高考數(shù)學(xué)圓錐曲線大題集大全

/高考二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)：圓錐曲線大題集如圖，直線l1與l2是同一平面內(nèi)兩條互相垂直的直線，交點(diǎn)是A，點(diǎn)B、D在直線l1上(B、D位于點(diǎn)A右側(cè))，且|AB|=4，|AD|=1，M是該平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M在l1上的射影點(diǎn)是N，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程．(Ⅱ)過點(diǎn)D且不與l1、l2垂直的直線l交(Ⅰ)中的軌跡C于E、F兩點(diǎn)；另外平面上的點(diǎn)G、H滿足：ADMBNl2l1eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)ADMBNl2l1求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍．2.設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是4，求這個(gè)橢圓的方程.3.已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是其左、右頂點(diǎn)分別是A、B；雙曲線的一條漸近線方程為3x－5y=0.（Ⅰ）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；（Ⅱ）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點(diǎn)P，連結(jié)AP交橢圓C1于點(diǎn)M，連結(jié)PB并延長交橢圓C1于點(diǎn)N，若.求證：4.橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,右焦點(diǎn)F（c,0）到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，傾斜角為45°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn).設(shè)AB中點(diǎn)為M，直線AB與OM的夾角為a.（1）用半焦距c表示橢圓的方程及tg;（2）若2<tg<3，求橢圓率心率e的取值范圍.5.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為（1）求橢圓的方程（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于CD兩點(diǎn)問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)?請說明理由6.在直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，平面內(nèi)兩點(diǎn)同時(shí)滿足下列條件：①；②；③∥（1）求的頂點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)的直線與（1）中軌跡交于兩點(diǎn)，求的取值范圍7.設(shè)，為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸．y軸正方向上的單位向量，若，且（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)曲線C上兩點(diǎn)A．B，滿足(1)直線AB過點(diǎn)（0，3），(2)若，則OAPBM在右準(zhǔn)線上，且滿足；.（1）求該雙曲線的離心率；（2）若該雙曲線過N（2，），求雙曲線的方程；（3）若過N（2，）的雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為B、B（B在y軸正半軸上），點(diǎn)A、B在雙曲線上，且時(shí)，直線AB的方程.16.以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如所示的坐標(biāo)系。設(shè)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，點(diǎn)G的坐標(biāo)為。（1）求關(guān)于的函數(shù)的表達(dá)式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的判斷；（2）設(shè)ΔOFG的面積，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)G，求當(dāng)取最小值時(shí)橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，C、D是橢圓上的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。17.已知點(diǎn)C為圓的圓心，點(diǎn)A（1，0），P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；（Ⅱ）若直線與（Ⅰ）中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同兩點(diǎn)F，H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求△FOH的面積的取值范圍。18.如圖所示，O是線段AB的中點(diǎn)，|AB|＝2c，以點(diǎn)A為圓心，2a為半徑作一圓，其中。AAOB（1）若圓A外的動(dòng)點(diǎn)P到B的距離等于它到圓周的最短距離，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線；（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線l與直線AB成60°角，當(dāng)c＝2，a＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記為E，設(shè)過點(diǎn)B的直線m交曲線E于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在直線AB的上方，求點(diǎn)M到直線l的距離d的取值范圍。19.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),曲線上有兩點(diǎn)P、Q滿足關(guān)于直線對稱，又以PQ為直徑的圓過O點(diǎn).（1）求的值;（2）求直線PQ的方程.20.在平面直角坐標(biāo)系中，若，且，（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知定點(diǎn)，若斜率為的直線過點(diǎn)并與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且對于軌跡上任意一點(diǎn)，都存在，使得成立，試求出滿足條件的實(shí)數(shù)的值。21.已知雙曲線（a>0,b>0）的右準(zhǔn)線一條漸近線交于兩點(diǎn)P、Q，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)。（I）求證：PF⊥；（II）若△PQF為等邊三角形，且直線y=x+b交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且，求雙曲線的方程；（III）延長FP交雙曲線左準(zhǔn)線和左支分別為點(diǎn)M、N，若M為PN的中點(diǎn)，求雙曲線的離心率e。22.已知又曲線在左右頂點(diǎn)分別是A，B，點(diǎn)P是其右準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)是M，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是N，且M、N都在此雙曲線上。

（I）求此雙曲線的方程；

（II）求直線MN的傾斜角。23.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（）。設(shè)與x軸正方向的夾角分別為α、β、γ，若。（I）求點(diǎn)P的軌跡G的方程；（II）設(shè)過點(diǎn)C（0，-1）的直線與軌跡G交于不同兩點(diǎn)M、N。問在x軸上是否存在一點(diǎn)，使△MNE為正三角形。若存在求出值；若不存在說明理由。24.設(shè)橢圓過點(diǎn)，且焦點(diǎn)為。（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)A、B時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上。25.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0）、B（0，－2），點(diǎn)C滿足、 （1）求點(diǎn)C的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，求證：.26.設(shè)，、分別為軸、軸上的點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足：.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過定點(diǎn)任意作一條直線與曲線交與不同的兩點(diǎn)、，問在軸上是否存在一定點(diǎn)，使得直線、的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.27.如圖，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=橢圓F以A、B為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)D，（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓F的方程；CBDA（Ⅱ）是否存在直線與兩點(diǎn)，且線段，若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.CBDA28.如圖所示，B（–c，0），C（c，0），AH⊥BC，垂足為H，且．（1）若=0，求以B、C為焦點(diǎn)并且經(jīng)過點(diǎn)A的橢圓的離心率；（2）D分有向線段的比為，A、D同在以B、C為焦點(diǎn)的橢圓上，當(dāng)―5≤≤時(shí)，求橢圓的離心率e的取值范圍．29.在直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，平面內(nèi)兩點(diǎn)同時(shí)滿足下列條件：①；②；③∥（1）求的頂點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)的直線與（1）中軌跡交于兩點(diǎn)，求的取值范圍答案：1.解：(Ⅰ)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，l1為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D(1，0)，B(4，0)，設(shè)M（x，y），則N（x，0）.∵|BN|=2|DM|，∴|4－x|=2eq\r((x－1)2+y2),整理得3x2+4y2=12,∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為eq\f(x2,4)+\f(y2,3)=1.(Ⅱ)∵∴A、D、G三點(diǎn)共線，即點(diǎn)G在x軸上；又∵∴H點(diǎn)為線段EF的中點(diǎn)；又∵∴點(diǎn)G是線段EF的垂直平分線GH與x軸的交點(diǎn)。設(shè)l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得(3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l過點(diǎn)D(1，0)是橢圓的焦點(diǎn)，∴l(xiāng)與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，EF的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x0，y0），∴x1+x2=eq\f(8k2,3+4k2)，x1x2=eq\f(4k2－12,3+4k2)，x0=eq\f(x1+x2,2)=eq\f(4k2,3+4k2)，y0=k(x0－1)=eq\f(－3k,3+4k2)，∴線段EF的垂直平分線為y－y0=－eq\f(1,k)(x－x0)，令y=0得，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)xG=ky0+x0=eq\f(－3k2,3+4k2)+eq\f(4k2,3+4k2)=eq\f(k2,3+4k2)=eq\f(1,4)－eq\f(3,4(3+4k2))，∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0<eq\f(1,(3+4k2))<eq\f(1,3)，∴－eq\f(1,4)<－eq\f(3,4(3+4k2))<0，∴xG=eq\f(1,4)－eq\f(3,4(3+4k2))(0，eq\f(1,4)）∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍為(0，eq\f(1,4)）.2.解：∵，∴由得∴設(shè)橢圓的方程為（）即（）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則（）若即，則當(dāng)時(shí)，由已知有，得；若即，則當(dāng)時(shí)，由已知有，得（舍去）.綜上所述，，.所以，橢圓的方程為.3.解：（I）由已知∴橢圓的方程為，雙曲線的方程.又∴雙曲線的離心率（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0）設(shè)M得M為AP的中點(diǎn)∴P點(diǎn)坐標(biāo)為將M、p坐標(biāo)代入c1、c2方程得消去y0得解之得由此可得P（10，當(dāng)P為（10，時(shí)PB：即代入MN⊥x軸即4.解：（1）由題意可知所以橢圓方程為設(shè)，將其代入橢圓方程相減，將代入可化得（2）若2<tg<3，則5.解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0依題意解得∴橢圓方程為（2）假若存在這樣的k值，由得∴①設(shè)，，，則②而要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)，則，即∴③將②式代入③整理解得經(jīng)驗(yàn)證，，使①成立綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E6.解：（1）設(shè)，點(diǎn)在線段的中垂線上由已知；又∥，又，頂點(diǎn)的軌跡方程為.(2)設(shè)直線方程為：，，由消去得：①，而由方程①知＞＜，＜＜，.7.解：解：令則即即又∵∴所求軌跡方程為（Ⅱ）解：由條件（2）可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在設(shè)AB方程為則∵OAPB為矩形，∴OA⊥OB∴得所求直線方程為…8.解：（I）由題意，拋物線頂點(diǎn)為（－n，0），又∵焦點(diǎn)為原點(diǎn)∴m＞0準(zhǔn)線方程且有m=4n.∵準(zhǔn)線與直線交點(diǎn)在x軸上，交點(diǎn)為又與x軸交于（－2，0），∴m=4，n=1∴拋物線方程為y2=4（x+1）（II）由∴－1＜k＜1且k≠0∴AB的中垂線方程為得∴p∈（2，+∞）（III）∵拋物線焦點(diǎn)F（0，0），準(zhǔn)線x=－2∴x=－2是Q的左準(zhǔn)線設(shè)Q的中心為O′（x，0），則短軸端點(diǎn)為（±x，y）若F為左焦點(diǎn)，則c=x＞0，b=|y|∴a2=b2+c2=x2+y2依左準(zhǔn)線方程有即y2=2x（x＞0）若F為右焦點(diǎn)，則x＜0，故c=－x，b=|y|∴a2=b2+c2=x2+y2依左準(zhǔn)線方程有即化簡得2x2+2x+y2=0即（x＜0，y≠0）9.解：建立如原題圖所示的坐標(biāo)系，則AB的方程為由于點(diǎn)P在AB上，可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為則長方形面積化簡得易知，當(dāng)（21）解：設(shè)A（－c,0）,A1(c,0)，則（其中c為雙曲線的半焦距，h為C、D到x軸的距離）即E點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)雙曲線的方程為，將代入方程，得①將代入①式，整理得消去由于10.解：1）設(shè)B（,）,C(,),BC中點(diǎn)為(),F(2,0)則有

兩式作差有

(1)

F(2,0)為三角形重心，所以由，得

由得，

代入（1）得直線BC的方程為

2)由AB⊥AC得（2）設(shè)直線BC方程為，得

，

代入（2）式得

，解得或直線過定點(diǎn)（0，，設(shè)D（x,y）則即

所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是。11.解：(1)依題意，可設(shè)直線的方程為代入拋物線方程得①設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、、是方程①的兩根.所以由點(diǎn)分有向線段所成的比為，得又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，故點(diǎn)的坐標(biāo)是，從而.所以(2)由得點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（6，9）、（－4，4）,由得所以拋物線在點(diǎn)處切線的斜率為,設(shè)圓的圓心為,方程是則解得則圓的方程是(或)12.解：（1）直線l的方程是：，即，經(jīng)過定點(diǎn)（0，1）；又M（p，），設(shè)x=p，y=，消去p，得到的軌跡方程為：.由有，其中△=4p2+16，所以l經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)而且與曲線C一定有兩個(gè)公共點(diǎn).（2）由，設(shè)A（），則=，又函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，故A處的切線的斜率也是，從而AP是曲線C的切線.對于另一個(gè)解同樣可證.（3）當(dāng)A（）時(shí)，tan=，tan==，tantan=1，又易知與都是銳角，所以=90°；當(dāng)A（）時(shí)，tan=，tan==，tantan=-1，又易知是鈍角，都是銳角，所以=90°.總之或是定值.13.解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，化簡得，所以曲線C的方程為；（2）曲線C是以為圓心，為半徑的圓，曲線也應(yīng)該是一個(gè)半徑為的圓，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以曲線的方程為，該圓的圓心到直線的距離為，，或，所以，，或。14.解：（Ⅰ）(法一)由題意知,,,,（1分）解得.由雙曲線定義得:,所求雙曲線的方程為:(法二)因,由斜率之積為,可得解.（Ⅱ）設(shè),(法一)設(shè)P的坐標(biāo)為,由焦半徑公式得,,，的最大值為2,無最小值.此時(shí),此時(shí)雙曲線的漸進(jìn)線方程為(法二)設(shè),.(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí).(2)當(dāng),由余弦定理得: ,,,綜上,的最大值為2,但無最小值.(以下法一)15.解：（1）由知四邊形PF為平行四邊形，∵（∴OP平分∠，∴平行四邊形PFOM為菱形，又∵∴.（2）∵∴∴雙曲線的方程為∴所求雙曲線的方程為（3）依題意得∴、B、B共線，不妨設(shè)直線AB為：y=kx-3,A(x則有，得，因?yàn)榈臐u進(jìn)線為，當(dāng)時(shí)，AB與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，當(dāng)∴，又，∴∴所求的直線AB的方程為.16.解：（1）由題意知，則函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)。（證明略）（4分）（2）由，點(diǎn)G，因在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)，依題意橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F（3，0），設(shè)橢圓方程為，由G點(diǎn)坐標(biāo)代入與焦點(diǎn)F（3，0），可得橢圓方程為：（9分）（3）設(shè)，則，由，，因點(diǎn)C、D在橢圓上，代入橢圓方程得，，消去，得，又，則實(shí)數(shù)的取值范圍為。17.解：（1）由題意MQ是線段AP的垂直平分線，于是|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2，于是點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)，半焦距c=1，長半軸a=的橢圓，短半軸點(diǎn)Q的軌跡E方程是：.（2）設(shè)Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），則由，消去y得又點(diǎn)O到直線FH的距離d=1，18.解：（1）以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（－c，0），B（c，0）依題意：∴點(diǎn)P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)半軸為a，虛半軸為的雙曲線右支∴軌跡方程為：。（2）法一：設(shè)M（，），N（，）依題意知曲線E的方程為，l的方程為設(shè)直線m的方程為由方程組，消去y得①∴∵直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)∴及，從而由①得解得且當(dāng)x＝2時(shí)，直線m垂直于x軸，符合條件，∴又設(shè)M到l的距離為d，則∵∴設(shè)，由于函數(shù)與均為區(qū)間的增函數(shù)∴在單調(diào)遞減∴的最大值＝又∵而M的橫坐標(biāo)，∴法二：為一條漸近線①m位于時(shí)，m在無窮遠(yuǎn)，此時(shí)②m位于時(shí)，，d較大由點(diǎn)M∴故19.解：(1)曲線表示以為圓心,以3為半徑的圓,圓上兩點(diǎn)P、Q滿足關(guān)于直線對稱,則圓心在直線上,代入解得(2)直線PQ與直線垂直,所以設(shè)PQ方程為,.將直線與圓的方程聯(lián)立得由解得..又以PQ為直徑的圓過O點(diǎn)解得故所求直線方程為20.解：（1）∵，且，

∴動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為4，∴軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，方程為（2）設(shè)，直線的方程為，代入，

消去得，由得，且，∴設(shè)點(diǎn)，由可得∵點(diǎn)在上，∴∴，又因?yàn)榈娜我庑裕?，∴，又，得，代入檢驗(yàn)，滿足條件，故的值是。21.解：(1)不妨設(shè).,F.(c,0)設(shè)k2=∴k1k2=－1.即PF⊥.（2）由題.x2－bx－b2=0,∴a=1,∴雙曲線方程為（3）y=－M(－∴N（－）.又N在雙曲線上?！唷鄀=22.解：（I）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（-3，0），B（3，0），設(shè)點(diǎn)P、M、N的坐標(biāo)依次為

則有

②4-①得，解得c=5

故所求方程是

（II）由②得，

所以，M、N的坐標(biāo)為

所以MN的傾斜角是23.解：（I）由已知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，也滿足方程<1>∴所求軌跡G方程為（II）假設(shè)存在點(diǎn)，使為正△設(shè)直線方程：代入得：∴MN中點(diǎn)在正△EMN中，與矛盾∴不存在這樣的點(diǎn)使△MNE為正△24.解：（1）由題意：，解得，所求橢圓方程為（2）解：設(shè)過P的直線方程為：，設(shè)，，則，∵，∴，即，化簡得：，∴，去分母展開得：化簡得：，解得：又∵Q在直線上，∴，∴即，∴Q恒在直線上。25.解：（1）解：設(shè)即點(diǎn)C的軌跡方程為x+y=1 26.解：（1）設(shè)，則、，又，，即.（2）設(shè)直線的方程為：，、假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，則，，即，，，又，由于，則對不同的值恒成立，即對不同的值恒成立，則，即，故存在點(diǎn)符合題意.27.解：（Ⅰ）以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖