2022年廣西南寧市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年廣西南寧市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3、非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在

試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合/={川2忘:<<4},N={x|3<xW5},則MCN=()

A.{x[2<xW3}B.{x|3WxW4}C.{x[3<xW4}D.{x|2WxW5}

2.若2(l+?)=1-z,則z=()

A.1-iB.1+/C.-iD.i

3.已知數(shù)列{近}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，。2、44分別是方程f-6x+5=0的兩根，則45=

()

A.7B.3C.1D.-1

4.已知雙曲線/一技=1供>0)的焦距為2K，則其漸近線方程為()

A.y=+V2xB.y=+^xC.y=±V3xD.y=+^-x

5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()

側(cè)(左)視圖

第1頁(yè)共22頁(yè)

8

A.一B.2C.8D.4

3

6.設(shè)〃=3°rb=c=logo_60.8,貝lja,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<h<cB.h<a<cC.c<b<aD.c<a<h

8.已知圓C的圓心在直線y=6x上，且與直線/：x+y-l=O相切于點(diǎn)(-2,3),則圓C

方程為()

A.(x+l)2+(y+6)2=18B.x2+y2=lS

C.(x-1)2+(y-6)2=18D.(x-1)2+(y-6)2=12

9.(2x—9)(x+y)6的展開式中丁>4的系數(shù)為()

A.45B.30C.20D.15

10.球。為三棱錐P-ABC的外接球，4ABC和△P8C都是邊長(zhǎng)為26的正三角形，平面

PBC,平面ABC,則球的表面積為()

A.281tB.20nC.18nD.16n

11.在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng)：第一次取1;第二次取2個(gè)連續(xù)

偶數(shù)2,4；第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9；第四次取4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16,；

第五次取5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25：按此規(guī)律取下去，得到一個(gè)數(shù)列1,2,4,

5,7,9,10,12,14,16,17,19,…，則在這個(gè)數(shù)列中第2021個(gè)數(shù)是()

A.3976B.3974C.3978D.3973

12.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(x),對(duì)VxCR,都有/(-X)=e2xfCx),當(dāng)x>0時(shí)，/

第2頁(yè)共22頁(yè)

(x)+f(x)<0,若e2a'xf(2a-1)We""(a+1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[0,2]B.(-°°,-1]U[2,+8)

C.(-8,0]U[2,+8)D.[-1,2]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)｛板｝是等比數(shù)列，且。1+。2+。3=1,02+43+04=2,則數(shù)列｛麗｝的公比q=.

14.已知2=(—3,0),b=(3,4),則|2^+&=.

15.已知。為坐標(biāo)頂點(diǎn)，拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn)，PF與x

軸垂直，。為x軸上一點(diǎn)，且PQJ_OP,若尸。|=4,則C的準(zhǔn)線方程為.

16.函數(shù)/(x)=4sin(3x+(p)(a)>0,0<(p<n)的部分圖像如圖所示，有以下結(jié)論：

①/'(x)的最小正周期7=2：

@f(x)的最大值為A；

③f(x)圖像的第一條對(duì)稱軸為直線％

@V(x)在(一1,一》上單調(diào)遞增.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：

共60分.

17.(12分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.己知百a=2csin(B+^).

(1)求角C的大??；

(2)若a+b=5,求△4BC周長(zhǎng)的取值范圍.

18.(12分)為推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和的目標(biāo)，2021年4月某新能源公司在室內(nèi)開展了“低碳出

第3頁(yè)共22頁(yè)

行，綠色減排”活動(dòng)，向全市投放了1000輛新能源電動(dòng)車，免費(fèi)試用5個(gè)月.試用到期

后，為了解男女試用者對(duì)該新能源車性能的評(píng)價(jià)情況，公司對(duì)申請(qǐng)使用的試用者進(jìn)行了

滿意度評(píng)分調(diào)查（滿分為100分），最后該公司共收回400份評(píng)分表，然后從中隨機(jī)抽取

40份（男女各20份）作為樣本，繪制了如圖莖葉圖：

女性試用青女分男性試用并評(píng)分

867889

521702234566789

866544333082448

32220091

（1）求40個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)m,并說(shuō)明男性與女性誰(shuí)對(duì)新能源電動(dòng)車的滿意度更高；

（2）假設(shè)該公司規(guī)定樣本中試用者的“認(rèn)定類型”：評(píng)分不小于川的為“滿意型”，評(píng)分

小于m的為“需改進(jìn)型”，為做好車輛改進(jìn)工作，公司先從樣本“需改進(jìn)型”的試用者按

性別分別用分層抽樣的方法，從中抽取8人進(jìn)行回訪，根據(jù)回訪意見改進(jìn)車輛后，再?gòu)?/p>

這8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行二次試用，記這3人中男性人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)

期望.

19.（12分）如圖，四棱錐P-A8CD的底面A8CQ是平行四邊形，/LBAD=AB=4,BC

第4頁(yè)共22頁(yè)

=1,ADLPD.M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PC上，CN=^NP.

(1)證明：平面PCM_L平面ABC。；

(2)若PC=3,求二面角A-DW-N的余弦值.

20.(12分)己知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為1,離心率為：■.

第5頁(yè)共22頁(yè)

（1）求橢圓C的方程;

（2）若過(guò)尸（入，0）的直線/與橢圓交于相異兩點(diǎn)A,B,且力3=2而，求實(shí)數(shù)人的范

圍.

第6頁(yè)共22頁(yè)

21.(12分)已知函數(shù)f(x)="+sinx.

(1)求y=/(x)在(1,/(D)處的切線方程；

(2)當(dāng)x20時(shí)，/G)\a^+緘+i恒成立，求。的取值范圍.

第7頁(yè)共22頁(yè)

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，則按所做的第一題幾

分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐

=siuu

標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)若直線/的極坐標(biāo)方程為。=1(p€R),尸為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線/的

距離的最大值.

第8頁(yè)共22頁(yè)

［選修4?5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=|x+l|+|x+3|.

(1)求/(x)24的解集；

(2)若/(x)2a2-2〃+3,求。的值.

第9頁(yè)共22頁(yè)

2022年廣西南寧市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合川={川2忘》忘4},N={x|3VxW5},則MAN=()

A.{x|2Wx<3}B.{x|3〈xW4}C.{x|3VxW4}D.{x|2Wx<5}

解：?.?集合M={x|2WxW4},N={x|3<xW5},

；.MriN={x|3<：xW4},

故選：C.

2.若2(1+i)=1-則z=()

A.1-jB.1+iC.-iD.i

解：由2(1+i)=1-i,得2=起==-i,

1+1(JL十—

故選：D.

3.已知數(shù)列{〃"}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，42、。4分別是方程/-6x+5=o的兩根，則“5=

()

A.7B.3C.1D.-1

解：；42、。4分別是方程7-6x+5=o的兩根，且數(shù)列為遞減數(shù)列，

??C11=5>〃4=1,

?+d=5,/%=7

,,&+3d=/

???。5=7+(-2)義4=-1,

故選：D.

4.已知雙曲線/一|=1(6>0)的焦距為2K，則其漸近線方程為()

A.y=±V2xB.y=±芋％C.y=±V3xD.y=±乎％

解：由焦距2c=2K，又雙曲線中“2=1,a2+/?2—c2,

故3=y+1,解得b=&,：.-=y/i,

a

所以漸近線方程為y=±V2x,

故選：A.

第10頁(yè)共22頁(yè)

5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()

8

A.-B.2C.8D.4

3

解：根據(jù)三視圖還原，得到四棱錐尸-ABC。，其底面A3CD為直角梯形，高為PD,

體積為昨扣板鹿BCD+2)22=2,

故選：B.

A.a<h<cB.h<a<cC.c<b<aD.c<a<h

解：；1<30-3O05=V3,/.1<a<y/3,

=212>2,：.b>2,

Vlogo.60.8<logo,60.6=1,/.c<1,

:.c〈a〈b.

故選：D.

7.已知函數(shù)f(x)=碧，則/(x)的大致圖像為()

第11頁(yè)共22頁(yè)

解：由題意得，/(-1)>0,故排除C,D,

當(dāng)*f+8,f(%)-0,排除艮

故選：A.

8.已知圓C的圓心在直線y=6x上，且與直線/：x+y-l=0相切于點(diǎn)(-2,3),則圓C

方程為()

A.(x+1)2+()斗6)2=18B.犬2+/=18

C.(x-1)2+(y-6)2=18D.(x-1)2+(y-6)2=12

6??2—3

解:設(shè)圓心為(〃?,6m)，則圓心與點(diǎn)(-2,3)的連線與直線/垂直，即-----x(-1)=-1,

m+2

解得〃?=1,所以圓心為(1,6),半徑r=,(1+2產(chǎn)+(6—3尸=3夜,

所以圓C方程為(x-1)2+(廠6)2=18.

故選：C.

9.(2x-《)(x+y)6的展開式中小丁的系數(shù)為()

A.45B.30C.20D.15

解：(x+y)6展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=CJx6fyr(隹N且0WrW6),

4

y,27rr

所以(2%-m)的各項(xiàng)與(x+y)6展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：2xTr+1=2C^x-y,

令，?=%可得：2%75=2以尤3y4,該項(xiàng)中1y4的系數(shù)為30,

34

一97rH=-續(xù)產(chǎn)胃+2,令尸2,可得：一咚4=-C1xy,該項(xiàng)中的系數(shù)為-⑸

所以的系數(shù)為30-15=15.

故選：D.

10.球。為三棱錐P-ABC的外接球，△ABC和△PBC都是邊長(zhǎng)為2g的正三角形，平面

第12頁(yè)共22頁(yè)

P8C，平面ABC,則球的表面積為（）

A.28TTB.20TTC.18nD.I6n

解：設(shè)BC中點(diǎn)為7,△ABC的外心為Oi,△PBC的外心為3,

由△ABC和aPBC均為邊長(zhǎng)為2次的正三角形，

2V3

PWAABC和△PBC的外接圓半徑為一~-=2,

2sm600

又因?yàn)槠矫鍼8C_L平面ABC,

所以四邊形001702是邊長(zhǎng)為1的正方形，

所以02T_L平面ABC,

所以02TL01T,且ar=0iT,

過(guò)02,01分別作平面PBC和平面ABC的垂線相交于0,

則0為三棱錐P-ABC外接球球心，且四邊形001702是邊長(zhǎng)為加一=1的正方

形，

所以外接球半徑R=J00/+02P2=VTT4=V5,

則球的表面積為20TT,

故選：B.

11.在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng)：第一次取1;第二次取2個(gè)連續(xù)

偶數(shù)2,4；第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9；第四次取4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16,；

第五次取5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25；按此規(guī)律取下去，得到一個(gè)數(shù)列1,2,4,

5,1,9,10,12,14,16,17,19,…，則在這個(gè)數(shù)列中第2021個(gè)數(shù)是（）

第13頁(yè)共22頁(yè)

A.3976B.3974C.3978D.3973

解：由題意可得，奇數(shù)次取奇數(shù)個(gè)數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個(gè)數(shù)，前〃次共取了1+2+3+…+

n=磴#個(gè)數(shù)，

63((，3+1

且第〃次取的最后一個(gè)數(shù)為當(dāng)“=63時(shí)，2-=2016,

即前63次共取了2016個(gè)數(shù)，第63次取的數(shù)都為奇數(shù)，并且最后一個(gè)數(shù)為632=3969,

即第2016個(gè)數(shù)為3969,所示當(dāng)"=64時(shí)，依次取3970,3972,3974,3976,3978,

所以第2021個(gè)數(shù)是3978,

故選：C.

12.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(x),對(duì)V.詫R,都有/(-x)=e2V(x),當(dāng)x>0時(shí)，/

(x)(x)<0,若於一夕(2〃-1)We""(a+1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[0,2]B.(-oo,-1]U[2,+8)

C.(-8,0]U[2,+8)D.[-1,2]

解:令g(x)=eKf(x),則當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)=ev[f(x)+f(x)]<0,

所以g(x)=e>(x)在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞減，

又g(-x)=exf(-x)=exCe2xf(x))=/f(x)=g(x),

所以g(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)單調(diào)遞增，

又e2a-"(2。-1)即g(2〃-1)Wg(〃+l),

所以|2a-l|2|a+l|,即(2a-1)(a+1)2,解得〃WO或a22,

所以。的取值范圍為(-8,0]U[2,+8).

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)｛〃〃｝是等比數(shù)列，且。1+。2+。3=等42+43+04=2,則數(shù)列的公比0=2.

解：???｛〃〃｝是等比數(shù)列，且。1+〃2+〃3=1,

.??。2+。3+。4=4(Q1+Q2+Q3)=2,

:.q=2,

故答案為：2.

14.已知彼=(-3,0),b=(3,4),則|21+；|=5.

解：-：a=(-3,0),b=(3,4),

第14頁(yè)共22頁(yè)

/.2a+b=(-3/4),

?，?|2Q+b|=+16=5,

故答案為：5.

15.已知。為坐標(biāo)頂點(diǎn)，拋物線C：)2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn)，PF與x

軸垂直，。為x軸上一點(diǎn)，且PQLOP,若|FQ|=4,則C的準(zhǔn)線方程為x=-1.

解：拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸虎,0),

為C上一點(diǎn)，P尸與x軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為匕

2

代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為土p,

不妨設(shè)P),因?yàn)?。為X軸上一點(diǎn)，且PQ_LOP,所以。在F的右側(cè)，

又；|F。|=4,.,.(?(4+1,0),：.PQ=(4,-p),

因?yàn)镻QLOP,所以吊-OP=^x4-p2=0,

,.,pX),:?p=2,

所以C的準(zhǔn)線方程為x=-1,

故答案為：x=-1.

16.函數(shù)f(x)=Asin(3x+(p)(a)>0,0<(p<Tt)的部分圖像如圖所示，有以下結(jié)論：

Oy(JC)的最小正周期7=2；

@f(x)的最大值為A；

③r(x)圖像的第一條對(duì)稱軸為直線x=J

(gy(x)在(一1,一》上單調(diào)遞增.

則正確結(jié)論的序號(hào)為①②③④.

151

解：由圖可知，一7=一——=1,則/(x)的最小正周期T=2,①正確；

244

如圖，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=Asin(p>0,結(jié)合OVcpVir,知A>0,/(x)的最大值為A,

第15頁(yè)共22頁(yè)

②正確；

因?yàn)?(X)的圖像過(guò)點(diǎn)G，0)和號(hào)，0),所以/(x)圖像的對(duì)稱軸為直線久=20+3+

■y*=梳+k,(keZ),當(dāng)k=-1時(shí)，對(duì)稱軸為x=—4,③正確；

把點(diǎn)(上，0)代入/(冗)=Asin(nx+(p),得￡+0=兀+2々兀，又OVcpVn,得3=聾，

則f(x)=ASITI(TCX+，由一?+2/CTT<Tix+W?+2/CTT得一京+2/c<x4一,+2k,

依Z,此為/(x)圖像的單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)k=0時(shí)，—左三工工—而(―L—》G(—左，

一》，④正確.

故答案為：①②③④

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：

共60分.

17.(12分)在△ABC中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知V5a=2csin(B+0.

(1)求角C的大??；

(2)若a+Z?=5,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

解：(1)在△ABC中，由正弦定理得V5sinA=2sinCsin(B+5),

即百sin(B+C)=2sinC?gsinB+^-cosB'),化簡(jiǎn)得bsinBcosC=sinCsinB,

又sinB>0,有“cosC=sinC,即tcmC=K，又Ce(0,ir),所以C=*

(2)由余弦定理可知,<?=02+^2-2abcosC=(a+b)2-3ab,

因?yàn)閍+b—5,ab<(―^—)2>

可得c22(a+?-3(嚶A=竽，當(dāng)且僅當(dāng)。=5=飄，取等號(hào)，

所以c*,又c<a+b=5,所以|wc<5,所以△A8C周長(zhǎng)的取值范圍是［學(xué)，10),

18.(12分)為推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和的目標(biāo)，2021年4月某新能源公司在室內(nèi)開展了“低碳出

行，綠色減排”活動(dòng)，向全市投放了1000輛新能源電動(dòng)車，免費(fèi)試用5個(gè)月.試用到期

后，為了解男女試用者對(duì)該新能源車性能的評(píng)價(jià)情況，公司對(duì)申請(qǐng)使用的試用者進(jìn)行了

滿意度評(píng)分調(diào)查(滿分為100分)，最后該公司共收回400份評(píng)分表，然后從中隨機(jī)抽取

第16頁(yè)共22頁(yè)

40份(男女各20份)作為樣本，繪制了如圖莖葉圖:

女性試用先評(píng)分男性試用并評(píng)分

867889

521702234566789

866544333082448

32220091

(1)求40個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)處并說(shuō)明男性與女性誰(shuí)對(duì)新能源電動(dòng)車的滿意度更高；

(2)假設(shè)該公司規(guī)定樣本中試用者的“認(rèn)定類型”：評(píng)分不小于膽的為“滿意型”，評(píng)分

小于〃?的為“需改進(jìn)型”，為做好車輛改進(jìn)工作，公司先從樣本“需改進(jìn)型”的試用者按

性別分別用分層抽樣的方法，從中抽取8人進(jìn)行回訪，根據(jù)回訪意見改進(jìn)車輛后，再?gòu)?/p>

這8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行二次試用，記這3人中男性人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)

期望.

解：(1)由莖葉圖可知40組數(shù)據(jù)由小到大排序最中間兩項(xiàng)應(yīng)為80與82,所以m=絲署=

81；

女性的使用滿意度更高，因?yàn)榕杂脩舻牡梅执蟛糠痔幱?0-90分之間，而男性的評(píng)價(jià)

大部分集中于70?80分之間，普遍低于女性用戶的評(píng)分.

(2)評(píng)分低于，"的女性有5人，而男性有15人，所以從樣本“需改進(jìn)型”的試用者中

按性別用分層抽樣的方法抽出女性2名，男性6名，

X的所有可能取值為1,2,3.

則P(X=D=等=*劫-2)=警度度P(X=3)=等=|§=高

c8c8c8

所以X的分布列如下:

X123

P3155

282814

所以X的數(shù)學(xué)期望為：E(X)=lx^+2xi|+3x^=1.

19.(12分)如圖，四棱錐P-A8C。的底面ABCD是平行四邊形，^BAD=1,4B=4,BC

=1,ADLPD.M是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)N在尸C上，CN=^NP.

(1)證明：平面平面ABCZ)；

第17頁(yè)共22頁(yè)

(2)若PMLMQ,PC=3,求二面角A-CM-N的余弦值.

(1)證明：由題意得AM=2,ABAD=J,AD=\,

在△ADM中，由余弦定理得DM=百，

所以△AOW是直角三角形，

即ADLDM,

又且。MCPO=￡),

所以AO_L平面POM,

又AOu平面ABCD,

所以平面PDM_L平面ABCDx

解：(2)由(1)知AZ)J_平面PZ)M,PMu平面PDW,

J.ADLPM,

又PM_LMO,ADCyMD=D,

所以PM_L平面ABCQ,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,0M及平行于MP所在的直線為x,y,z軸建立空間直角

連接MC,在平行四邊形ABC。中，易得MC=5,

在直角三角形PMC中，PM=y/PC2-MC2=或，

第18頁(yè)共22頁(yè)

于是M（0,痘,0）,P（0,V3,&），C（-2,2聒,0）,

由無(wú)=2加得N（-g,竽，孝），

—>t173y0

=0=4-5萬(wàn)42,

{n?DN=0^-3X+~3~y+-3-z=°

取z=4得，n=（V2.0,4）,

由（I）知彳軸，平面ADM,

所以平面4OM的法向量薪=（0,0,1）,

則cos（蔡，n）=7?=—j=2^,

I利記lx訴3

因?yàn)槎娼茿-DM-N為鈍角，

故所求二面角的余弦值為一竽.

V3

20.（12分）己知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為1,離心率為一.

2

（1）求橢圓。的方程；

（2）若過(guò)尸（入，0）的直線/與橢圓交于相異兩點(diǎn)A,B,且心=2尾，求實(shí)數(shù)人的范

圍.

f2b=1

解：（1）由題意知§，

Ia2

（Q2=b2+C2

解得。=1,b=I，

2

所以橢圓方程為/+彳v-=1;

4

（2）設(shè)8（無(wú)（），yo）,A（xi,yi）,

—>T

由AP=2PB得（A-xi,-yi）=2（xo-入，yo）,

從而無(wú)1=3入-2%o,yi=-2yo,

則A（3入-2xo,-2jo）,

因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓7+4y2=l上，

故（34-2沏產(chǎn)+4（-2yo）2=1，

222

HP9A-12Ax0+4（x0+4y0）-1=0,

2

又與2+4y0=1,

第19頁(yè)共22頁(yè)

所以x0=49，

由橢圓定義知-IWXOWI,

故-14當(dāng)"，

解得Aw[―1,$u《，1],

又由題設(shè)知入w±l,

11

故a€(―1，一量u寫，1)

所以實(shí)數(shù)人的取值范圍是(一1,-1]U[p1).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=F+sinx

(1)求y=f(x)在(1,/(D)處的切線方程；

(2)當(dāng)x2O時(shí)，/(x)2ax恒成立，求〃的取值范圍.

解：(1)由題知/(I)=e+sinl,f(x)=^'+cosx,/(1)=e+cosl,

所以y=f(x)在(1,/(1))處的切線方程為y-(e+sinl)=(e+cosl)(x-1),

即(e+cosl)x-y+sin1-cosl=0,

(2)由f(x)WoY+Zr+l得/+sirtv-蘇-2x-1NO,

令g(x)=/+sirti-ar2-2x-1,即g(x)"而20,

g'(x)="+cosx-2ar-2,g"(x)-sinx-2a,g"'(x)="-cosx,

因?yàn)閤20,所以"212cosx,所以