置是固定不變的。浮點表示法：小數(shù)點在數(shù)的位置是浮動的。定點表示法：對于一十進制數(shù)：231.6=0.2316*103類似的，對于二進制N有

N=2P*SP：數(shù)N的階碼，指明了小數(shù)點的位置；S：數(shù)N的尾數(shù)，表示數(shù)N的全部有效數(shù)字。計算機中通常有兩種約定：假定P=0，且尾數(shù)S為純整數(shù)，這時定點數(shù)只能表示整數(shù)。假定P=0，且尾數(shù)S為純小數(shù)，這時定點數(shù)只能表示小數(shù)。符號位尾數(shù)S.符號位尾數(shù).SN=-101111111011111符號位尾數(shù)（純整數(shù)）2浮點表示法：階碼是個可變的數(shù)值設N=2P*SP正負用階符Pf表示：Pf=0時階碼為正，Pf=1時階碼為負。S正負用數(shù)符Sf表示：Sf=0時尾數(shù)為正，Sf=1時尾數(shù)為負。數(shù)符階符階碼尾數(shù)高8位尾數(shù)低8位AddrAddr+1Addr+2

76543210三、原碼、反碼、補碼原碼、反碼、補碼是帶符號機器數(shù)的表示方法。1、模的概念我們把一個計量器的容量稱為?；蚰?shù)，記為M或modM。一個n位2進制寄存器的模為M=2n。模的特點：當模為2n時，2n和0在機器中表示方法是相同的。n=4，24=16=10000000010=000000002、原碼表示法D7D6D5D4D3D2D1D0符號位數(shù)的大小0正數(shù)1負數(shù)[+1001010B]原=01001010B[-1001010B]原=11001010B原碼的特點：(1)數(shù)值部分即為帶符號數(shù)的二進制數(shù)(2)“0”有+0和

0之分(+0)原

=00000000B(

0)原

=10000000B(3)8位二進制原碼表示數(shù)的范圍1111,1111B~01111111B即

127~+1273反碼表示法正數(shù)的反碼與其原碼相同。負數(shù)的反碼：符號位不變，數(shù)字位按位取反。

[+127]原

=[+127]反

=01111111B[

127]原

=11111111B[

127]反=10000000B反碼的特點：“0”有

0和

0之分

[+0]反

=00000000B,[

0]反

=11111111B8位二進制反碼表示數(shù)的范圍10000000B~01111111B即

127~+1274補碼的表示0123456789順時針為加逆時針為減A=5，B=3A-B=2如果順時針轉動7格，即A+B'=5+7=12指針仍然指2。稱B=-3與B'=7對模10同余，B'稱為B對模10的補數(shù)或補碼。設B為一負數(shù)，其模為M，則B的補碼為M+B。在2進制中，通常以2n為模，因此：

[X]補=2n+XX為正數(shù)，[X]補就是X本身；X為負數(shù)，[X]補就是從2n減去|X|例：當X1=-1010011，求其補碼？[X1]補=[-1010011]=28-1010011=(11111111+1)-1010011=(11111111-1010011)+1=[X1]反+1所以有：[X1]補=[X1]反+1正數(shù)的補碼與其原碼相同。負數(shù)的補碼：符號位不變，數(shù)字位取反最低位加1，也即反碼+1。結論：(2)8位二進制補碼表示數(shù)的范圍：10000000B~01111111B即

128~+127(1)[+0]補=[-0]補=00000000B

[+0]補=[+0]原=00000000[-0]補=[-0]反+1=11111111+1=100000000補碼的特點：對于負數(shù)：（1）已知[X]原，求[X]補符號位不變，數(shù)字位取反，最低位加1。（2）已知[X]補，求[X]原[[X]補]補=[X]原（3）求補：已知[X]補，求[-X]補連同符號位一起取反，最低位加1。8位有符號數(shù)的表示范圍對8位二進制數(shù)：原碼：-127~+127

反碼：-127~+127

補碼：-128~+127

想一想：16位有符號數(shù)的表示范圍是多少？

5常用編碼（1）二-十進制（BCD）碼用二進制編碼表示十進制數(shù)稱為BCD碼。一位十進制數(shù)需要用4位二進制編碼表示。例如：(0100100101111000.000101001001)BCD

(4978.149)DBCD碼優(yōu)點：與十進制轉換方便，容易閱讀；缺點：表示的數(shù)位長，增加電路復雜性，減慢運算速度。當希望計算機直接用十進制進行運算時，應將數(shù)用BCD碼來存儲和運算。但要對二進制運算結果進行十進制調整。0100+001101114370100+10001100481212的BCD碼：00010010例BCD碼加法BCD加法調整規(guī)律：若兩個BCD數(shù)相加結果大于1001，亦即十進制數(shù)大于9，則應做加0110（即加6）調整。若兩個BCD數(shù)相加結果并不大于1001，但卻產(chǎn)生了進位，相當于十進制運算大于等于16，則也要做加0110（加6）調整。010101000100100010011100

011010100010011000010000

0010+)+)+)例加6調整5448高4位加6調整102BCD減法調整規(guī)律：若兩個BCD數(shù)相減時，低4位向高4位有借位，在低4位就要做減0110（即減6）調整。（2）字母數(shù)字代碼----ASCII碼及通用字符編碼ASCII：AmericanStandardCodeforInformationInterchange,即美國信息交換標準代碼。采用7位二進制代碼對字符進行編碼數(shù)字0~9的編碼是0110000（30H）~0111001，它們的高3位均是011，后4位正好與其對應的二進制代碼（BCD碼）相符。最高位通常做奇偶校驗用。

0000010100111001011101110000NULDLESP0@P`p0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2“2BRbr0011ETXDC3#3CScs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111BELETB‘7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM)9IYiy1010LFSUB*:JZjz1011VTESC+;K[k{1100FFFS,<L\l|1101CRGS-=M]m}1110SORS.>N^n~1111SIUS/?O_oDELNUL空SOH標題開始STX正文結束ETX本文結束EOT傳輸結束ENQ詢問ACK承認BEL報警符BS退格HT橫向列表LF換行VT垂直制表FF走紙控制CR回車SO移位輸出SI移位輸入SP空格低四位高三位例：1101+1001=101101101+)10011011

0第三節(jié)數(shù)的運算方法一基本運算加法：0+0=00+1=1+0=11+1=10乘法：0*0=00*1=1*0=01*1=1例：1101-0111=0110

1

1

01-)011101

10例：1101*110=10011101101+)110

00001101

11011001110例：11011÷101=101余10

10110111011

101111

10110二、補碼的加減法運算特點：符號位與數(shù)值部分一起參加運算，并且自動獲得結果（包括符號和數(shù)值部分）。1、補碼的加法運算因為[X]補+[Y]補=2n+X+2n+Y=2n+(X+Y)=[X+Y]補所以有：

[X]補+[Y]補=[X+Y]補例：X=+10010B，Y=-01111B，則

[X]補

=010010+)[Y]補

=110001[X+Y]補=1000011符號位的進位，丟掉2、補碼的減法運算

[X]補-[Y]補=[X]補+[-Y]補=[X-Y]補例：X=-0111000B，Y=-0010001B

[X]補=11001000

[Y]補=11101111[-Y]補=00010001[X]補=11001000+)[-Y]補=00010001[X]補+[-Y]補=11011001[X-Y]補=[X]補+[-Y]補=11001001三、定點乘法運算實現(xiàn)定點乘法運算就是確定乘積的符號和乘積的數(shù)值。符號：同號相乘，乘積為正；異號相乘，乘積為負。數(shù)值：兩數(shù)尾數(shù)之積。例：兩個無符號數(shù)A=1011，B=11011011被乘數(shù)*）11

0

1乘數(shù)

1011

0000

1011101110001111部分積乘積結論：兩個n位無符號數(shù)相乘，乘積的位數(shù)為2n位；乘積等于各部分積之和。四、邏輯運算（布爾代數(shù)）布爾代數(shù)也稱邏輯代數(shù)。和普通代數(shù)一樣，可以寫成下面這樣的表達式：

Y=f(A,B,C,D)特點：1.變量只有兩種可能的數(shù)值：0

，12.函數(shù)f只有三種基本方式：“與”“或”“非”。由此可導出其他的邏輯運算：“異或”，“同或”，“與或非”。1.與運算（Y=A·BY=A∧BY=A×B

）與運算也稱為邏輯乘法。運算規(guī)則為

Y=0·0=0Y=1·0=0

Y=0·1=0Y=1·1=1Y=1結論：二者皆真(1)結果為真(1)，有一偽者(0)結果必為偽(0)。“見0得0，全1為1”。例：11001010A×）00001111B00001010YY=A·B=00001010Y=02.或運算（Y=A+BY=A∨B）或運算也稱為邏輯加法。運算規(guī)則為

Y=0+0=0Y=0Y=1+0=1

Y=0+1=1Y=1+1=1結論：二者皆偽(0)結果必偽(0)，有一真者(1)結果為真(1)?！耙?得1，全0為0”。Y=1例：10101A+）11011B11111YY=A+B=111113.反運算（Y=）反運算也稱為非運算，邏輯否定。運算規(guī)為：

=0=1

當A為多位時，A=A1A2A3A4...An。則邏輯反例：設A=11010000，則Y==001011114.異或運算（Y=AB）或運算也稱為邏輯加法。運算規(guī)則為

Y=00=0Y=0Y=10=1

Y=01=1Y=11=0Y=0結論：兩變量相同，結果為0；兩變量不同結果為1。Y=1例：1010A

）1101B0111YY=AB=01115.布爾代數(shù)的基本運算規(guī)律恒等式

A·0=0A·1=AA·A=AA+0=AA+1=1A+A=AA+=1A·=0=A運算規(guī)律交換律