廣東省佛山市南海區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月期中學(xué)業(yè)水平統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1廣東省佛山市南海區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月期中學(xué)業(yè)水平統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，所以．故選：A．2.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，所以.故選：B.3.下列函數(shù)既是增函數(shù)，圖象又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：的圖象均在x軸上方，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，符合題意，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋圆皇窃龊瘮?shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，可得為偶函?shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.8，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（）A.1.59 B.1.28 C.0.63 D.0.58【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足，當(dāng)時(shí)，可得，即，解得.故選：D.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則，解得.故選：B.6.設(shè)，則（）A.6 B.7 C.11 D.12【答案】A【解析】由函數(shù)，可得.故選：A.7.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，對(duì)于不等式，且，即，可得，解得，所以的取值范圍是.故選：C.8.已知，（且），若對(duì)任意的，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知：，因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，且，可知當(dāng)時(shí)，取到最大值，由題意可得：，可知存在，使得成立，當(dāng)，可知在上單調(diào)遞減，可得，不合題意；當(dāng)，可知在上單調(diào)遞增，可得的最大值為，則，即又，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分.9.已知，，是實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.是的充分不必要條件 B.是的既不充分也不必要條件C.是的充分不必要條件 D.是的必要不充分條件【答案】BD【解析】取，，得，但，充分性不成立；取，，得，但，故A錯(cuò)，B對(duì)；當(dāng)時(shí)，則，充分性不成立；若，則，所以，即是的必要不充分條件，故C錯(cuò)，D對(duì).故選：BD.10.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)?，，且，?duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知：，則，且在上單調(diào)遞增，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，且在上單調(diào)遞增，所以，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)則（）A.B.C.有唯一零點(diǎn)D.若當(dāng)時(shí)，，則最大值是【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，則，故A對(duì)；對(duì)于B，由圖知，，故B錯(cuò)；對(duì)于C，由圖知，有唯一零點(diǎn)，故C對(duì)；對(duì)于D，令，解得；令，解得，由圖象可知：，，所以，故D對(duì).故選：ACD.12.對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)，，記曲線與直線，，軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn).關(guān)于，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由題意，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，也成立；綜上所述：，對(duì)于選項(xiàng)A：，，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，且，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：如圖，因?yàn)椋?，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：取，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知命題：，，則命題的否定為_(kāi)_____.【答案】，【解析】根據(jù)全稱命題的否定形式，可知：命題：，的否定為：，.故答案為：，.14.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，在冪函數(shù)的圖象上，則______.【答案】【解析】對(duì)于函數(shù)，令，解得，此時(shí)，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)冪函數(shù)，代入可得，解得，則，所以.故答案為：.15.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，寫出滿足條件的的一個(gè)值______.【答案】（答案不唯一，）【解析】令，可得，原題意等價(jià)于的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象，結(jié)合圖象可知：若的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，所以，例如.故答案為：（答案不唯一，）.16.已知函數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t有：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，且，所以為上的連續(xù)函數(shù)且在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，則，可得，即對(duì)任意恒成立，注意到的圖象開(kāi)口向下，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中，并求解下列問(wèn)題：已知集合，，若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：由題意可知：，若選①：因?yàn)椋瑒t，可知，當(dāng)時(shí)，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則或，解得或無(wú)解，可得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍或.若選②：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則或，解得或無(wú)解，可得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍或.若選③：因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍.18.已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值19，最小值5.（1）求，值；（2）設(shè)，求最小值.解：（1）由于函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，則，解得，.（2）由于，所以，由于，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.19.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求時(shí)，的解析式；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，則，所以.（2）當(dāng)，則，對(duì)于，即，整理得，令，可得，原題意等價(jià)于存在，使得成立，且的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，可知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取到最大值32，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù).（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）若.（i）判斷的單調(diào)性，并用定義加以證明；（ⅱ）解不等式：.解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：由題意可得：，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，又因?yàn)?，即，所以函?shù)為奇函數(shù).（2）因?yàn)?，則，可得，（i）在內(nèi)單調(diào)遞增，證明如下：對(duì)于任意，且，則，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可得，即，則，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（ⅱ）由（1）可知函數(shù)為奇函數(shù)，則，由可得，整理得，又因在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以不等式的解集為.21.物體在常溫下冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度為，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后的溫度為，則，其中為環(huán)境溫度，為參數(shù).某日室溫保持為20，李華在8點(diǎn)時(shí)用智能電熱水壺?zé)?升水（假設(shè)加熱時(shí)水溫隨時(shí)間的變化為一次函數(shù)，且初始溫度與室溫一致），8分鐘后水溫達(dá)到100，水壺停止工作，壺中熱水開(kāi)始自然冷卻，8點(diǎn)18分時(shí)，壺中水溫為60.（1）求8點(diǎn)起壺中水溫（單位：）關(guān)于時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)；（2）若當(dāng)日李華在1升水沸騰（水溫達(dá)到100）時(shí)，恰好有事出門，于是將智能電熱水壺設(shè)定為保溫狀態(tài)，已知智能電熱水壺會(huì)自動(dòng)檢測(cè)壺內(nèi)水溫，當(dāng)壺內(nèi)水溫高于臨界值50時(shí)，設(shè)備不加熱；當(dāng)壺內(nèi)水溫不高于臨界值50時(shí)，開(kāi)始加熱至80后停止，加熱速度與正常燒水一致.問(wèn)李華離開(kāi)后，智能電熱水壺在幾點(diǎn)幾分開(kāi)始第二次加熱？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，）解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，代入，，解得，則，當(dāng)時(shí)，由題意，代入，，，，得，即，解得，所以.（2）若從降溫至，由題意有，代入，即，計(jì)算得分鐘，故經(jīng)過(guò)22分鐘開(kāi)始第一次加熱；從加熱至需要分鐘，從降溫至，，代入，，，可得，計(jì)算得分鐘，則共需要分鐘，故8點(diǎn)35分鐘后第二次開(kāi)始加熱.22.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，該性質(zhì)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù)，.（1）函數(shù)的圖象是否有對(duì)稱中心？請(qǐng)用題設(shè)結(jié)論證明；（2）用表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，請(qǐng)討論是否對(duì)任意的，都有最大值.解：（1）函數(shù)的圖象有對(duì)稱中心，證明如下：因?yàn)?，假設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，等價(jià)于函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)椋?，可知的定義域?yàn)?，可得，即，此時(shí)，可得，解得，此時(shí)為定義在內(nèi)的奇函數(shù)，所以的對(duì)稱中心為.（2）（i）當(dāng)時(shí)，則，可得，又因?yàn)?，則，所以；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，則，可得，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且