新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納講義專題11 立體幾何 11.3平行與垂直證明（原卷版）

專題十一《立體幾何》講義11.3平行與垂直證明知識(shí)梳理.平行與垂直證明1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b3.直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b4．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α題型一.平行問題考點(diǎn)1.線面平行1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．求證：（1）直線MN∥平面PAD；2．如圖所示四棱錐P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一點(diǎn)，滿足PE＝2EC．（1）證明：PA∥平面BDE；考點(diǎn)2.面面平行3．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)E、D分別是B1C1與BC的中點(diǎn)．求證：平面A1EB∥平面ADC1．4．如圖所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中點(diǎn)．（1）求證：E、B、F、D1四點(diǎn)共面（2）求證：平面A1GH∥平面BED1F．考點(diǎn)3.線線平行5．如圖所示，在多面體A1B1D1DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn)，過A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）證明：EF∥B1C；6．如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求證：l∥BC．（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論．題型二.垂直問題考點(diǎn)1.線面垂直1．如圖，已知三棱錐A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M為線段AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；2．如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC=2（Ⅰ）證明：DE⊥平面ACD；考點(diǎn)2.面面垂直3．如圖：AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC．4．如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；考點(diǎn)3.線線垂直5．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB=2，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD（Ⅰ）求證：PA⊥BD；6．如圖，四棱錐E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．（Ⅰ）求證：AB⊥ED；（Ⅱ）線段EA上是否存在點(diǎn)F，使DF∥平面BCE？若存在，求出EFEA題型三.存在性問題1．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．設(shè)D，E分別為PA，AC中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）試問在線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得過三點(diǎn)D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點(diǎn)F的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C、D的點(diǎn)．（1）證明：DM⊥平面BMC；（2）在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說明理由．3．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分別為對(duì)角線BD、CD1上的點(diǎn)，且CQQ（1）求證：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是CD上的點(diǎn)，當(dāng)CRCD的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面B1C1BC題型四.折疊問題1．如圖，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC=12AP，D是AP的中點(diǎn)，E、F分別為PC、PD的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起得到四棱錐P（Ⅰ）G為線段BC上任一點(diǎn)，求證：平面EFG⊥平面PAD；（Ⅱ）當(dāng)G為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP∥平面EFG．2．如圖，已知平面四邊形ABCD中，D為PA的中點(diǎn)，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4，將此平面四邊形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，連接PA、PB，設(shè)PB的中點(diǎn)為E，（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面PBC？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．如圖甲，⊙O的直徑AB＝2，圓上兩點(diǎn)C，D在直徑AB的兩側(cè)，使∠CAB=π4，∠DAB=π3．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AO的中點(diǎn)．（2）求證：不論點(diǎn)P在何位置，都有DE⊥BP；（3）在BD弧上是否存在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型五.平行與垂直選填綜合1．設(shè)l、m、n表示不同的直線，α、β、γ表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α；②若α⊥β，m∥α，n⊥β，則m⊥n；③若l∥α，且m∥α，則l∥m；④若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥β．則正確的命題個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．12．在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．8 C．10 D．63．已知E，F(xiàn)，G，H分別為四面體ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的點(diǎn)，且AE＝EB，BF＝FC，CH=12HD，AG=A．AC∥平面EFH B．四邊形EFHG是梯形 C．直線EG，F(xiàn)H，BD相交于同一點(diǎn) D．BD∥平面EFG4．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為（）A．2 B．98 C．3 D．5．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，N為BC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M在平面DCC1D1內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有MN∥平面A1BD，則線段MN的最小值為（）A．1 B．62 C．2 D．6．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，AP=3，點(diǎn)M在線段BC上，且AM⊥MD，則當(dāng)△PMD的面積最小時(shí)，線段BCA．3 B．322 C．2 7．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于．8．如圖，棱長(zhǎng)均為1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分別為線段A1B，B1C上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M，N所在直線與平面ACC1A1不相交，點(diǎn)O為MN中點(diǎn)，則O點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度是．9．棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作平面a，使得平面a∥平面AB1C，則平面a在正方體表面上截得的圖形的周長(zhǎng)為．10．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為．課后作業(yè).平行與垂直證明1．如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求證：l∥BC．（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論．2．如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D1是A1C1中點(diǎn)（1）求證：BC1∥平面AB1D1（2）求證：平面AB1D1∥平面C1BD．3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1=2，D是A1B1（1）求證C1D⊥平面A1B；（2）當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．4．如圖，在空間幾何體A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，∠CDE＝60°，△ADE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．（1）若F為AC的中點(diǎn)，求證：BF∥平面ADE；（2）若AC＝4，求證：平面ADE⊥平面BCDE．5．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O．將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B﹣ACD，點(diǎn)M是棱BC