高一數(shù)學(xué)上冊期中復(fù)習(xí)知識點(diǎn)和試卷

第頁高一數(shù)學(xué)：解函數(shù)常見的題型及方法主編：東平校區(qū)張忠兵一、函數(shù)定義域的求法函數(shù)的定義域是函數(shù)三要素之一，是指函數(shù)式中自變量的取值范圍。高考中考查函數(shù)的定義域的題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也出現(xiàn)在大題中作為其中一問。以考查對數(shù)和根號兩個(gè)知識點(diǎn)居多。求具體函數(shù)定義域求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含的運(yùn)算有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集，其準(zhǔn)則一般是：①分式中分母不為零②偶次方根，被開方數(shù)非負(fù)③對于，要求④指數(shù)式子中，底數(shù)大于零且不等于1⑤對數(shù)式中，真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1⑥由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域要受實(shí)際問題的約束例：函數(shù)y＝＋的定義域?yàn)?。?要使函數(shù)有意義，則所以原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥，且x≠}.評注：對待此類有關(guān)于分式、根式的問題，切記關(guān)注函數(shù)的分母與被開方數(shù)即可，兩者要同時(shí)考慮，所求“交集”即為所求的定義域。求抽象函數(shù)的定義域若已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋸?fù)合函數(shù)的定義域由不等式求出的取值范圍，即為函數(shù)的定義域；例:若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)?。分析：由函?shù)的定義域?yàn)榭芍?；所以中有。解：依題意知：解之，得∴的定義域?yàn)辄c(diǎn)評：對數(shù)式的真數(shù)為，本來需要考慮，但由于已包含的情況，因此不再列出。若已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其函?shù)的定義域?yàn)樵跁r(shí)的值域。例3：已知的定義域?yàn)椋?1，5］，求函數(shù)的定義域。解：∵-1＜x≤5∴-3＜2x-1≤9所以，函數(shù)的定義域?yàn)?函數(shù)值域求解方法求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)基本問題之一，也是考試的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一，由于求函數(shù)的值域往往需要綜合用到眾多的知識內(nèi)容，技巧性強(qiáng)，所以難度比較大。以下是求函數(shù)值域的幾種常用方法：1、直接法：從自變量的范圍出發(fā)，推出的取值范圍?；蛴珊瘮?shù)的定義域結(jié)合圖象，或直觀觀察，準(zhǔn)確判斷函數(shù)值域的方法。例：求函數(shù)的值域。例：求函數(shù)的值域。解：∵，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)椤?、配方法：配方法式求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。例：求函數(shù)（）的值域。解：，∵，∴，∴∴，∴∴函數(shù)（）的值域?yàn)椤?、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。例：求函數(shù)在區(qū)間上的值域。分析與解答：任取，且，則，因?yàn)?，所以：，?dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；而當(dāng)時(shí)，于是：函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椤?、反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。例：求函數(shù)的值域。解：由可得，則其反函數(shù)為，其定義域?yàn)椋骸嗪瘮?shù)的值域?yàn)椤?、換元法：運(yùn)用代數(shù)代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、、、均為常數(shù)，且）的函數(shù)常用此法求解。例：求函數(shù)的值域。解：令（），則，∴∵當(dāng)，即時(shí)，，無最小值?！嗪瘮?shù)的值域?yàn)椤?、判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程；通過方程有實(shí)數(shù)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、不同時(shí)為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。例：求函數(shù)的值域。解：由變形得，當(dāng)時(shí)，此方程無解；當(dāng)時(shí)，∵，∴，解得，又，∴∴函數(shù)的值域?yàn)?、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。例：求函數(shù)的值域。解：∵，∵，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)椤?、有界性法：利用某些函數(shù)有界性求得原函數(shù)的值域。例：求函數(shù)的值域。解：由函數(shù)的解析式可以知道，函數(shù)的定義域?yàn)?，對函?shù)進(jìn)行變形可得，∵，∴（，），∴，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)榍蠛瘮?shù)解析式的方法求函數(shù)的解析式是函數(shù)的常見問題,也是高考的常規(guī)題型之一,方法眾多,下面對一些常用的方法一一辨析.1、配湊法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求的解析式，的表達(dá)式容易配成的運(yùn)算形式時(shí)，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是的值域。指數(shù)函數(shù)當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù)；當(dāng)，時(shí)在R上是減函數(shù)。對數(shù)函數(shù)當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)。幾個(gè)常用的結(jié)論：若、為增函數(shù)，則有一下結(jié)論：①+為增函數(shù)；（為常數(shù)）②當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為減函數(shù)；③恒成立時(shí)，為減函數(shù)；④當(dāng)，，為增函數(shù)；⑤＋為增函數(shù)；⑥當(dāng)、，則為增函數(shù)。例：判斷的單調(diào)性。解:函數(shù)的定義域?yàn)?，由簡單函?shù)的單調(diào)性知在此定義域內(nèi)均為增函數(shù)，因?yàn)?由性質(zhì)⑥可得也是增函數(shù)；由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)⑤知為增函數(shù)，再由性質(zhì)①知函數(shù)+5在為單調(diào)遞增函數(shù)。3、圖像法用函數(shù)圖像來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法叫圖像法。根據(jù)單調(diào)函數(shù)的圖像特征，若函數(shù)的圖像在區(qū)間上從左往右逐漸上升則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；若函數(shù)圖像在區(qū)間上從左往右逐漸下降則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。、例:如圖1-1是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)的圖像，試判斷其單調(diào)性。解：由圖像可知：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）.其中函數(shù)在區(qū)間[-5,-2），[1,3）上的圖像是從左往右逐漸下降的，則函數(shù)在區(qū)間[-5,-2），[1,3）為減函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間[-2,1），[3,5]上的圖像是從往右逐漸上升的，則函數(shù)在區(qū)間[-2,1），[3,5]上是增函數(shù)。4、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法若是增函數(shù)，是增（減）函數(shù)，則是增（減）函數(shù)。（2）若是減函數(shù)，是增（減）函數(shù)，則是減（增）函數(shù)。歸納此定理，可得口訣：同則增，異則減（同增異減）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的四種情形可列表如下：情形單調(diào)性函數(shù)第①種情形第②種情形第③種情形第④種情形內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)復(fù)合函數(shù)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：⑴合理地分解成兩個(gè)基本初等函數(shù)；⑵分別解出兩個(gè)基本初等函數(shù)的定義域；⑶分別確定單調(diào)區(qū)間；⑷若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性是同時(shí)單調(diào)遞增或同單調(diào)遞減，則為增函數(shù)，若為一增一減，則為減函數(shù)（同增異減）；⑸求出相應(yīng)區(qū)間的交集，既是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。以上步驟可以用八個(gè)字簡記“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解決一些復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題。例:求（且）的單調(diào)區(qū)間。解：由題可得函數(shù)是由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)符合而成。由題知函數(shù)的定義域是。內(nèi)函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)。①若，外函數(shù)為增函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)在上是增函數(shù)；函數(shù)在上是減函數(shù)。②若，外函數(shù)為減函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)在上是減函數(shù)；函數(shù)在上是增函數(shù)。五、判斷函數(shù)奇偶性的方法：1、定義法：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；判斷函數(shù)奇偶性的步驟：①、判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；②、比較與的關(guān)系，③、按照定義，下結(jié)論。例：判斷下列函數(shù)的奇偶性解：函數(shù)定義域?yàn)椤摺酁槠婧瘮?shù)。2、圖象法：圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的函數(shù)是奇函數(shù)；圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)。，例：判斷下列函數(shù)的奇偶性解：圖像如右圖所示由圖像可知為偶函數(shù)。說明：一般情況下，解答題要用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，選擇題、填空題可用圖象法判斷函數(shù)的奇偶性。3、運(yùn)算法：幾個(gè)與函數(shù)奇偶性相關(guān)的結(jié)論：①奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)。4、復(fù)合函數(shù)：函數(shù)g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，①若u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí)，y=f[g(x)]是奇函數(shù)；②若u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時(shí)，y=f[g(x)]是偶函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”。廣東惠州高中一年級(上)期中考試數(shù)學(xué)科試題命題人：東平校區(qū)張忠兵一、選擇題（每小題5分，共50分）1.已知全集,，則()A.B.C.D.2.函數(shù)的圖象是 （）A3.如果冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則的值等于（）A.16B.2C.D.4.設(shè)，，c，則（）A．B．C．D．5．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.y=x(x∈(0,+∞))B.y=3x(x∈R)C.y=x(x∈R)D.y=lg|x|(x≠0)6.偶函數(shù)在區(qū)間[0，4]上單調(diào)遞減，則有（）A.B.C.D.在中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD8．若函數(shù)，則（） A． B． C． D．9.設(shè)集合若則的范圍是（）A．B．C．D．10.如果一個(gè)函數(shù)滿足：（1）定義域?yàn)镽；（2）任意，若，則；（3）任意，若，.則可以是（）A． B． C． D．二、填空題（每小題5分，共20分）11．的定義域?yàn)開________________12．函數(shù)的圖象與函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的解析式為_______________13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_______________14.定義集合運(yùn)算：設(shè)則集合的所有元素之和為三、解答題：(共80分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.（本題12分）計(jì)算（1）（2）16.（本題12分）設(shè)函數(shù)且（1）求a,b的值；（2）當(dāng)時(shí)，求最大值。17.（本小題14分）已知奇函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)m的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出的圖象；（2）若函數(shù)在區(qū)間[－1，－2