多目標決策技術

多目標決策技術2023/12/26多目標決策技術

前面幾章，我們討論的是單目標決策問題。然而現實世界中的決策問題，決策者考慮的目標往往不只一個。如企業(yè)的投資項目決策，既要考慮生產生命周期、市場需求、創(chuàng)匯能力、凈收益、產品成本等經濟指標，又要考慮保護生態(tài)環(huán)境、促進就業(yè)等社會指標。象這種在決策時要考慮多項目標的決策問題就是多目標決策問題。

多目標決策問題有兩個明顯的基本特點：

1．目標之間的不可公度性。即各個目標之間沒有一個統一的度量標準，因而難以直接進行比較。例如投資項目決策問題中，項目凈收益用萬元計，而投資回收期卻以年（或月）計。

2．目標之間的矛盾性。即某一目標的改善往往會使其他目標變壞。例如項目投資增加，會使利潤增加，但可能會使投資回收期變長，以及環(huán)境污染加重。

由于上述特點就使得多目標決策比單目標決策要困難和復雜得多。要尋找使各個目標都達到最優(yōu)的所謂絕對最優(yōu)方案（或稱絕對最優(yōu)解），往往是不現實的。通常的作用法就是在各個目標之間，在各種限制條件下尋找一種合理的妥協。即在非絕對最優(yōu)方案，通常稱為非劣方案（非劣解）或稱有效方案（有效解）中選擇一個比較滿意的方案。按照不同的評價準則，從不同的角度去選擇非劣方案便構成了不同的多目標決策方法。多目標決策方法很多，我們只介紹其中比較成熟的兩種方法。多目標決策技術§1層次分析法層次分析法簡稱AHP法（AnalyticHierarchyProcess），它是美國著名運籌學家薩蒂（Saatty）教授在20世紀70年代提出的一種定性與定量相結合的多目標決策方法，現已被廣泛應用。一、層次分析法的基本原理

在多目標決策問題中，針對某些目標，方案的評價結果往往難以定量化、精確化。這就需要把目標進一步分解，利用可精確化、定量化的子目標系統來反映對方案的評價。

層次分析法的基本思想是：把決策問題按總目標、子目標、評價準則直至具體方案的順序分解為若干層次，相鄰層次元素之間存在著特定的邏輯關系。分成有序的層次結構以后，對每一個上層元素，把與之有邏輯關系的下層元素兩兩對比，給出以定量數字表示的“判斷矩陣”。通過判斷矩陣的最大特征根及其特征向量，求出每一層次的各元素對上一層次各元素的權重系數。最后利用加權和的方法，由低到高，一層層遞階歸并，求出各方案對總目標的權數，其中權數最大者對應的方案即為優(yōu)先方案。

多目標決策技術

二、層次分析法的基本步驟

第一步：建立層次結構模型。

最高層：表示決策問題所要達到的總目標，常稱為目標層或總目標層。

中間層：可以包括不止一個層次。是為實現總目標而細分的子目標，也可以是為實現總目標或子目標而需要考慮的約束或準則。相應的層次常稱為子目標層、準則層等。

最低層：一般是解決問題的方案、政策或措施等。因此，常稱為方案層或措施層。

第二步：構造判斷矩陣。

判斷矩陣是定性判斷過度到定量計算的基礎。它是針對上一層次某元素而言，本層次有關元素兩兩重要性的比較結果。多目標決策技術為了說明判斷矩陣的構造原理，我們先從物體的重量對比談起。設有n件物體A1，A2，…，An，其重量分別為ω1，ω2，…，ωn，若將它們兩兩比較重量，其比值可構成n×n矩陣A：矩陣A具有如下性質：若用重量向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T右乘A，可得

AW=nW

這說明n為矩陣A的特征根，向量W是對應于特征根n的特征向量。如果記aij=ωi/ωj，顯然矩陣A的元素aij具有如下三條性質：⑴aii=1；⑵aij=1/aji；⑶aij=aik·akj，i，j=1，2，…，n．由矩陣理論易知，滿足上述三條性質的矩陣A的最大特征根

λmax=n,其余特征根為0。我們在層次分析法中所用的比較元素之間重要性的判斷矩陣，就是用類似于上述比較物體間重量的方法構造的。多目標決策技術設B層元素Bk與下一層元素A1，A2，…，An有關系，對于Bk而言，Ai與Aj比較后，其相對重要性記為aij，則有判斷矩陣：A=(aij)n×n,也可表示為如下表格形式：

一般來講，元素的重要性很難象物體重量那樣準確衡量，因此，aij很難精確給出，一般按下表所給出的標準來確定。BkA1A2…AnA1A2┆Ana11a12…a1na21a22…a2n┆

┆

┆an1an2…annaij取值

含義

1Ai與Aj同樣重要

3Ai比Aj稍微重要

5Ai

比Aj明顯重要

7Ai

比Aj重要得多

9Ai

比Aj極端重要

2，4，6，8介于上述相鄰兩種情況之間

以上各數的倒數

兩元素反過來比較

如：多目標決策技術第三步：求判斷矩陣的最大特征根和相應的特征向量。如果判斷矩陣滿足前述三條性質，則稱該判斷矩陣具有完全一致性。此時，便可知其最大特征根λmax=n所對應的特征向量為各元素重要性的權數。但是由于客觀事物的復雜性和人們認識上的多樣性以及主觀上的片面性和不穩(wěn)定性，用兩兩對比的方法構造出的判斷矩陣，既使有前表為參照標準也常常不滿足第三條性質：aij=aik·akj，因而不是完全一致性判斷矩陣。若離完全一致性不遠，則判斷矩陣基本可用，這時最大特征根λmax≠n，就要設法求出判斷矩陣的最大特征根及其相應的特征向量。

當矩陣A的階數較大時，用一般的代數方法計算相當麻煩。下面我們介紹一種簡單的近似算法——方根法，其步驟為：⑴計算判斷矩陣A中每行所有元素的幾何平均值：

⑵對向量M=(m1,m2,…，mn)T作歸一化處理，即令

所得向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T即為判斷矩陣A的最大特征根對應的（歸一化）特征向量的近似值。

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⑶計算判斷矩陣A的最大特征根：其中(AW)i為向量AW的第i個元素。

事實上，由AW=λmaxW，有(AW)i=λmaxωi，i=1，2，…，n.（12.5.6）式實際是這n個等式求得的λmax的平均值。如果記W-1=(1/ω1,1/ω2,…，1/ωn)T，（12.5.6）式也可表為矩陣乘積形式：第四步：判斷矩陣的一致性檢驗。前面已述及，當判斷矩陣具有完全一致性時，其最大特征根λmax=n，但人們對復雜事物兩兩重要性的比較，很難做到判斷的一致性，因此，所給出的判斷矩陣往往不具有完全的一致性，此時,λmax≠n,這就有必要檢驗判斷矩陣與完全一致性相差多遠。所用的檢驗指標是：

CI稱為一致性指標。當λmax=n時。CI=0，為完全一致；CI值越大，判斷矩陣的完全一致性越差。由于一致偏離可由隨機因素引起，所以在檢驗判斷矩陣的一致性時，要將CI與平均隨機一致性指標RI進行比較，得出檢驗數CR，即CR＝CI/RI多目標決策技術

只要CR<0.1，就可以認為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則，需要重新分析賦值，調整判斷矩陣，直到檢驗通過為止。平均隨機一致性指標同判斷矩陣的階數有關，一般情況下，矩陣階數越大，出現一致性隨機偏離的可能性也愈大，下表給出了階數為3～10時的RI值。RI值是計算500個3至9階隨機樣本矩陣的一致性指標，然后求其平均得出的。隨機一致性指標RI值表

階數345678910RI0.580.901.121.241.321.411.451.49

因為二階矩陣的完全一致性可以保證，所以，只有三階以上的判斷矩陣才需檢驗。

多目標決策技術例求下面給出的判斷矩陣A的最大特征根及特征向量，并做一致性檢驗。解：⑴計算A中各行所有元素的幾何平均值：⑵歸一化：⑶計算最大特征根:⑷一致性檢驗：CR＝CI/CR=0.0024÷0.58＝0.004＜0.1故判斷矩陣A具有滿意的一致性。

多目標決策技術第五步：層次加權。如果某層的判斷矩陣經檢驗具有滿意的一致性，則按前述方法求得的特征向量即可做為該層各元素相應的權數。設第t層有m個元素，第t+1層有n個元素，那么對于第t層的第i個元素，可以求得第t+1層各元素對它的權重行向量:

Wi=(ωi1,ωi2,…，ωin)，i=1，2，…，m，（注意：若第t+1層的第j個元素與第t層的第i個元素無聯系時，ωij=0）于是可以用Wi為行，得到表示第t層和第t+1層各元素之間重要程度的權重矩陣，記為W（t）設決策問題可分為ι+1層，總目標記為第0層，依次記為第1層，第2層，…，第ι層，第t層相對于上一層的權重矩陣為W（t），則由W總=W（1）W（2）.…W（ι），算得的行向量各元素，即最底層各方案對總目標的權數，其中權數最大的方案就是優(yōu)先方案。多目標決策技術三、層次分析法的應用

例6某地興建一大型工業(yè)項目，需考慮的主要目標有：投資回收期、年產值、可提供的就業(yè)機會、對當地工業(yè)的影響。經過可行性研究后有三個方案可供選擇，其基本情況如下表所列，試用層次分析法確定優(yōu)先方案。

目標

目標值

方案投資回收期(年)年產值(萬元)

可提供的就業(yè)機會(人)

對當地工業(yè)的影響

方案一

方案二

方案三

5811500090001500080020001400無影響

略有促進作用

起帶動作用

解：⑴建立層次結構模型：依題意可建立如下圖所示的層次結構圖:

滿意的項目A投資回收期B1年產值B2提供的就業(yè)機會B3對其它工業(yè)的影響B(tài)4方案一C1方案二C2方案三C3目標層：準則層：方案層：多目標決策技術⑵構造第一層（準則層）的判斷矩陣，求其最大特征根、特征向量，并進行一致性檢驗。對于目標層，把準則層的四項指標兩兩比較：B1不如B2重要，比B3略重要，比B4稍微重要；B2比B3稍微重要，比B4明顯重要；B3比B4稍微重要。從而得該層判斷矩陣如下表：AB1B2B3B4B1B2B3B411/22321351/21/3131/31/51/31計算各行幾何均值：

歸一化：

故權數向量W=(0.270，0.479，0.172，0.079)T

再求最大特征根：

由AW=得一致性檢驗：

多目標決策技術所以第一層的判斷矩陣具有滿意的一致性。從而第一層四個元素對總目標的權數可記為行向量W（1）

=(0.270，0.479，0.172，0.079)⑶構造第二層（方案層）對第一層各元素的判斷矩陣，用同樣方法和步驟求最大特征根、特征向量并進行一致性檢驗。結果如下：w1=(0.655，0.250，0.095)λmax=3.075CI=0.0375CR=0.065<0.1，滿意。B1C1C2C3

C1C2C31291/2121/91/21B2C1C2C3

C1C2C3

11/31/9311/3931

w2=(0.077，0.231，0.692)λmax=3.001CI=0.0005

CR=0.0009<0.1，滿意。

B3C1C2C3

C1C2C3

11/71/471341/31w3=(0.078，0.659，0.263)λmax=3.033CI=0.0165

CR=0.0284<0.1，滿意。B4C1C2C3

C1C2C3

11/21/9211/3931w4=(0.090，0.205，0.705)

λmax=3.019CI=0.0095CR=0.0164<0.1，滿意。于是第二層的權重矩陣:

從而各方案關于總目標的權重：W總=W（1）W（2）=（0.234，0.308，0.458）

由于方案三的權數最大，所以優(yōu)先投資方案應為方案三。

多目標決策技術§2

模糊決策法模糊數學自1965年美國加利福尼亞貝克利大學教授扎德（Zadeh）創(chuàng)立以來，發(fā)展迅速，應用越來越廣泛。目前已應用到自然科學和社會科學的許多領域。利用模糊數學方法進行決策的成功案例不斷見諸各種文獻。模糊決策方法正成為決策領域中一種很有實用價值的工具。一、模糊基礎知識

在經典數學里，對概念給出的定義須有明確的內涵和外延。內涵就是概念的內容，外延就是概念所指對象的范圍、界限。比如平行四邊形的定義是：對邊平行且相等（內涵）的四邊形（外延）。然而，在現實世界中，并不是所有的概念都有明確的內涵和外延。比如年青與年老，胖與瘦，高與矮，冷與熱，溫柔與粗暴，強與弱，美與丑，好與壞等常用概念，其內容我們人人都清楚，但其外延則是模糊的，很難找到它們的明確分界限。對于這類具有明顯中間過渡性質的概念，用經典數學的普通集合是難以刻劃的。扎德創(chuàng)立的模糊數學用“隸屬度”和“模糊集合”成功地處理了這類問題的描述，使得人們對現實世界的認識又躍上了一個新的臺階。多目標決策技術㈠模糊集合與隸屬函數

在經典數學里，集合是指具有某種特定屬性的事物的全體。它有明確的內涵和外延。對于某一集合A，元素x要么屬于A，要么不屬于A，二者必居其一。這是普通集合的共同特征。這一特征可用下述函數來描述：

CA(x)稱為集合A的特征函數。

對于界限不清晰的模糊現象是很難用上述非此即彼的方法來確定元素對于一個集合的歸屬的。比如“美人”這一集合，一個人長得很美，自然應該屬于“美人”集合，一個人長得很丑，自然不應該屬于“美人”集合。但是一個人長得不美也不丑，或者是七分美三分丑，或者是三分美七分丑，又該如何確定他的歸屬呢？模糊數學的處理辦法是將普通集合的特征函數的取值范圍由0和1兩個點擴展到[0，1]整個區(qū)間，并改稱為隸屬函數。記為μA(x)，0≤μA(x)≤1。這樣，對于一個七分美三分丑的人，我們就可以記他屬于“美人”集合的隸屬度μA(x)=0.7，表示他有七成屬于“美人”集合。象這樣將元素與其隸屬度相對應的集合，就稱為模糊集合，因為該集合沒有明確的邊界。該集合含有無明確歸屬的元素，即其隸屬度不是“非0即1”。多目標決策技術下面給出模糊集合和隸屬函數的定義：定義用X表示所討論的某類對象的集合，稱之為論域，由映射μA：X→[0，1]

x

→μA(x)，

所刻劃的集合稱為論域X上的一個模糊子集A，μA(x)稱為定義在X上的隸屬函數，對于給定的x∈X，μA(x)的取值稱為x對于模糊集合A的隸屬度。

由上述定義可以看出,模糊集合實際是通過隸屬函數來定義的。所以常用下述方法表示有限論域X={x1，x2，…，xn}上的模糊集合A：這里的“+”號稱為扎德符號，表示模糊集合的元素相并列，沒有相加的含義。分數線“—”也并非相除，而是表示元素xi與其隸屬度μA(xi)的對應關系。（12.7.1）式也稱為扎德記法。有時為了簡單起見，也記成A=（μA(x1)，μA(x2)，…，μA(xn)），稱之為向量記法。（μA(x1)，μA(x2)，…，μA(xn)）也稱為模糊向量。

多目標決策技術㈡隸屬函數的確定

利用模糊集合來處理解決實際問題，首先要找出論域上的隸屬函數。實踐中隸屬函數的確定方法很多，沒有統一模式，允許有一定程度的主觀判斷。下面簡單介紹四種方法：

⑴實際調查法：先請若干名專家或相關實際工作者對所討論的論域中的元素分別給出隸屬函數值，然后取其平均值或中位數做為該元素的隸屬度。

⑵模糊統計法：對論域X上的任何元素xi，考慮它屬于模糊集合A的可能性。例如，討論人的高矮，先確定模糊集合A是“高個子”，然后考慮某人a屬于高個子模糊集合A的可能性，為得到量化的數據，可以邀請一些人評判a是否為高個子，由于人們對高個子的邊界不一樣，有人會認為是，有人會認為不是，只要參加評判的總人數n（或試驗次數）充分大，則可得μA(a)≈多目標決策技術⑶隸屬函數法：即給隸屬函數構造適當的數學表達式，其定義域為論域X，值域為[0，1]。比如對“年輕”這一模糊集合，可構造隸屬函數

1，當x≤25歲

μA(x)=

(60-x)/35，當25歲＜x≤60歲

0，當x＞60歲

⑷對比平均法：對論域X中的元素，先按某種模糊特性兩兩比較，排定比較程度的分值，然后按一定規(guī)則轉換為總體排序的分值，該分值即可做為相應元素的隸屬度。詳見下例：多目標決策技術例設論域X

={牡丹（x1），菊花（x2），蘭花（x3）}，要確定這些花對“美”這一模糊集合的隸屬度。解：用g(xi,xj)表示xi與xj相比其美的程度，0≤g(xi,xj)≤1。若經認真品評，給定g(x1,x2)=0.8，g(x2,x1)=0.7，g(x1,x3)=0.9，g(x3,x1)=0.5，g(x2,x3)=0.8，g(x3,x2)=0.4，則兩兩對比后可得美麗程度矩陣

:

x1x2x3在沒有偏好的情況下，可賦予相同權數：ω(x1)=ω(x2)=ω(x3)=1/3，

于是，牡丹對“美”的隸屬度μA(x1)=ω(x1)g(x1,x1)+ω(x2)g(x1,x2)+ω(x3)g(x1,x3)=1/3×1+1/3×0.8+1/3×0.9=0.90菊花對“美”的隸屬度μA(x2)=ω(x1)g(x2,x1)+ω(x2)g(x2,x2)+ω(x3)g(x2,x3)=1/3×0.7+1/3×1+1/3×0.8=0.83蘭花對“美”的隸屬度μA(x3)=ω(x1)g(x3,x1)+ω(x2)g(x3,x2)+ω(x3)g(x3,x3)=1/3×0.5+1/3×0.4+1/3×1=0.63由此可得論域X上的“美”的模糊集合多目標決策技術若評價者對牡丹、菊花、蘭花偏好不一，對菊花情有獨鐘，給出的權數是

ω(x1)=0.1，ω(x2)=0.8，ω(x3)=0.1，

那么，牡丹對“美”的隸屬度μA(x1)=0.1×1+0.8×0.8+0.1×0.9=0.83菊花對“美”的隸屬度μA(x2)=0.1×0.7+0.8×1+0.1×0.8=0.95蘭花對“美”的隸屬度μA(x3)=0.1×0.5+0.8×0.4+0.1×1=0.47于是論域X上的“美”的模糊集合多目標決策技術㈢模糊矩陣的合成運算

以同維的模糊向量為行組成的矩陣，稱為模糊矩陣。在模糊決策中會用到模糊矩陣的合成運算，因此，我們先介紹一下模糊矩陣的合成運算法則。

設模糊矩陣A=(aij)m×t，B=(bij)t×n，模糊矩陣A與B的合成運算記為

C=A?B運算結果C仍為模糊矩陣，且C=(cij)m×n

其中cij=(ai1∧b1j)∨(ai2∧b2j)∨…∨(ait∧btj)，i=1,2,…，m；j=1，2…，n．式中“∧”為取小運算，如(ai1∧b1j)=min(ai1,b1j)；“∨”為取大運算，即max。將cij的運算式與普通矩陣的乘法比較，可以看出，它的運算法則實際只是把普通矩陣相乘時所做的“×”和“+”運算分別改成了“∧”和“∨”運算。

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例

設模糊矩陣，，

求Q?R

解多目標決策技術二、模糊決策法的步驟及應用

模糊決策法分為兩大步，第一大步是對每個方案單獨做模糊綜合評判，第二大步是利用第一大步模糊綜合評判的結果，用適當的方法經過比選，確定優(yōu)先方案。我們先介紹第一大步：單方案模糊綜合評判的基本方法和步驟。㈠確定模糊綜合評判的因素集U

因素集是以影響評判對象的各種因素為元素所組成的一個普通集合。通常表示為U={u1，u2，…，um}其中對各元素ui(i=1,2,…，m)的評價通常都具有不同程度的模糊性。在多目標模糊決策問題中，U即為目標集合。㈡建立綜合評判的評語集V

評價集是評判者對評判對象可能作出的各種評價語言所組成的集合。通常表示為V={v1，v2，…，vn}其中元素vi(i=1,2,…，n)代表可能的第i種評語。

多目標決策技術㈢進行單因素模糊評判，求得單因素模糊評判矩陣R

單獨從因素集中的一個因素出發(fā)進行評判，以確定評判對象對評語集各元素的隸屬程度，稱為單因素模糊評判。設評判對象按因素集U中第i個因素ui進行評判，對評語集V中第j個評語vj的隸屬度為rij，則按ui評判的結果，可用下面的模糊集合表示：Ri稱為單因素評判集，顯然它應是評語集V上的一個模糊子集。也可簡單表示為模糊評判向量Ri=(ri1,ri2,…，rin),i=1,2,…，m．令稱R為單因素模糊評判矩陣。

多目標決策技術㈣建立綜合評判模型，進行綜合評判

從前述單因素模糊評判矩陣R可以看出：R的第i行所反映的是第i個因素（評價指標）ui對評判對象的影響取各個評語元素的程度；而R的第j列所反映的是所有各因素（評價指標）影響評判對象取第j個評語元素的程度。因此，可用每列元素之和:Rj=,(j=1,2,…，n)來反映所有因素的綜合影響。但考慮各因素（評價指標）對綜合評判的重要程度不同，我們給各因素以不同的權數ωi(i=1,2,…，m)，其中ωi表示第i個因素ui在綜合評判中的重要程度。于是建立綜合評判模型：B=W?R其中W=(ω1,ω2,…，ωm)為一模糊向量。設按模糊矩陣的合成運算法則算得B=(b1,b2,…，bn)，B稱為模糊綜合評判結果集。bj(j=1,2,…，n)表示綜合考慮所有因素的影響時，評判對象對評語集中第j個評語元素的隸屬度，顯然，模糊綜合評判結果集B也是評語集V上的一個模糊子集。

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第二大步：用適當方法確定優(yōu)先方案。

對每一方案均按前述㈠～㈣步驟，求得各自的模糊綜