3.2函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系第2課時課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第三章函數(shù)

3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系第2課時

零點(diǎn)的存在性及其近似值的求法基礎(chǔ)知識嘗試與發(fā)現(xiàn)關(guān)于x

的一元一次方程kx＋b=0(k≠0)的求根公式為____________.

一次函數(shù)、二次函數(shù)的零點(diǎn)是否存在，并不難判別，這是因為一元一次方程、一元二次方程實數(shù)解的情況，都可以根據(jù)它們的系數(shù)判別出來，而且有實數(shù)根的時候，都能夠?qū)懗銮蟾?。但是，對于次?shù)大于或等于3的多項式函數(shù)(例如f(x)=ax3+bx2+cx+d，其中a≠0)，以及其他表達(dá)式更復(fù)雜的函數(shù)來說，判斷零點(diǎn)是否存在以及求零點(diǎn)，都不是容易的事(事實上，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明：次數(shù)大于4的多項式方程，不存在通用的求根公式)。因此，我們有必要探討什么情況下一個函數(shù)一定存在零點(diǎn)。嘗試與發(fā)現(xiàn)如圖所示，已知A，B

都是函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)，而且函數(shù)圖象是連接A，B

兩點(diǎn)的連續(xù)不斷的線，作出3種y=f(x)的可能的圖象.判斷f(x)是否一定存在零點(diǎn)，總結(jié)出一般規(guī)律。

思考：(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理是否能確定零點(diǎn)的個數(shù)？(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn)，是不是一定有f(a)f(b)＜0?提示：(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理只能判斷出零點(diǎn)是否存在，而不能確定零點(diǎn)的個數(shù)．如圖(1)(2)，雖然都有f(a)·f(b)＜0，但圖(1)中的函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有4個零點(diǎn)。圖(2)中的函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)僅有1個零點(diǎn)。(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則由f(a)·f(b)＜0可以推出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)；但是，由函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)＜0.如圖(3)雖然在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，但f(a)·f(b)＞0.典例精析求證：函數(shù)f(x)=x3-2x+2至少有一個零點(diǎn)。

二分法的概念對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)的方法稱為二分法。典例精析已知函數(shù)f(x)=

x2+ax+1有兩個零點(diǎn)，在區(qū)間(-1，1)上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍。解：因為函數(shù)f(x)的圖象是開口向上的拋物線，因此滿足條件的函數(shù)圖象的示意圖如圖(1)(2)所示。

基礎(chǔ)自測1．對于函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)(

)A．一定有零點(diǎn) B．一定沒有零點(diǎn)C．可能有兩個零點(diǎn) D．至多有一個零點(diǎn)解析：如圖所示，當(dāng)f(a)＞0，f(b)＞0時，函數(shù)圖像與x軸可以有一個或兩個交點(diǎn)，還可以沒有交點(diǎn)。故A、B、D不正確，C正確。C

2．方程x3－x－3＝0的實數(shù)解所在的區(qū)間是(

)A．[－1,0]

B．[0,1]

C．[1,2]

D．[2,3]解析：令f(x)＝x3－x－3，易知函數(shù)f(x)＝x3－x－3在R上的圖像是連續(xù)不斷的，f(1)＝－3＜0，f(2)＝8－2－3＝3＞0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝－3＜0，f(3)＝21＞0，結(jié)合選項知，f(1)·f(2)＜0，故函數(shù)f(x)＝x3－x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為[1,2]，即方程x3－x－3＝0的實數(shù)解所在的區(qū)間為[1,2]。C

3．用二分法求函數(shù)f(x)＝－4x2＋8x－1的零點(diǎn)x0時，第一次計算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，f(1)＞0，則由此可得零點(diǎn)所在的區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為(

)A．(0.5,1)，f(0.75)

B．(0,0.5)，f(0.125)C．(0,0.5)，f(0.25)

D．(0,1)，f(0.125)解析：由用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟，知x0∈(0,0.5)，第二次應(yīng)計算的函數(shù)值為f(0.25)．C

4．用二分法求函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn)，參考數(shù)據(jù)如下：據(jù)此數(shù)據(jù)，可得f(x)的一個零點(diǎn)的近似值(精度0.01)為_________.解析：由參考數(shù)據(jù)知，f＞0，f(1.5495)≈－＜0，即f(1.5495)·f(1.5625)＜0，又1.5625－1.5495＝＜，所以f(x)的一個零點(diǎn)的近似值可取為(1.5495＋1.5625)÷2＝1.556.f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5495)≈－0.029f(1.5400)≈－0.060

5．在26枚嶄新的金幣中，混入了一枚外表與它們完全相同的假幣，但質(zhì)量稍輕，若現(xiàn)在只有一臺天平，最多需要稱____次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣。解析：第一次兩端各13枚稱重，選出較輕的一端的13枚，繼續(xù)稱；第二次兩端各6枚，若平衡，則剩下的一枚為假幣，否則選出較輕的6枚，繼續(xù)稱；第三次兩端各3枚，選出較輕的3枚，繼續(xù)稱；第四次兩端各1枚，若不平衡，可找出假幣，若平衡，則剩下的是假幣。即最多稱四次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣。4

典例剖析函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的求法(1)若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間(

)A．(a，b)和(b，c)內(nèi) B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)A

思路探究：求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的關(guān)鍵是判斷區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值與0的大小關(guān)系。B

歸納提升：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個步驟(1)代入：將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)的值。(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號判斷。(3)結(jié)論：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，若符號為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)。對點(diǎn)訓(xùn)練已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝(x2－5x＋6)g(x)＋x2－8，其中函數(shù)y＝g(x)的圖像是一條連續(xù)曲線，則方程f(x)＝0在下面哪個范圍內(nèi)必有實數(shù)根(

)A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)C

解析：令x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.∵f(2)＝4－8＝－4＜0，f(3)＝9－8＝1＞0，又易知函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)不間斷，∴函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)必有零點(diǎn)，故方程f(x)＝0在(2,3)內(nèi)必有實數(shù)根。典例剖析用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值求函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一個為正數(shù)的零點(diǎn)(精確到0.1)．思路探究：先找一個兩端點(diǎn)函數(shù)值符號相反的區(qū)間，然后用二分法逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間，直到達(dá)到要求的近似值，最后確定要求的近似值。解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取區(qū)間[1,2]作為計算的初始區(qū)間。用二分法逐次計算，列表如下：對點(diǎn)訓(xùn)練(1)用二分法求函數(shù)f(x)＝x3＋5的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是(

)A．[－2,1]

B．[－1,0]

C．[0,1]

D．[1,2](2)用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝，f(1.25)＝－，f(1.375)＝－，下一個求f(m)，則m＝___________.A

1.4375

典例剖析零點(diǎn)存在定理的綜合應(yīng)用已知函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的兩個零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)與(1,2)內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍。思路探究：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，求解不等式，確定參數(shù)的取值范圍。歸納提升：二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，一般需要考慮以下四個方面：(1)判別式．(2)端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)。(3)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系．(4)根與系數(shù)的關(guān)系。對點(diǎn)訓(xùn)練若函數(shù)f(x)＝3x2－5x＋a的一個零點(diǎn)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)，另一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是____________.(－12，0)

典例剖析錯用零點(diǎn)存在性定理1

誤區(qū)警示：利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)時，兩個條件是缺一不可的。因此，判斷函數(shù)在已知區(qū)間上是否存在零點(diǎn)時，應(yīng)先判斷函數(shù)圖像在該區(qū)間上是不是連續(xù)不斷的，而且不能一味地將區(qū)間[a，b]的左、右端點(diǎn)值代入解析式，根據(jù)f(a)·f(b)＜0是否成立來判斷，這是因為某些函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間可能是已知區(qū)間的子區(qū)間或函數(shù)零點(diǎn)可能為不變號零點(diǎn)。典例剖析二分法的思想就是通過“無限逼近”思想來體現(xiàn)的，二分法不僅可以求根，還可以用于查找線路、水管、煤氣管等的故障，也有用于實驗設(shè)計、資料查詢等，在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用。思路探究：可